基于加權自適應遞推最小二乘法與EKF的鋰離子電池SOC估計＊

王建鋒 張照震 李平

（1.長安大學，西安710064；2.陜西省道路交通智能檢測與裝備工程技術研究中心，西安710064）

主題詞：荷電狀態 擴展卡爾曼濾波 加權自適應遞推最小二乘法 鋰離子電池

1 前言

鋰離子電池荷電狀態（State Of Charge，SOC）估計已成為電動汽車的關鍵技術之一。安時積分法是目前使用最廣泛的SOC 估計方法，其優點是計算難度小，缺點是屬于開環計算，并且對初始SOC 敏感，實際應用中的隨機干擾等會導致誤差隨著時間累積，影響估計精度[1]。

為了提高估計精度，有學者采用卡爾曼濾波算法進行SOC 估計，傳統的卡爾曼濾波算法針對線性系統較優，而動力電池具有較強的非線性特性，因此有學者提出了能夠處理動力電池非線性特性的卡爾曼濾波衍生算法。文獻[2]、文獻[3]提出了擴展卡爾曼濾波（Extended Kalman Filter，EKF）方法，該方法將非線性函數按照泰勒級數展開，取一次項進行卡爾曼濾波，其缺點是對具有較強非線性的系統誤差較大。為了提高EKF的估計精度，有學者提出了基于自適應擴展卡爾曼濾波（Adaptive Extended Kalman Filter，AEKF）的SOC 估計方法，該方法在SOC初值不精確的情況下仍有較高的估計精度，但該方法的魯棒性沒有得到有效驗證。文獻[4]、文獻[5]利用AEKF 和遞推最小二乘法（Recursive Least Square，RLS）估計開路電壓（Open-Circuit Voltage，OCV），利用試驗建立OCV-SOC 對應關系，進而實現SOC估計，結果表明，該方法有一定的準確性和可靠性，但其估算精度會受電池工況或電池老化等因素的影響而降低。文獻[6]、文獻[7]在無跡卡爾曼濾波（Unscented Kalman Filter，UKF）算法的基礎上提出改進方法進行SOC估計，但其估計精度不高，誤差在5%左右。文獻[8]利用基于遺忘因子的遞推最小二乘法（Recursive Least Square Method of Forgetting Factor，FFRLS）進行等效電池模型參數識別，采用容積卡爾曼濾波進行SOC 估計，結果表明，該方法有較好的估計精度，但對噪聲較敏感。

由于電池的內阻、極化電阻、電容都會隨時間發生變化，為了提高估計的精度，本文將加權自適應遞推最小二乘法參數估計與擴展卡爾曼濾波相結合實現鋰離子電池SOC的精確估計。

2 鋰離子電池建模與參數辨識

2.1 SOC的定義

動力電池SOC 定義為剩余可用容量與電池最大可用容量的比值，放電時動力電池的SOC定義為：

式中，ic為放電電流；QN為電池額定容量。

將式（1）表示成離散的形式：

式中，z(k)為第k個采樣點的電池SOC；Δt為采樣點k與(k+1)間的時間間隔。

2.2 電池模型的建立

利用戴維寧模型可建立表征電池充放電特性的一階電路模型，但電池本身為非線性系統，不可能完全由線性模型等效。因此，在戴維寧等效電路的基礎上再添加1個電阻-電容（R-C）回路，將電池模型表示為由1個歐姆內阻與2 個R-C 回路組成的二階R-C 回路結構[9]。該二階模型較一階模型有更高的動態性能，并且將電池極化問題中的電化學極化和濃差極化分開等效，精度更高[8,10]。本文建立的二階R-C等效電路模型如圖1所示。

圖1 二階RC等效電路模型

圖1 中，Uoc為電池的開路電壓，U(t)為電池的端電壓，I(t)為電池充放電電流，R0為電池內阻，R1、R2為極化電阻，C1、C2為極化電容[9]。U(t)和I(t)是可以通過傳感器直接測量得到的觀測量，該電路模型的具體關系為：

式中，U1、U2分別為2 個R-C 回路的電壓；z(t)為t時刻的SOC；f()為Uoc與z(t)的映射關系。

由式（1）和式（2）可得到電池模型的狀態方程為：

式中，τ1=R1C1、τ2=R2C2分別為2個R-C回路的時間常數；η為庫倫效率；T為采樣周期；z(kT)、i(kT)、U1(kT)、U2(kT)分別為第k個采樣時刻的SOC、充放電電流以及第1個、第2個R-C回路的電壓。

電池模型的觀測方程為：

式中，U(kT)為第k個采樣時刻的端電壓。

2.3 基于加權自適應遞推最小二乘法的參數在線辨識

在二階RC 等效模型中，開路電壓能很好地跟蹤鋰離子電池的荷電狀態，通過SOC-OCV 曲線可以得到荷電狀態與開路電壓之間的非線性關系。

該非線性關系可通過試驗獲得。具體步驟為：保持25 ℃的環境溫度，使電池以0.2 C的電流速率連續放電/充電，容量發生0.1倍變化時停止放電/充電，靜置10 min，循環該過程，直至電壓達到充/放電截止電壓[8,10]。

本文針對單體鋰離子電池開展試驗，分別記錄充電和放電時的SOC 與開路電壓，將充電和放電時相同SOC 下的開路電壓的平均值作為最終值，擬合電池SOC-OCV 的非線性關系。該曲線的多項式擬合次數選為6～9次較為合適。當次數少時，曲線細節不能很好處理，精度較差，當次數過多時會出現過擬合的問題，本文經過多次試驗，采用8次擬合，試驗結果如圖2所示。

圖2 鋰離子電池SOC-OCV試驗結果

擬合出的8次多項式方程為：

得到SOC-OCV 關系后，采用加權自適應最小二乘法對所建立電池等效模型進行參數辨識，流程如下：

對式（3）進行拉普拉斯變換：

以開路電壓與端電壓拉普拉斯變換的差(Uoc(s)-U(s))作為輸入，充放電電流的拉普拉斯變換I(s)作為輸出，則該模型的傳遞函數為：

參數辨識是基于離散采樣數據的，所以對式（8）按照式（9）進行雙線性變換：

式中，Z=eTs為Z 變換算子；T為采樣周期；s為拉普拉斯變換算子。

得到模型離散傳遞函數為：

將式（10）寫成差分方程的形式為：

式中，a1～a5為待定系數；y(k)為第k個采樣時刻開路電壓與端電壓的差。

為了表示方便，將式（11）寫成向量形式：

將式（12）寫成矩陣的形式，并且采用遞推最小二乘法，以殘差平方和最小為目標函數，可得遞推方程為：

遞推最小二乘法通過周期性參數校正和更新來降低應用環境不確定對系統模型及模型參數的影響，從而實現對系統實時特性的精確獲取。然而，對于持續緩慢變化的系統，該方法很難實現參數的精確估計。因此，本文采用加權自適應遞推最小二乘法進行參數估計，引入自適應加權因子調整遞推模型對舊數據和新數據的置信比例，從而實現模型參數的精確估計[8,11-12]。

加權自適應遞推方程為：

式中，λ(k)為自適應加權因子；l、r為加權調節系數，根據估計誤差進行調節，當誤差變大時，減小加權因子，誤差變小時，增大加權因子。

求解式（15）可以得到鋰離子電池的等效模型，利用該模型，采用不同的估算方法可以進行電池SOC等參數的估計結果。

3 聯合算法SOC在線估計

3.1 擴展卡爾曼濾波

卡爾曼濾波給出了線性和高斯條件下濾波問題的最優解，但動力電池具有非線性特性。解決非線性濾波問題的最優方案需要得到其條件后驗概率的完整描述，然而這種精確的描述需要無盡的參數，從而無法實際應用。為此，學者們提出了大量次優的近似方法。擴展卡爾曼濾波就是將非線性系統線性化進行最優估計的方法。通過對非線性系統進行Taylor級數展開，略去高次項，用一次項對非線性系統進行近似，然后利用卡爾曼濾波方法進行狀態估計[13]。

狀態方程和觀測方程為：

其中，xk為系統k時刻的狀態變量；yk為系統k時刻的輸出值；wk為狀態噪聲；vk為觀測噪聲；uk為觀測值。

將非線性函數f(xk,uk)和g(xk,uk)在估計點處按照Taylor級展開，略去高次項，保留一次項，則有：

將式（17）寫成離散形式：

根據擴展卡爾曼濾波原理，將式（18）對照模型式（4），可以得到基于擴展卡爾曼濾波的電池SOC 估計的求解方程為：

按照式（19）進行卡爾曼濾波遞推即可估算SOC值。

3.2 聯合算法原理

由于電池的內阻、極化電阻、電容都會隨時間發生變化，為了提高估計的精度，需要在線估計電池的參數和狀態，本文將加權自適應遞推最小二乘法參數估計與擴展卡爾曼濾波相結合進行電池SOC的精確估計，算法流程如圖3所示。

圖3 聯合算法流程

首先，在初始靜止狀態下測量電池端電壓，根據OCV-SOC曲線得到初始z值。利用某時刻的電壓、電流和e(z)通過加權自適應最小二乘法辨識電池模型參數，將參數代入擴展卡爾曼濾波器中計算該時刻的SOC 最優估計值，利用OCV-SOC 曲線得到此時刻的e(z)。然后，利用不同時刻的電壓、電流和e(z)重復以上操作計算各時刻的估計值。通過該聯合估計方法實現電池模型參數辨識及電池荷電狀態的精確估計。

4 仿真驗證與分析

為驗證本文算法的估計性能，利用本文鋰離子電池模型設計仿真測試，測試中的電流和SOC值如圖4所示。

圖4 仿真測試數據

利用數據驅動方法分別進行基于EKF、FFRLS 和ARWEKF 的SOC 估計的仿真對比，估計結果如圖5所示，誤差如圖6所示。

圖5 模擬仿真SOC估計結果

圖6 模擬仿真SOC估計誤差

從圖5、圖6中可以看出，在模擬工況下，3種算法的估計值都能精確地跟隨真實值，ARWEKF 算法的穩定性更好、誤差更小，具體指標對比情況如表1所示。

表1 模擬仿真3種算法估計結果對比 %

由表1 分析可知，ARWEKF 算法比EKF 算法和FFRLS 的估計精度更高。ARWEKF 算法在SOC 估計中的平均絕對誤差和均方根誤差值均小于0.5%，最大絕對誤差值小于1.4%。

5 試驗驗證與分析

5.1 靜態工況試驗

本文采用Neware Bts 動力電池測試平臺，如圖7所示，該平臺是融合了NEWARE 新技術的動力電池測試系統，主要用于動力電池的循環壽命測試、倍率充放電測試、脈沖充放電測試、直流內阻（Direct Current Internal Resistance，DCIR）測試，可實現單工步設置記錄條件和保護條件。

圖7 Neware Bts動力電池測試平臺

將測試儀與電池連接后，根據選定工況建立好工步文件，通過測試儀作用到電池上，傳感器將數據通過網絡接口傳輸到上位機進行數據顯示和存儲。試驗過程為：將挑選的通過測試的新電池先靜置1 h，然后以1/3 C的電流完全放電，靜置1 h，采用恒壓充電方式充滿電池，再靜置3 h后以如圖4所示的1 C電流放電，當電池電壓達到截止電壓時停止試驗。數據的采樣頻率為1 Hz，通過電流積分獲得SOC的實際值，試驗中放電電流如圖8所示。

圖8 靜態工況放電電流

采用不同的方法按照本文建立的模型進行電池SOC 估計。EKF 算法、FFRLS 和本文提出的ARWEKF算法對電池SOC估計的結果如圖9所示。圖9中的觀測值利用安時積分法獲得。3 種算法SOC 估計值與觀測值之間的誤差如圖10所示。

圖9 靜態試驗SOC估計結果

圖10 靜態試驗SOC估計誤差

從圖9、圖10 中可以看出，在靜態工況下，3 種算法的估計值都能精確地跟隨真實值，ARWEKF 算法的穩定性更好、誤差更小，3 種算法的具體指標對比情況如表2所示。

表2 靜態工況下3種算法估計結果對比 %

從表2 分析可知，ARWEKF 算法比EKF 算法和FFRLS 的估計精度更高。ARWEKF 算法在SOC 估計中的平均絕對誤差和均方根誤差值均小于0.3%，最大絕對誤差值小于0.7%。

5.2 動態工況試驗

聯邦城市運行工況（The Federal Urban Driving Schedule，FUDS）是用于測試動力電池應對電流急劇變化響應的一種工況，每個周期包含1 372 s 內的劇烈變化序列。在20 ℃下對電池進行FUDS工況試驗，測試平臺采用Neware Bts動力電池測試平臺，該工況下的放電電流如圖11所示。

圖11 動態工況放電電流

采用不同的方法按照本文建立的模型進行電池的SOC估計，結果如圖12所示，估計誤差如圖13所示。

圖12 動態試驗SOC估計結果

圖13 動態試驗SOC估計誤差

從圖12、圖13中可以看出，在動態工況下，3種算法的估計值雖能有效地跟隨真實值，但隨真值的波動較靜態工況的波動大，3 種算法的具體指標對比情況如表3所示。

從表3分析可知，ARWEKF算法明顯優于EKF算法和FFRLS算法。ARWEKF算法在SOC估計中的平均絕對誤差和均方根誤差值均小于0.6%，最大絕對誤差值小于1.9%。

表3 動態工況下3種算法估計結果對比 %

6 結束語

為了提高鋰離子動力電池SOC動態估計的精度，本文提出了基于加權自適應遞最小二乘法與擴展卡爾曼的鋰離子電池SOC估計方法。試驗結果表明，本文所提出的方法具有較高的精確性和良好的魯棒性，能夠為實際工程應用中的SOC估計提供可靠依據。