基于L1 自適應理論的AUV深度控制器設計

霍江航，姜向遠，欒義忠，馬曉靜

山東大學 海洋研究院，山東 青島 266237

0 引 言

自主式水下航行器（AUV）是一種自帶動力源，能夠在水下自主航行作業的無人潛航器。因其安全性高、可靠性強，且不受有線電纜的限制，目前已經廣泛應用于海洋開發、海底檢測等領域。在AUV 各種應用場景中，例如，水下地形勘測或者海底鋪設管道檢查等，都需要穩定的深度控制，因此定深航行成為一種常用的航行狀態。但AUV 在水下作業中會因為移動速度或者水域環境差異的影響而使機體模型參數發生改變，這將導致運動模型產生不確定性，而且水下還存在復雜持續的外部環境干擾，這些問題一方面對AUV 的定深穩定作業產生了不良影響，另一方面也對AUV 深度控制器設計的抗干擾性和魯棒性提出了更高的要求。

為了保證AUV 水下運動的穩定性和控制精度，多種控制算法被應用于AUV 系統，例如傳統PID 控制方法及其改進算法[1-3]、神經網絡法[4]、基于線性二次調節器（linear quadratic regulator, LQR）的控制方法[5]、滑模控制方法[6]、自適應控制方法[7]等。傳統PID 控制方法有著良好的魯棒性和瞬態響應，但是對外界環境的干擾無法做出快速有力的應對。運用LQR 的AUV 控制方法雖然可以實現運動過程中能耗與響應效果的平衡，實現對AUV 的最優化控制，但是需要對AUV 模型進行精確建模，且當AUV 模型參數發生改變時會使控制效果發生較大偏差。滑模控制具有優秀的魯棒性可以抑制模型變化產生的偏差，但會在控制系統中產生抖動，因而常和其他控制方法結合應用來改善控制效果。

自適應控制的強適應性可以對AUV 水下運動中受到的不確定干擾做出有效應對，模型參考自適應控制（model reference adaptive control，MRAC）通過辨識系統中的未知參數，并根據辨識出的參數調整控制率來消除外界環境對被控對象的干擾，使得被控模型閉環系統的輸出可以跟隨理想參考模型的輸出，提高了系統的抗干擾能力。但是傳統的MRAC 會在高自適應增益的情況下出現高頻震蕩控制信號，針對這個問題Cao 等在2006 年提出了L1 自適應控制理論[8-9]。該控制方法是在MRAC 基礎上在反饋環中引入低通濾波器結構對高頻信號進行過濾，使L1 自適應控制器的輸出能夠保持在低頻范圍內，解決了控制器自適應速率與魯棒性表現之間的耦合問題，使閉環系統能夠在保證動態性能的同時具有良好的魯棒性，提高了系統的漸進穩定性與可控精確度。基于輸出反饋的L1 自適應控制器通過分段常數自適應率與低通濾波控制信號，保證了系統輸入/輸出信號具有一致的性能邊界，且可以通過減少積分步長使得閉環自適應系統與理想系統之間的誤差足夠小，系統地提高控制器性能。目前L1 自適應控制理論應用在水下航行器上的研究尚處在起步階段，Wu 等[10]與Sarhadi 等[11]均在REMUS AUV 的俯仰通道上設計了基于狀態反饋的L1 自適應控制器并進行了仿真，證明了L1 自適應控制器可應用于AUV 縱向姿態控制，也驗證了L1 自適應控制器的抗干擾能力。Wu 等[10]結合AUV 執行器考慮了控制量的飽和問題，增加了補償器，但未進行實驗來驗證控制器性能。Maalouf 等[12-13]將L1 自適應控制器與自適應非線性狀態反饋控制器（adaptive nonlinear state feedback controller，ANSF）分別應用于遙控潛水器（AC-ROV）并進行了對比試驗，結果表明，L1 自適應控制器擁有更快的自適應速度。Maalouf 等的控制器是在未考慮模型推進器的情況下設計的，且AC-ROV 模型與REMUS AUV 應用場景不同，模型差別較大，僅具有一定的參考價值。

為提高AUV 在水下作業中的抗干擾能力與魯棒性，使AUV 能夠更穩定地定深航行，本文從REMUS AUV 縱向控制模型出發，擬設計一種基于輸出反饋的L1 自適應控制器。首先，進行AUV 的動力學建模，以及從六自由度非線性模型中提取出簡化的縱向控制線性模型的條件與表達式。然后，介紹基于輸出反饋的L1 自適應控制器的結構與設計。在Matlab/Simulink平臺上，將L1自適應控制器與PID 控制器應用于REMUS AUV 縱向控制模型，對不同情景條件下的仿真結果進行分析。最后，總結L1 自適應控制器的動態響應效果，抗干擾性與魯棒性表現，分析L1 自適應控制器優于PID 的原因以及未來可以嘗試的一些改進方向。

1 AUV 縱向動力學模型

本文使用2 個坐標系：慣性參考坐標系E-XYZ（固定）和載體坐標系O-xyz（運動）對AUV 進行動力學建模，坐標系與AUV 之間的關系如圖1所示。圖中：φ，θ， ψ分別為AUV 在慣性參考坐標系下與3 個軸的夾角；l，v，w與p，q，r分別為AUV在載體坐標系3 個軸上的線速度與角速度；MK，MM，MN與Fx，Fy，Fz分 別 為AUV 在 載 體 坐 標系3 個軸方向上的力矩與力。

圖1 AUV 動力學模型與2 個坐標系的關系圖Fig. 1 Body-fixed frame and earth-fixed frame

假設載體坐標系原點在AUV 的浮心O，為讓模型更具有一般性，AUV 重心G不與載體坐標系原點重合，（xG，yG，zG）為AUV 重心G的坐標，由動量定律和動量矩定律，可寫出AUV 六自由度動力學方程為：

2 基于輸出反饋的L1 自適應控制

2.1 L1 自適應控制器結構

L1 自適應控制器是在MRAC 的體系結構基礎上，在反饋環增設了一個低通濾波器來濾除高頻控制信號，基于輸出反饋的控制器中閉環自適應系統和參考系統之間的輸出誤差可以通過減小積分步長而變得任意小，實現對理想參考系統的漸進跟蹤。故基于輸出反饋的L1 自適應控制器可以在參數不確定的情況下控制線性系統，同時保證低頻的控制量[8-9,15]。

本文設計的基于輸出反饋的L1 自適應控制器由理想參考模型、自適應律、控制律3 個部分組成，自適應控制器的優點就是對被控系統動態變化過程中產生的不確定性與干擾表現出強適應性。根據前文建立的AUV 模型可以表達為:

式中：u(s) 為控制量輸入u(t) 的拉普拉斯變換；y(s)為系統輸出y(t)的拉普拉斯變換；G(s)為AUV實際模型傳遞函數；d(s)為外界擾動d(t)=f(t,y(t))的拉普拉斯變換，其中f(.)為未知映射。為使時變外界干擾d(t) 有界且為控制器設定穩定性條件，映射f(.) 需要滿足以下要求：存在常量Ld>0，使得在任意時刻t>0 時對所有的y1，y2滿足以下關系式：

L1 自適應控制器結構如圖2 所示，其中r為輸入信號；u為控制量；Am，Bm，CmT為理想模型傳遞函數M(s)的狀態空間方程的最小實現；y?=y??y，為理想輸出與實際輸出之間的誤差值；x˙?為理想參考模型狀態； σ?為自適應參數組成的向量，其維數與Bm相 同； Φ(T)， μ(iT)為 組 成 自 適 應 律 的 方 程；C(s)為C(0)=1 的低通濾波器；T為采樣時間；i=0,1,2,···n，i與采樣時間T結合代表運行時間；I為單位矩陣。

圖2 基于輸出反饋的L1 自適應控制器結構圖Fig. 2 L1 adaptive output feedback control structure

L1 自適應控制器中的控制量u(t) 的設計目標是：即使存在外界干擾與被控模型參數的不確定性，控制器依然能夠使系統輸出y(t)跟蹤給定連續參考輸入信號r(t)。這一目標可以通過設計理想的參考模型來實現，即

式中：M(s) 為極點實部均小于零的穩定傳遞函數；r(s) 為輸入信號r(t) 的拉普拉斯變換；y(s)為系統輸出y(t) 的拉普拉斯變換。為了實現設計目標，可將式（4）中的AUV 模型改寫為：

2.2 閉環系統穩定性分析

理想的閉環系統設計目標是可以消除干擾對系統穩定性的影響，理想閉環系統可以寫成如下形式：

如此設計可以使被控系統的穩態與瞬態性能一致有界得到保證。

2.3 理想參考模型

設計理想參考模型狀態空間表達形式為：

對式（16）進行拉普拉斯變換，可以得到

2.4 自適應率

自適應率設計的目的是在保證理想參考模型輸出y?(t)跟 隨被控對象輸出y(t)的條件下對控制變量進行修正。因為Am是理想模型傳遞函數M(s)的狀態空間方程的最小實現，故Am的根均具有負實部，存在正定的對稱矩陣P與正定矩陣Q滿足李雅普諾夫方程式：

式中，l1為首項為1 其余位均是0 的向量。在處理器性能允許情況下積分步長越小，理想模型輸出對實際模型輸出的追蹤效果越好，閉環系統和理想參考系統之間的差值可以達到任意小。控制器穩定性分析與式（9）和式（16）的匹配證明在文獻[15]中有詳細描述。

2.5 控制率

控制率的設計使控制量隨自適應參數 σ(t)的變化而不斷調整，在保證實際被控模型輸出y(t)保持與理想模型輸出y?(t)相同的情況下還能夠追隨輸入信號r(t)，即實現式（6）。

3 仿真及分析

為驗證L1 自適應控制器良好的動態特性、抗干擾能力以及魯棒性，使用Matlab R2019a/Simulink 平臺搭建傳統PID 控制器和L1 自適應控制器，并分別應用于AUV，從動態特性與抗干擾效果2 個方面進行對比分析，并改變AUV 模型參數進行L1 自適應控制器的魯棒性分析。

仿真使用REMUS AUV 為被控對象，選取文獻[14] 中水動力系數搭建AUV 模型，REMUS AUV 具體模型參數見表1。

表1 REMUS AUV 的標稱參數Table 1 The nominal parameters values of the REMUS AUV

仿真實驗中，T=0.000 1 s，總時間為50 s，航速3 kn，假設AUV 初始縱傾角與初始縱傾角速度均為0。根據模型狀態空間方程式（3），代入REMUS AUV 標稱參數，在AUV 航行定速l=1.54 m/s條件下，可以得到AUV 的縱向控制模型的狀態空間方程：

根據前文控制器設計要求，閉環系統中的C(s)，M(s)的選擇需要同時滿足C(0)=1，H(s)穩定性和式（15），參考文獻[16]中對L1 自適應控制算法在導彈縱向控制中的參數調整過程，選擇合適的極點得到：

傳統PID 控制器采用串級結構對AUV 的深度變化進行控制，內環為對縱傾角 θ的PID 控制器，外環為對慣性環節的P 控制器。串級控制模型如圖3 所示，內環PID 控制器參數經過試湊調整設定為（KP_in=20，KI_in=1，KD_in=4），外環P 控制器參數設定為（KP_out=0.5）。

圖3 深度通道串級PID 控制結構Fig. 3 Depth-plane PID control system

分別進行輸入信號為階躍信號、正弦信號情況下REMUS AUV 應用L1 自適應控制器與PID控制器的動態響應仿真實驗并對比。AUV 系統的深度z、縱傾角θ 與縱傾角速度q在階躍信號與正弦信號輸入的動態響應仿真對比情況如圖4～圖6 所示。無干擾情況下2 種控制器的動態響應的性能指標對比如表2 所示。假設存在外部干擾，根據海浪幅值響應公式[17]，在低海況等級情況下，選取隨機有義波高與仿真頻段進行多諧波疊加來模擬隨機海流對AUV 產生的縱向擾動。擾動可表示為

在仿真實驗第10 s 加入干擾，2 種控制器的深度控制抗干擾仿真效果及抗干擾性能指標對比結果分別如圖7 和表2 所示。假設被控對象模型參數發生變化，進行L1 自適應控制器在階躍信號與正弦信號輸入情況下的動態響應仿真實驗，模型中水動力系數Mq˙發生a倍變化時動態響應曲線變化情況如圖8 所示，模型中運動速度u發生變化時動態響應曲線變化情況如圖9 所示。

圖8 AUV 深度隨模型參數 Mq˙的變化曲線Fig. 8 Dynamic response of AUV depth with different hydrodynamic force coefficient Mq˙

圖9 AUV 深度隨模型參數l 的變化曲線Fig. 9 Dynamic response of AUV depth with different speed l

綜合分析以上仿真結果，可以得到以下結論：

1） 根據圖4～圖6 與表2 可以得知，L1 自適應控制器的動態響應性能優于PID 控制器，在階躍信號輸入情況下比PID 控制器有著更低的超調量和更快的響應速度，在正弦波信號輸入情況下比PID控制器的峰值偏差更小。這歸因于控制器中理想參考模型的設計，通過實際輸出與參考輸出之間的誤差來調整自適應參數進而修改控制量，使實際系統可以追隨理想模型的輸出，表現出良好的動態性能。圖4～圖6 與表2 的結果說明了應用L1 自適應控制器的AUV 不僅具有實際可操控性，而且具有更高的控制精度。

圖4 無干擾情況下AUV 深度的動態響應Fig. 4 Dynamic response of AUV depth without disturbance

圖5 無干擾情況下AUV 縱傾角的動態響應Fig. 5 Dynamic response of AUV pitch without disturbance

圖6 無干擾情況下AUV 縱傾角速度的動態響應Fig. 6 Dynamic response of AUV pitch velocity without disturbance

表2 無干擾下AUV 縱向姿態變化曲線的性能指標Table 2 Performance indexes of the two controllers without disturbance

2） 根據圖7 與表3 可以得知，在引入隨機海流干擾后，L1 自適應控制器比PID 控制器表現更穩定，可以精確追隨輸入信號。這歸因于L1 自適應控制器的設計前提中考慮了干擾，并通過設計控制率平衡了干擾的影響，使得整個系統即便存在外界干擾，其閉環系統依然等價于設計的理想參考模型。圖7 與表3 的結果證明了L1 自適應控制器有著比PID 控制器更強的抗干擾能力，可以在復雜外界干擾情況下保持良好的控制效果。

圖7 外部環境干擾下AUV 深度的動態響應Fig. 7 Dynamic response of AUV depth with disturbance

表3 外部干擾下AUV 深度變化曲線的性能指標Table 3 Performance indexes of the two controllers with disturbance

3） 根據圖8 與圖9 可以得知，當階躍信號作為系統輸入時，水動力系數Mq˙的減小和速度l的增加對AUV 深度通道動態響應沒有產生明顯影響；但當水動力系數Mq˙增 大到1.5 倍或速度l減小至1 m/s 時，AUV 深度通道動態響應曲線開始出現波動。當正弦信號作為系統輸入時，水動力系數Mq˙與速度l的改變沒有對AUV 深度通道動態響應產生明顯影響，AUV 深度響應仿真曲線幾乎重合。這歸因于L1 自適應控制器的設計將被控對象的參數變化視為干擾進行處理，因此可以獲得良好的魯棒性表現。圖8 與圖9 的結果說明了L1 自適應控制器在模型參數發生一定程度變化時可以保持AUV 系統動態響應的穩定，但是在持續激勵信號的作用下控制器的魯棒性更好。

綜上所述，仿真結果證明了L1 自適應控制器的設計使其擁有比PID 控制器更好的動態響應與抗干擾能力，同時證明了L1 自適應控制器在被控對象模型出現一定偏差時仍然可以保證控制的效果。

4 結 語

本文針對AUV 深度控制中面臨的干擾大、參數不確定的問題，提出了一種基于L1 自適應控制理論的控制器設計方案。仿真結果表明，無外部干擾的情況下，L1 自適應控制器的動態響應更好。若存在持續外部環境干擾，L1 自適應控制器比傳統PID 控制器擁有更強的抗干擾能力。當AUV 模型參數發生一定程度變化時，L1 自適應控制器可以保持動態響應的穩定，而且當輸入信號是持續激勵信號時系統的魯棒性更強。基于輸出反饋的L1 自適應控制器將建模中的參數不準確與外界干擾統一歸為擾動，在足夠小的積分步長下，通過分段常數自適應率與低通濾波控制信號使實際閉環系統接近理想參考系統，使系統在具有良好動態響應的情況下具有比PID 更好的抗干擾能力和優秀的魯棒性。這種方法為復雜環境下AUV 穩定作業的控制器設計提供了一種方案，不僅保證了系統在參數變化下的魯棒性而且增強了系統的抗干擾能力。后續可以對該控制算法進行改進，優化算法在非持續激勵信號輸入下的動態響應表現，進一步改善AUV 定深航行作業的魯棒性效果。