超大口徑環形天線包帶展開過程動力學仿真

胡建峰，楊軍剛，肖勇，萬小平，馮濤，王勇，鄭冰

1. 中國空間技術研究院西安分院，西安 710100 2. 西安嘉業航空科技有限公司，西安 710089

1 引言

環形可展開天線[1-2](見圖1)以其高收納比、輕質量等特點，已成為國內外超大口徑天線研究的主流結構形式。

圖1 環形可展開天線結構示意Fig.1 Loop antenna sketch map

中間包帶是環形可展開天線的重要組成部分，其功能為實現環形可展開天線收攏狀態緊固及展開狀態按指令解鎖釋放，它主要由復材包帶、根部固定端、逆止回彈機構、拔銷器、金屬接頭等組成，如圖2所示。因中間包帶展開過程與環形桁架展開同步進行，且復材包帶為輕質、大柔性部件，地面試驗難以模擬在軌零重力展開過程。此外，當環形可展開天線口徑增大至30 m及以上時，反射器同步鉸鏈初始力矩增大，導致桁架預展速度增大；天線口徑增大導致相應復材帶長度增大，收攏時彈性勢能增大；這兩種因素導致超大口徑環形天線展開過程中金屬接頭與桁架管件存在很大碰撞風險。因此采用數值仿真方法對在軌展開真實情況預示以及通過仿真識別敏感性要素進而提高展開可靠度具有重要意義。

圖2 中間包帶組成示意Fig.2 The composition of middle flexible belt

在針對大變形及大范圍運動柔性部件建模方面，目前主流方向包括絕對節點坐標法[3-4]和幾何精確梁理論[5-8]。文獻[9]基于絕對節點坐標法對環形天線展開不同步性進行分析，文獻[10]基于幾何精確梁理論對環形天線進行動力學建模仿真。以上兩種建模方法在計算效率、解決奇異性、應變客觀性、編程實現等方面各有優缺點[11]。在編程方面絕對節點坐標法更易實現，但在精度和計算速度方面，幾何精確法更占優勢。

本文針對30m環形天線包帶展開過程采用柔性多體動力學理論對運動過程出現大變形的柔性復材帶建模、變形較小的金屬部件建模、各部件之間約束建模以及拔銷器爆炸產生的沖擊及復材包帶和桁架管件接觸建模，從而實現對超大口徑環形天線柔性包帶展開過程動力學建模。在此基礎上對桁架預展速度、復材帶阻尼率對復材帶金屬接頭和周邊桁架最小距離影響分析；考慮在軌極端條件下，逆止回彈機構失效時金屬接頭和薄壁管件之間碰撞情況進行分析。

2 系統描述及動力學建模

2.1 系統描述

天線展開時，中間包帶拔銷器解鎖釋放，復材包帶在彎曲變形和預緊力作用儲存的彈性勢能作用下以根部固定端為軸進行旋轉，當復材包帶根部旋轉至固定端限位面時，因固定端面限位作用，復材包帶根部無法繼續向前旋轉，同時逆止回彈機構作用，包帶根部無法向后旋轉，復材包帶根部無法旋轉；因復材包帶柔性較強、長度較長原因，依然會繞根部固定端進行回彈；在中間包帶展開同時，環形桁架在自身驅動鉸鏈作用下逐漸展開；環形桁架和中間包帶同步展開過程如圖3(a)(b)所示。

圖3 環形桁架和中間包帶同步展開過程示意Fig.3 Synchronous development process of loop truss and middle flexible belt

在柔性多體動力學研究過程中通常采用第一類拉格朗日方程作為系統動力學控制方程：

(1)

2.2 金屬部件建模

對于超大型口徑天線包帶展開過程動力學建模，研究過程中通常把變形極小的部件固定座和金屬接頭當作剛體處理。剛體在三維空間運動可分解為3個方向平動和3個方向轉動，每個剛體具有6個自由度。在選取廣義坐標方面，采用剛體質心位置確定平動構型；關于轉動的描述，在文獻[12]中有很多種，本文選用轉動向量法來描述剛體轉動。根據歐拉轉動定理和轉動向量的定義[12]：轉動向量φ與轉動軸a平行，且模與轉動角相等。轉動向量φ到旋轉矩陣A的轉換關系為：

(2)

式中：I為三維單位陣；h1、h2均是轉動角φ的函數，

(3)

(4)

其中：

(5)

進一步可以證明：

HT=ATH

(6)

最終可以得到：

(7)

考慮到剛體沒有彈性勢能項，則式(1)可簡化為：

(8)

其中q=[riφi]。 式(8)中動能表達式為：

(9)

式中：J為質心坐標系下轉動慣量。

2.3 柔性復材帶建模

柔性包帶展開過程中會發生大變形和大范圍轉動。根據幾何精確梁理論，任意發生大變形和大范圍轉動的梁單元，其截面曲率均為幾何精確，因此采用幾何精確量理論對柔性包帶建模相較于傳統有限元方法建模更為精確。本文采用幾何精確量理論對柔性包帶建模；建模過程中，選取梁單元左右兩端中心線位置r和轉動向量φ作為廣義坐標描述梁單元構型，如圖4所示。

圖4 柔性梁單元描述Fig.4 Flexible beam element sketch

梁單元的廣義坐標可表示為：

在轉動向量φ的插值處理方面， 文獻[13]提出在梁單元內建立一個參考坐標系，并在參考坐標系下對轉動向量進行插值計算，基于此計算得到的曲率因為整體去掉了參考坐標系影響，在任何觀測坐標系均可得到相同曲率。本文對于轉動向量插值也按此方法進行。任意一點相對參考坐標系轉動向量記為φr。根據上述，梁單元內中心線任意一點r、φr有如下表達：

(10)

式中：ξ∈[0,1]為梁單元內參數坐標。梁單元動能可表達為：

(11)

式中：L為梁單元長度；A為單元橫截面積。

梁單元勢能可表達為：

(12)

其中：

γ=ATr′

κ=HTφ′

N=CN(γ-γ0)

M=CM(κ-κ0)

式中：γ為應變向量；γ0為初始應變向量；κ為曲率向量；κ0為初始曲率向量；N和M分別為截面力和力矩，上述物理量均可用廣義坐標表達；CN和CM為僅和材料及截面特性相關的本構矩陣。

對于柔性包帶初始預變形情況，其在預緊力作用下，整個包帶會沿截面方向進行一定拉伸。軸向初始拉伸總應變量為：

εL0=F/EA

(13)

式中：F為包帶預緊力；E為楊氏模量。

各單元初始拉伸預應變為1/NεL0,其中N為柔性梁單元數，包帶收攏時梁單元剪切向量近似于零，可忽略不計。初始曲率向量κ0可通過初始姿態曲率對弧長求導獲得。

2.4 桁架建模

周邊桁架在預展過程中，和轉接臂固連的豎桿固定不動，且預展過程各個豎桿從俯視往下看始終保持圓形，如圖5所示。

圖5 預展過程桁架展開示意Fig.5 The loop truss deploying sketch

考慮到展開過程包帶金屬接頭和橫桿及斜桿不存在碰撞，因此在建模過程根據工程實際經驗，令固定端豎桿坐標P0(0,0,0)、反射器遠端豎桿坐標為PN/2(2f(t),0,0)；則任意豎桿任意時刻位置可表達為Pi=(f(t)cos (i·θ)+f(t),f(t)sin (i·θ),0)，i為豎桿編號，θ為各邊圓心角，其中f(t)為任意時刻圓心運動方程。任意時刻豎桿i運動方向為(f(t)cos (i·θ)+f(t),f(t)sin (i·θ),0)。

2.5 約束建模

柔性包帶固定座和豎桿存在固定約束，柔性包帶根部和固定座存在旋轉約束；關于約束部分建模可參見文獻[14]描述的建模方法。

2.6 接觸碰撞建模

包帶展開過程中，柔性包帶和桁架豎桿存在接觸碰撞，如圖6所示。

圖6 復材包帶和桁架豎桿接觸示意Fig.6 Contact between composite belt and loop truss vertical bar

本文采用文獻[15]提出的非線性彈簧阻尼模型來描述碰撞力。在研究過程中柔性包帶和豎桿的碰撞可以表示為柔性包帶任意單元點是否和豎桿外輪廓曲線發生嵌入。在非線性阻尼彈簧模型中，碰撞點和碰撞曲線在接觸點處外法向彈力FN可表達為：

(14)

式中：K為接觸剛度；s為嵌入深度，上標e是彈簧非線性指數；c為阻尼系數。此外接觸點還存在切向摩擦力Fμ作用，其計算方法可參看文獻[15-16]。通過虛位移原理將法向及切向接觸力在廣義坐標下進行表達并帶入系統動力學控制方程組(1)求解。

2.7 沖擊建模

包帶拔銷器解鎖時，炸藥爆炸在te時間內對金屬接頭形成Fe的推力。根據虛位移原理：

(15)

則拔銷器對金屬接頭推力Fe在廣義坐標下可表達為：

(16)

2.8 逆止回彈機構建模

包帶展開過程中，當包帶根部轉動到極限角度后，包帶固定座會對包帶根部產生限位作用，使其無法繼續向前轉動；此時包帶根部棘輪棘爪裝置作用，使包帶根部無法向后轉動。建模過程中，對于包帶根部逆止回彈，可以對根部轉動角進行約束控制：

ωmz=0, ifφmz=θmax

(17)

2.9 小結

本節通過采用幾何精確梁理論對復材包帶建模、多剛體動力學理論對變形極小部件和約束建模、非線性彈簧阻尼模型對接觸碰撞進行描述以及虛位移原理將空間力(力矩)轉化為廣義坐標下廣義力等方法，利用數值編程求解多體動力學方程組，實現30 m環形天線包帶展開過程動力學仿真。

3 仿真及參數敏感性分析

通過上述建模仿真，可以得到30 m環形天線包帶和桁架同步展開過程，包帶金屬接頭到桁架豎桿最小距離變化曲線，如圖7所示。隨著包帶展開，金屬接頭和周邊桁架距離開始變大，當復材包帶在回彈時，距離開始變小，直到距離最小；隨后逐漸振蕩直至穩定；通過地面試驗和仿真分析，包帶第一次回彈金屬接頭到周邊桁架距離最小。對于包帶阻尼率0.04、周邊桁架1倍標準速度下，金屬接頭第一次回彈距周邊桁架最小距離為402 mm。

通過仿真分析發現，復材帶阻尼率對金屬接頭與周邊桁架展開過程最小距離有重要影響，且滿足阻尼率越大，金屬接頭與周邊桁架展開過程最小距離越大，如圖8所示。

圖8 金屬接頭與周邊桁架最小距離和復材包帶阻尼率變化規律Fig.8 The minimum distance between metal joint and loop truss changes with the damping rate of belt material

通過仿真分析，環形桁架預展速度對金屬接頭與周邊桁架展開過程最小距離有重要影響；且滿足如下規律：桁架預展速度越大，金屬接頭與周邊桁架展開過程最小距離越小，如圖9所示。

圖9 金屬接頭與周邊桁架最小距離和桁架預展速度變化規律Fig.9 The minimum distance between the metal joint and the loop truss changes with the velocity of the truss

4 極端條件分析

中間包帶在軌展開最惡劣的情況為逆止回彈機構失效，即止回彈機構無法限制包帶根部回彈。考慮到在軌無重力影響，環形桁架展開速度較地面偏大，假設桁架預展速度為1.2倍標準速度，結合目前復材帶阻尼率0.04，對包帶在逆止回彈機構失效條件進行仿真，仿真結果如圖10所示，最小距離僅為121 mm。

圖10 在軌棘輪失效條件下金屬接頭與周邊桁架最小距離變化規律Fig.10 The minimum distance between metal joint and loop truss under failure condition of ratchet device

5 結論

環形天線中間包帶在軌展開過程，地面目前尚無有效方法對其進行遙測觀察，主要采用柔性多體動力學建模仿真結合在軌及地面試驗數據對在軌展開進行預示。本文基于仿真分析得出，對包帶金屬接頭到桁架最小距離影響較大因素主要為復材帶結構阻尼率和桁架預展速度：復材帶阻尼率越大，金屬接頭與桁架最小距離越大；預展速度越大，金屬接頭與桁架最小距離越小。在包帶設計過程中，為了提高包帶展開可靠性，減小金屬接頭和薄壁復材管件碰撞風險，可以通過提高復材帶阻尼率和減少桁架預展速度方式來增大展開過程金屬接頭到桁架最小距離。此外，通過對在軌逆止回彈機構失效模式進行分析，逆止回彈機構失效條件下金屬接頭到桁架最小距離僅為正常條件約30%，金屬接頭和薄壁復材管件碰撞風險大大增加。因此，在包帶設計及加工過程中，應提高逆止回彈機構可靠性，避免出現失效模式。