基于子域分析模型的實心轉子感應電機磁場解析

張守首 郭思源

基于子域分析模型的實心轉子感應電機磁場解析

張守首1郭思源2

（1. 中南林業科技大學班戈學院 長沙 410018 2. 國網湖南省電力有限公司電力科學研究院 長沙 410007）

子域分析技術作為一種簡捷高效的磁場解析方法，已在電機恒定磁場解析領域獲得廣泛應用。該文以實心轉子感應電機為例，將子域分析技術拓展到電機磁準靜態場解析領域。在二維極坐標平面內，將實心轉子感應電機求解區域劃分為定子槽子域、氣隙子域和實心轉子子域，從而在復頻域建立考慮定子開槽影響的實心轉子感應電機精確子域解析模型。該解析模型著重求解實心轉子子域的偏微分方程，根據運行方式的不同，分別給出同步運行和異步運行兩種工況下的解析表達式。在解析計算結果的基礎上，根據磁鏈法計算實心轉子感應電機的運算電感。最后，通過二維時諧有限元分析驗證了解析模型的準確性。

實心轉子感應電機 精確子域模型 磁場解析 定子開槽 運算電感

0 引言

實心轉子感應電機的研究可以追溯到19世紀末，因其具備結構簡單、機械可靠性高、熱穩定性優良和起動性能好等特點，非常適合于重載起動等頻繁起停和空氣壓縮機等高速運行領域[1-2]。與常規籠型感應電機不同，實心轉子感應電機的轉子鐵心是一個連續的整體，既作為電機磁路的一部分，又是轉子的電流通路。實心轉子里的渦流分布與定子電流頻率、轉子電阻率及轉差率都相關，其磁場是一個典型的磁準靜態場，因此其研究方法需要借助電機電磁場理論。

光滑表面實心轉子是實心轉子感應電機的最基本結構，國內外學者對此進行了大量的磁場解析研究工作[3-10]。在文獻[3]中，首先忽略定子開槽，以分布于定子和氣隙交界面的正弦電流片表示定子繞組電流，建立了直角坐標系下的經典二維解析模型，然而該經典模型的激勵中僅包含占主導地位的基波空間分量。不考慮定子的開槽，學者們在極坐標下分別解析求解了實心轉子感應電機的電磁功率與轉矩[4]、等效電路參數[5]以及運算電抗與勵磁電抗[6]等問題。不同于文獻[3-6]中解析模型的電磁場場量傳遞表達方式，文獻[7-10]基于分層阻抗理論推導實心轉子感應電機的電磁場問題，其特點在于用表面阻抗表達求解域內各子層的方程解析解，然而其定子磁動勢仍采用正弦分布于定子內表面的電流片，無法計及定子開槽的影響。

各式各樣新型電機的提出以及電機工程中新問題的出現，帶動了電機電磁場解析法的發展。近年來，以分離變量法為基礎的子域解析模型[11]在預測電機電磁性能上獲得了媲美有限元的精度，其中，在永磁電機方面獲得了豐富的技術成果，主要有表貼式永磁同步電機[12-17]、磁性齒輪[18-19]、表面埋入式永磁電機[20]、雙定子交替極永磁電機[21]和直線式永磁電機[22]等多種電磁裝置。然而，以上子域解析模型的應用主要體現為恒定磁場問題，在運動導體中感應產生的時變渦流等磁準靜態場的解析計算領域[23-25]還有待發展和完善。文獻[23]以無槽型表面埋入式永磁電機為研究對象，在極坐標下建立了永磁體渦流損耗的精確子域解析模型，然而其定子激勵為附著于定子內表面槽開口處的電流片，無法處理定子開槽的結構。文獻[24]建立了一個帶有轉子屏蔽套的開口槽表貼式永磁電機精確子域模型，分析了屏蔽套感應渦流對電磁轉矩的影響，但該模型的槽子域通解存在明顯缺陷，不能在復頻域內統一求解復相量形式的諧波系數方程。文獻[25]盡管建立了一個實心轉子感應電機的精確子域模型，但該模型僅能處理異步運行工況，且實心轉子和轉軸子域的解析解中復傳播常數未考慮磁場諧波階數的影響。

本文以開口槽實心轉子感應電機為研究對象，在二維極坐標平面內將電機求解區域劃分為定子槽、氣隙和實心轉子三類子域，從而在復頻域建立了實心轉子感應電機的精確子域解析模型。該模型中源量和場量既是空間又是時間的函數，能夠更好地揭示電機運行的物理本質。對于實心轉子子域，詳細推導了由于源量交變和轉子旋轉引起的導體感應渦流擴散方程的產生，將電機同步和異步運行狀態統一在方程中表達。利用子域解析模型固有的諧波分解特點，以一臺整數槽實心轉子感應電機為例，從磁場角度闡述了三相旋轉磁動勢產生的諧波，最后用二維時諧有限元驗證了解析模型計算氣隙磁場和運算電感的準確性。

1 子域解析模型

1.1 基本假設條件

本文以一個開口槽結構的實心轉子感應電機進行推導和分析，其橫截面如圖1所示。為了便于子域模型的解析計算，需要進行如下基本假設：

圖1 實心轉子感應電機橫截面

（1）定子鐵心為無窮大的磁導率。

（2）實心轉子為各向同性均勻介質，磁導率為R，電導率為R。

（3）解析區域在二維極坐標（,）平面內，忽略端部效應。

（4）定子槽為徑向開口槽，本例是一個單層繞組，其結構如圖2所示。

取定子坐標系為解析模型參考系，且以第1槽的中心作為周向0位置。定子槽寬角為，定子槽數為，則第槽的中心位置角為

圖2 定子槽

為了便于各子域諧波系數的求解，本文采用文獻[16]定義的兩個函數，有

實心轉子感應電機結構模型可劃分為三類子域：定子槽、氣隙和實心轉子。以矢量磁位作為電磁場方程的求解變量，則在二維極坐標平面僅存在軸分量。時變磁場同時是空間變量、和時間變量的函數，且是正弦交變的，有

式中，為各類子域的磁場諧波階數；1為時諧磁場的交變角頻率；f為對應階次諧波磁場的相位。因此，復頻域矢量磁位可歸結為包含時間因子的復相量表示形式，有

1.2 定子槽子域

該解析模型中，實心轉子感應電機的定子繞組通有三相對稱的正弦交變電流，因此，定子槽子域（=1～）是源量區，滿足泊松方程，有

式中，2為定子內表面半徑；3為定子槽底面半徑；J為第槽電流密度，是一個包含時間因子的復相量，其相位根據ABC相序不同而錯開120°，有

根據圖1和圖2，第個定子槽子域在、方向的邊界條件分別為

由分離變量法[11, 13]可得滿足以上邊界條件的第個定子槽子域的解為

由式（11）中槽底面半徑=3處的鐵磁邊界條件可知

1.3 氣隙子域

氣隙子域為無源區，滿足拉普拉斯方程，轉子外表面半徑為1，有

其邊界條件為

其中

求解拉普拉斯方程，氣隙子域通解[13]為

1.4 實心轉子子域

根據感應電機運行原理，實心轉子中由于三相定子磁動勢交變和轉子旋轉會產生感應渦流。首先推導實心轉子感應電機異步運行的工況，此時該子域滿足亥姆霍茲方程，有

其邊界條件為

式中，為轉子旋轉機械角速度；為感應電機運行轉差率；1為電機極對數。根據解析模型基本假設，整理式（19）可得

其中

感應電機運行于同步速時，根據電機學原理，定子旋轉磁動勢基波磁場與轉子轉速保持相對靜止，且忽略定子旋轉磁動勢高次諧波，則式（19）無需考慮定子磁動勢交變和轉子旋轉的影響，即實心轉子子域中無感應渦流，此時亥姆霍茲方程退化為拉普拉斯方程，有

根據分離變量法，可得同步運行時實心轉子子域的通解為

同樣地，考慮到=0處矢量磁位為有限值，式（27）可簡化為

2 復諧波系數求解

在求解出三類子域復頻域內通解的基礎上，需要在方向交界面上根據法向磁通密度相等和切向磁場強度相等求解各階次復諧波系數。為了簡化表達，本節各子域復矢量磁位采用隱去時間因子的形式，有

2.1 定子槽與氣隙子域交界面

在=2處，根據式（11）中定子槽與氣隙兩類子域法向磁通密度相等，有

結合式（12）定子槽通解，根據傅里葉級數展開式可得諧波系數數學關系為

在=2處，根據式（16）中定子槽與氣隙兩類子域切向磁場強度相等，有

結合式（18）氣隙子域通解，根據傅里葉級數展開式可得諧波系數數學關系為

2.2 氣隙與實心轉子子域交界面

在=1處，根據氣隙與實心轉子兩類子域法向磁通密度相等，有

結合式（25）、式（28）實心轉子子域通解，根據傅里葉級數展開式可得諧波系數數學關系為

在=1處，根據氣隙與實心轉子兩類子域切向磁場強度相等，有

結合式（18）氣隙子槽通解，根據傅里葉級數展開式可得諧波系數數學關系為

以上三類子域各階次復諧波系數的數學關系展開過程和求解方法見附錄。

3 仿真分析與驗證

3.1 樣機參數與繞組分布

本文以一臺實心轉子感應電機為例進行磁場計算分析，實心轉子感應電機參數見表1，定子繞組分布如圖3所示。該樣機由2對極組成，圖3是電機一個極下的繞組分布，每極每相槽數=3。

表1 實心轉子感應電機參數

Tab.1 Parameters of solid rotor induction machine

圖3 定子繞組分布

3.2 同步運行工況

時變的磁場在導體中感應出渦流的電磁場問題可通過二維時諧有限元進行仿真分析，要求所有電磁量均具有相同的交變頻率。本文中的實心轉子感應電機采用電流源作為激勵，模擬同步運行工況時將忽略轉子電導率。圖4為二維時諧有限元得出的=0時刻的磁場分布，可見，磁力線由定子軛穿過氣隙經轉子形成閉合回路，是一個典型的4極磁場，符合三相交流繞組建立的磁動勢分布。

圖4 同步運行工況下t =0時刻的磁場分布

從實際運行來講，感應電機不能運行于同步工況，即對應=0的空載狀態。然而，虛擬的同步運行工況對于分析氣隙磁通密度有重要意義。本文建立的子域解析模型同時考慮了時間和空間分量，氣隙子域中任意時刻和位置的磁感應強度的徑向與切向分量可表示為

圖5為實心轉子感應電機同步運行工況下=0時刻的g=(2+3)/2處徑向和切向磁感應強度計算結果對比?？傻?，解析解與有限元解的整體趨勢較為吻合。不同之處在于，有限元解在定子開槽處的徑向磁通密度“凹陷”更深、切向磁通密度“凸起”更高，即整體上有限元解在氣隙磁導顯著變化的區域突變更劇烈，這一現象與前人工作相同[14, 20]。原因在于，有限元法計算的場量在跨越不同介質邊界的剖分網格處，其連續性相比解析解要相對偏弱。

將式（18）代入式（43），可得氣隙磁通密度徑向分量為

圖5 同步運行工況下t =0時刻的徑向和切向磁感應強度

由式（45）可知，氣隙磁通密度徑向分量是一個傅里葉級數疊加的形式，在已知各階次復諧波系數時，可方便繪制氣隙子域磁場諧波階數n與諧波幅值的關系如圖6所示，對氣隙磁通密度影響最大的是一階齒諧波n=(Q/p1±1)p1。根據電機繞組理論，整數槽繞組的空間諧波階次主要是1±6l（l=0,1, 2,…），其在子域解析模型中對應的諧波階數 ，這與圖6子域解析模型的結果相符合。除n=p1是電機基波磁場外，圖6中主要的諧波分量包括n 階齒諧波n=(nQ/p1±1)p1、正向n=7p1及反向n= 5p1旋轉諧波，其空間分布分別如圖7a～圖7c所示。

3.3 異步運行工況

當實心轉子感應電機運行于=0.03的異步工況，需要將二維時諧有限元模型的實心轉子區域進行頻率折算，以保證電機整個求解域具有相同的交變頻率。圖8為異步運行工況下=0時刻的磁場分布，可見定子繞組磁動勢在實心轉子中產生感應渦流，在轉子表面有較明顯的趨膚效應，實心轉子中是一個感應產生的4極磁場。

圖9為實心轉子感應電機=0.03異步工況下= 0時刻的g處徑向和切向氣隙磁通密度求解結果對比，可見，解析解與有限元解兩者的磁通密度波形較為一致，再次表明，基于復頻域的子域解析模型能夠較好地預測磁場分布。

圖7 同步運行工況下氣隙磁通密度徑向分量的諧波分析

圖8 異步運行工況下t =0時刻的磁場分布

3.4 制動工況

感應型電動機的電氣制動主要包括能耗制動、反接制動和回饋制動等。在制動工況下，感應電機的轉子轉向與旋轉磁場方向相反，電磁轉矩表現為制動轉矩，即轉子轉速r＜0，轉差率＞1。假設實心轉子感應電機運行于=0.03的異步工況，此時將電源任意兩相的相序反接，則電機的旋轉磁場將發生反轉。因機械慣性轉子轉向不變，則電磁轉矩與轉速方向相反，從而進入制動工況下的轉差率b= 1.97的制動狀態。

圖9 異步運行工況下t =0時刻的徑向和切向磁感應強度

圖10為實心轉子感應電機b=1.97制動工況下氣隙磁通密度計算結果對比，表明本文的解析模型在制動工況下能夠較好地預測氣隙磁場分布。

（a）徑向分量

（b）切向分量

圖10 制動工況下=0時刻的徑向和切向磁感應強度

Fig.10 Radial and tangential components of magnetic flux density at=0 under braking

3.5 運算電感求解

在B. Adkins所著《交流電機統一理論》[26]中，將微分算子與拉氏算子合為一體，即在時域內把作為一個普通代數量進行運算，而在頻域內是一個代數復變量。本文采用文獻[26]中的規范，對于實心轉子感應電機的運算電感()，當j時表示運算電感的頻率特性(j)。

根據子域解析法的定子槽子域復矢量磁位，實心轉子感應電機的運算電感可表示為

其中

對于表1中的實心轉子感應電機樣機，圖11所示為不同轉子轉差率下的運算電感計算結果對比。可見，解析解與有限元解結果相當吻合，包括運算電感實部（見圖11a）和虛部（見圖11b）。此時解析模型中考慮定子開槽影響，經二維時諧有限元分析驗證獲得了極高的計算精度。

圖11 異步運行工況下運算電感計算對比

4 結論

本文以實心轉子感應電機為研究對象，在二維極坐標平面內，建立了一個典型磁準靜態場問題的精確子域解析模型。該解析模型包括定子槽、氣隙和實心轉子三類子域，各電磁量均為包含空間和時間變量的復相量形式，從而將子域模型求解從恒定磁場拓展到磁準靜態場解析領域。該模型考慮了實心轉子感應電機同步運行和異步運行兩種工況，為三相對稱交流繞組建立的氣隙磁場提供了一種準確高效的分析方法。最后，以一臺樣機在兩種運行工況下的氣隙磁通密度波形以及異步運行下的運算電感計算，經解析法和二維時諧有限元結果對比，兩者的一致性驗證了該解析模型的有效性。

附 錄

以下推導過程中各子域復矢量磁位采用隱去時間因子的形式，同第2節。

將式（18）代入式（31）、式（32），有

其中

當1時，有

當=時，有

將式（12）代入式（35）、式（36），有

將式（18）代入式（38）、式（39），有

將式（25）代入式（41）、式（42），對應實心轉子感應電機異步運行工況，有

將式（28）代入式（41）、式（42），對應實心轉子感應電機同步運行工況，有

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Analytical Solution of Magnetic Field in Solid Rotor Induction Machine Based on Subdomain Model

12

（1. Bangor College Central South University of Forestry and Technology Changsha 410018 China 2. State Grid Hunan Electric Power Company Limited Research Institute Changsha 410007 China）

As a simple and efficient method of magnetic field analysis, subdomain techniques have been widely used in the analytical calculation of constant magnetic field analysis for electrical machines. Taking the solid rotor induction machine as an example, the subdomain technique is extended to the field of magnetic quasi-static field analysis in this paper. The solver region of the solid rotor induction machine is divided into the stator slot domain, the air-gap domain and the solid rotor domain in the two-dimensional polar coordinate plane, thereby establishing an accurate subdomain model of the solid rotor induction machine considering the stator slotting effect in the complex frequency domain. The analytical model focuses on solving the partial differential equations of the solid rotor subdomain. According to the different operating modes, the analytical expressions for synchronous operation and asynchronous operation are given. Then, the operational inductance of the solid rotor induction machine is calculated by the flux linkage method. Finally, the accuracy of the analytical model is verified by two-dimensional harmonic finite element analysis.

Solid rotor induction machine, accurate subdomain model, analytical solution of magnetic field, stator slotting, operational inductance

10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.210492

TM351

張守首 女，1987年生，博士，講師，研究方向為電磁場及電磁波理論、信號處理技術等。E-mail: sszhang@whu.edu.cn（通信作者）

郭思源 男，1986年生，博士，高級工程師，研究方向為發電機勵磁系統及其控制、電機電磁場等。E-mail: siyuanguo2001@163.com

2021-04-11

2021-06-06

湖南省自然科學基金資助項目（2020JJ5988）。

（編輯 崔文靜）