趣談一筆畫(huà)

羅逸

玩過(guò)一筆畫(huà)的人都知道，一筆畫(huà)中的端點(diǎn)只有兩種：奇點(diǎn)和偶點(diǎn)。奇點(diǎn)，指連接端點(diǎn)的線段個(gè)數(shù)為奇數(shù)的點(diǎn);偶點(diǎn)，指連接端點(diǎn)的線段個(gè)數(shù)為偶數(shù)的點(diǎn)。不知道你有沒(méi)有仔細(xì)觀察過(guò)，能夠一筆畫(huà)成的圖形只存在0個(gè)或2個(gè)奇點(diǎn)，不會(huì)出現(xiàn)1個(gè)或者2個(gè)以上的奇點(diǎn)。如果只有1個(gè)奇點(diǎn)，那這是一個(gè)不存在的圖形;如果出現(xiàn)2個(gè)以上的奇點(diǎn)，那這個(gè)圖形就不可能用一筆畫(huà)完。這是為什么呢？讓我們來(lái)仔細(xì)分析一下。

首先，我們創(chuàng)建出一個(gè)點(diǎn)A，然后，依次連接點(diǎn)B、點(diǎn)C、點(diǎn)D（見(jiàn)圖1）。

這個(gè)時(shí)候，如果我們?cè)倮^續(xù)連接線段DA，這就是一個(gè)沒(méi)有奇點(diǎn)的一筆畫(huà)圖形，也就是0個(gè)奇點(diǎn)。那么，如果不將DA兩點(diǎn)相連，這個(gè)圖形將擁有2個(gè)奇點(diǎn)：點(diǎn)A和點(diǎn)D。

讓我們繼續(xù)探索，還是按 ABCD的順序連接。最后，我們讓點(diǎn)D和點(diǎn)A兩點(diǎn)也相連，形成一個(gè)封閉圖形。此時(shí)，整個(gè)圖形沒(méi)有奇點(diǎn)，即0個(gè)奇點(diǎn)（見(jiàn)圖2）。然后，讓我們繼續(xù)從點(diǎn)A出發(fā)走下去，這里將出現(xiàn)兩種可能性。

一、從點(diǎn)A走到新點(diǎn)

從點(diǎn)A走到新的點(diǎn)E，圖形從剛才的0個(gè)奇點(diǎn)變成了2個(gè)奇點(diǎn)：點(diǎn)A和點(diǎn)E（見(jiàn)圖3）。

二、從點(diǎn)A連接已有點(diǎn)后再走到新點(diǎn)

假設(shè)我們繼續(xù)往下走，從點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)C。此時(shí)，點(diǎn)A和點(diǎn)C就同時(shí)變成了奇點(diǎn)，也就是說(shuō)有2個(gè)奇點(diǎn)。再繼續(xù)往下走會(huì)怎樣呢？假設(shè)走到了點(diǎn)E，這時(shí)，點(diǎn)C由奇點(diǎn)變成了偶點(diǎn)，而點(diǎn)A保持不變，仍然是奇點(diǎn)，并產(chǎn)生了一個(gè)新的奇點(diǎn)E，整個(gè)圖形還是擁有2個(gè)奇點(diǎn)：點(diǎn)A和點(diǎn)E（見(jiàn)圖4）。你可以繼續(xù)往下走，無(wú)論怎么走，你都會(huì)發(fā)現(xiàn)，圖形始終維持“你變奇點(diǎn)，我就變偶點(diǎn)”的情況。整個(gè)圖形無(wú)論怎么變化，除了0個(gè)奇點(diǎn)這種情況外，一直會(huì)保持2個(gè)奇點(diǎn)。

以上這兩種情況，無(wú)論怎么走，圖形的奇點(diǎn)數(shù)要么是0，要么是2，為什么會(huì)這樣呢？讓我們放慢動(dòng)作，走一步想一步：假設(shè)有一個(gè)點(diǎn)A，這時(shí)你走出第一步，點(diǎn)A就變成了一個(gè)奇點(diǎn)，只要你的腳步一停，就會(huì)產(chǎn)生一個(gè)新的奇點(diǎn)，點(diǎn)B。再?gòu)狞c(diǎn)B繼續(xù)走，在你開(kāi)始離開(kāi)點(diǎn)B的瞬間，點(diǎn)B就由奇點(diǎn)變成了偶點(diǎn)，而你到達(dá)的另一個(gè)新位置點(diǎn)C就取代點(diǎn)B成為了第2個(gè)奇點(diǎn)。

所以，你每走一條線段，這條線段就改變了線的兩個(gè)端點(diǎn)的奇偶性，這個(gè)循環(huán)將一直重復(fù)下去。如果一條線段被允許回頭走，這個(gè)規(guī)律就將被打破，就可能出現(xiàn)N個(gè)奇點(diǎn)喲！

指導(dǎo)老師? 廖? 寬

陳思怡? 10月5日 11：04：13

無(wú)論是連接已有的端點(diǎn)還是創(chuàng)造的新端點(diǎn)，奇和偶可能會(huì)在你畫(huà)筆經(jīng)過(guò)的那個(gè)瞬間就發(fā)生了改變。

劉秋月? 10月5日 12：16：09

所以，只要是一筆畫(huà)成的圖形（不允許重復(fù)），奇點(diǎn)要么是0個(gè)，要么是2個(gè)。因此，當(dāng)我們看到一個(gè)圖形時(shí)，只要數(shù)一數(shù)它的奇點(diǎn)數(shù)，就可以判斷出這個(gè)圖形能否用一筆畫(huà)完。

高福奧? 10月5日 15：37：06

從起點(diǎn)出發(fā)，每創(chuàng)造1個(gè)新奇點(diǎn)，圖形就擁有2個(gè)奇點(diǎn)，再繼續(xù)往下走，就消滅1個(gè)老奇點(diǎn)，又創(chuàng)造1個(gè)新奇點(diǎn)，奇點(diǎn)數(shù)始終保持為2個(gè)。當(dāng)回到起點(diǎn)時(shí)，所有的奇點(diǎn)被消滅，奇點(diǎn)數(shù)為0。