插空法巧解題

黃旭軍

上課鈴響起，小張同學正想把兩本課外書放到最上層書架上時，阿木老師走進了教室，大叫一聲：“停！”然后拿起手機，把書架拍了下來。

各位同學看得莫名其妙。老師把拍好的照片投影出來，說：“剛才小張同學要把兩本不同的課外書放在最上層的4本書中，共有幾種放法？”同學們恍然大悟，原來阿木老師又想到新題了。這個題目看似簡單，卻有種“有力無處使”的感覺。有些同學用枚舉法一個個列出來，也不敢保證是否有重復和遺漏。

阿木老師說：“其實很簡單，我們只要把4本書看成5個空隙，放第一本書時，這5個空隙就是5個不同的位置！”

“哦，然后放第二本時，就有了6個空隙，就有6種了，那么一共就是5×6=30（種）！”數學課代表接著回答。

“真棒！”阿木老師點點頭，“這種通過找空隙插入的方法稱為插空法，其優點大家都看到了，是不是很方便啊？”阿木老師一說完，同學們紛紛懇求他傳授數學“絕招”。

例1

把1、2、3、4、5組成沒有重復數字且數字1、2不相鄰的5位數，則所有不同排法有多少種？

觀察開始

把1、2、3、4、5排成1、2不相鄰且數字不重復的5位數是排列組合問題。其中，問題的關鍵在于1和2是不相鄰的。

常規思路

我們先來思考1和2相鄰的情況。當1和2相鄰時，有2種排列情況：12和21。

接下來，我們把12和21當做一個整體，分別與3、4、5進行排列，共有2×4！=48（種）排法。

如果不考慮相鄰的情況，共有5！=120（種）排法。

因此1、2不相鄰的排法有120-48=72（種）。

另辟蹊徑

下面我們來試試插空法：

先將3、4、5三個元素排定，共有3！=6（種）排法，然后再將1、2分別插入3、4、5的4個空位中，共有4×3=12（種）排法。

根據乘法原理，所有排法共有6×12=72（種）。

答：一共有72種排法。

例2

6個白球排成一隊，再加3個黑球，請問一共有多少種排法？

觀察開始

又是一道排列組合類的題目。這道題目很簡單，但是我們解答起來比較麻煩。

常規思路

我們先用枚舉法列出所有可能。“O”表示白球，“●”表示黑球。

第一類：3個黑球排在一起，共有以下7種排法。

第二類，2個黑球排一起;第三類，1個黑球單獨排……

經過復雜的排列，共有504種排法。

另辟蹊徑

我們用插空法求解，這樣更簡便。

6個白球算上兩端共有7個空：

我們先放第一個黑球，有7種放法。放好后，共有7個球了，再放第二個黑球時就有8個空。排最后一個黑球時就有9個空了。所以共有7×8×9=504（種）。

答：共有504種排法。

訓練一二一

在一張節目單中原有6個節目，若保持這些節目的相對順序不變，再添加進去3個節目，則不同的添加方法共有多少種？

（答案見下期）

上期答案：1. 11厘米。2. 一組是14（2個7），33（1個11和1個3），75（2個5和1個3），169（2個13）;另一組是30，35，39，143。