基于自適應LMS算法的空間光束快速精掃描跟蹤控制方法

熊子珺，劉磊,*，楊鴻杰

1. 西北工業大學 航天學院，西安 710072 2. 陜西省空天飛行器設計重點實驗室，西安 710072

1 引言

衛星光束控制技術廣泛應用于航天領域，如激光測距、激光通信、對地遙感等方面[1-2]，尤其在包括量子通信[3]、空間大型干涉儀[4]、激光時頻傳遞[5]、超遠距離通信[6]等空間精密光學研究領域有廣泛需求。如何實現光束指向的快速、準確控制是空間精密光學控制的重要研究內容。

中國“墨子號”量子科學實驗衛星已成功實驗雙向量子通信。量子通信需要在超遠距離上建立量子信道分發密鑰[7]。建立超遠距離通信首先要通過光束的大范圍調整實現初始指向，其次依靠信標激光在捕獲不確定掃描實現高精度捕獲和對準實現光路閉環，掃描和跟蹤的速度和精度影響通信鏈路建立效率和通信性能[8]。如量子通信最終要求激光精度跟蹤在±0.7 mrad的范圍內跟蹤控制誤差在±5 μrad[7]。在空間激光武器中，光束控制精度直接影響系統的作戰使用效率和效果，必須對目標進行高精度掃描捕獲、跟蹤及瞄準[9]。

壓電快擺鏡因其諧振頻率高、響應速度快、體積小、質量輕的特點，能夠滿足空間精密光學系統的光軸控制參數要求，因此被廣泛應用于空間掃描、捕獲、跟蹤和瞄準[10]。如壓電快擺鏡被廣泛用于光束控制系統，如與伺服電機結合組成兩級復合軸控制系統，補償伺服電機的高頻小角度殘差[11]。

壓電系統固有的非線性遲滯、蠕變和漂移等動力學特性會對光軸指向控制精度產生不利的影響。現有的壓電系統研究主要集中在對壓電系統的非線性遲滯、蠕變建模及相關控制技術上。常用的控制方法有滑模控制、H∞控制、模糊控制、逆模型前饋控制等[12-14]，其控制器性能建立在對壓電系統的精確建模和辨識上[12]。壓電系統的遲滯和非遲滯動力學需要采用不同頻率、不同振幅的輸入信號進行逐步辨識，辨識的模型多且復雜[16-17]。

本文給出一種基于自適應LMS算法的壓電快擺鏡掃描控制技術，對于壓電系統的不同動力學特性不需要分開辨識，采用同一N階有限沖激響應(FIR)濾波器對壓電系統整體進行辨識和表示，辨識過程簡單、方便，且可調參數少，控制器易調節。

這種自適應方法可以利用前一時刻已得的濾波器參數的結果，自動調節當前時刻的濾波器參數，以適應信號和噪聲未知的或隨時間變化的特性，從而實現最優濾波。采用自適應濾波控制方法能有效抑制電機振動噪聲及高頻擾動，增強壓電快擺鏡的抖動抑制和掃描跟蹤控制能力。

自適應LMS算法已用于光束抖動控制，Watkins等采用激光抖動控制實驗平臺探測測試光束抖動及快擺鏡閉環抖動控制，自適應LMS控制方法優于線性二次高斯(LQR)控制及梯度自適應格型算法(GAL)[18]。但這些研究并沒有對自適應LMS算法對光束的掃描跟蹤控制進行深入探討。

本文在文獻[18]的研究基礎上，對自適應LMS算法對空間光束的快擺鏡跟蹤控制展開研究，分析不同算法參數對快擺鏡控制的影響程度。根據快擺鏡高階模型特點引入自適應LMS掃描控制算法和辨識方法，對已知的壓電快擺鏡動力學模型采用LMS估計算法進行了辨識，并采用辨識到的FIR濾波器模型進行了光束掃描跟蹤仿真控制。并通過實驗對壓電快擺鏡電壓輸入-輸出進行辨識，采用自適應LMS控制方法對不同頻率參考電壓進行跟蹤控制，驗證自適應LMS方法的有效性。

2 自適應LMS掃描控制算法

LMS算法是一種自適應信號處理算法，是最陡下降法的改進算法，LMS算法通過沿性能曲面最陡方向向下進行迭代以搜索曲面最低點。自適應LMS濾波算法，是LMS算法在實際工程應用中產生的算法。

LMS算法采用N階FIR濾波器來得到控制信號y(k)，并且最小化均方誤差e(k)，如圖1所示[19-20]。

圖1 自適應LMS掃描控制算法Fig.1 Adaptive LMS scanning control algorithm

參考輸入信號表示為：

X(k)=[x(k),x(k-1),…,x(k-N)]T

自適應濾波器W(k)表示為

W(k)=[w0(k),w1(k),…,wM(k)]T

因此，控制信號y(k)可以表示為：

WT(k)X(k)=XT(k)W(k)

壓電快擺鏡的動力學模型S(z)可表示為一個N階FIR濾波器模型，即：

S(k)=[s0(k),s1(k),…,sN(k)]T

主動控制信號向量Y(k)表示為：

Y(k)=[y(k),y(k-1),…,y(k-N)]T

因此，壓電快擺鏡的轉角為：

傳感器測量得到的誤差角可以表示為：

其中，d(k)=X(k)*P(z)。

因為參考輸入信號x(k)和擾動信號d(k)是相關的，因此可以通過調節自適應濾波器W(k)來使得參與誤差角e(k)最小。最小化目標函數定義為：

J=E[e2(k)]=min

LMS算法中采用平方誤差代替均方誤差，則性能曲面的梯度為：

因此，通過逆梯度方向調節自適應濾波器W(k)的每一個濾波器系數，可以得到自適應LMS控制器為：

其中，自適應迭代步長μ為一個正數。μ的取值要求大于零且小于輸入信號X(k)的自相關矩陣R的最大特征值的倒數[21]，即：

圖2給出了辨識壓電快擺鏡模型的LMS估計算法框圖。

圖2 辨識壓電快擺鏡模型的LMS估計算法示意Fig.2 Schematic of LMS estimation algorithm for identifying piezoelectric steering mirror model

3 壓電快擺鏡掃描控制仿真

3.1 模型辨識

將文獻[22]里的壓電快擺鏡模型作為參考模型，采用圖2所示的LMS估計算法進行辨識。采用白噪聲作為輸入信號X(k)，對壓電快擺鏡進行辨識，步長0.000 5 s，圖3為參考模型生成的100階沖激響應系數，圖4為采用LMS估計算法對參考模型進行辨識得到的100階FIR濾波器，辨識到的系統模型與參考模型的開環輸出誤差可在10-10以下。

圖3 參考模型FIR濾波器系數Fig.3 FIR filter coefficients of reference model

圖4 LMS估計算法辨識到的FIR濾波器系數Fig.4 FIR filter coefficients identified by LMS estimation algorithm

3.2 掃描控制仿真

在壓電快擺鏡控制過程中，根據迭代步長范圍要求式，選擇μ=1 000。令壓電快擺鏡跟蹤不同頻率的參考角度(幅值均為1×10-4rad)，測量噪聲服從正態分布N(0,1×10-14)。壓電快擺鏡對10 Hz、40 Hz及1 Hz與30 Hz復合的正弦信號的跟蹤結果及誤差分別如圖5-圖10所示，跟蹤誤差分別為0.31%(3σ)、0.30% (3σ)、0.46% (3σ)。仿真結果表明，基于自適應LMS算法的壓電快擺鏡控制對于高頻及多頻復合信號有良好的跟蹤性能，但對多頻復合信號的跟蹤速度低于單頻信號。

圖5 10 Hz信號跟蹤結果Fig.5 Tracking result of 10 Hz signal

圖6 10 Hz信號跟蹤誤差Fig.6 Tracking error of 10 Hz signal

圖7 40 Hz信號跟蹤結果Fig.7 Tracking result of 10 Hz signal

圖8 40 Hz信號跟蹤誤差Fig.8 Tracking error of 40 Hz signal

圖9 1 Hz、30 Hz復合信號跟蹤結果Fig.9 Tracking result of 1 Hz and 30 Hz signal

圖10 1 Hz、30 Hz復合信號跟蹤誤差曲線Fig.10 Tracking error of 1 Hz and 30 Hz signal

不同頻率下自適應LMS跟蹤的收斂時間及跟蹤誤差對比如表1所示。其中，定義收斂時間為收斂到初始幅值的5%處的時間，除特殊說明外，μ=1 000。表1的對比結果說明：

表1 不同頻率、不同迭代步長下收斂時間及跟蹤誤差對比

1)在同一μ值下，自適應LMS算法對10 Hz以下低頻信號的跟蹤收斂時間隨頻率增加而減少，對10 Hz以上高頻信號的跟蹤收斂時間與頻率變化沒有明顯關系。

2)對10 Hz以下的低頻信號，在式確定的迭代步長μ取值范圍內，增加μ能有效減少收斂時間。

3)自適應LMS算法對于復合頻率信號的跟蹤收斂時間取決于復合信號中的較低頻分量收斂速度，與較高頻分量收斂速度無關。

4)不同頻率信號及不同迭代步長μ對最終的跟蹤誤差沒有明顯影響，自適應LMS算法對不同頻率的信號都能實現相同的跟蹤性能。

4 壓電快擺鏡控制實驗

4.1 實驗設置及模型辨識

實驗采用PI公司S-330.2SL型壓電快擺鏡及E509.S3型功率放大器，對壓電快擺鏡的x軸輸出電壓采用自適應LMS算法進行控制。

實驗原理如圖11所示，其中dSPACE實時控制系統用于生成參考信號Ur、產生控制信號uc以及對放大器輸出信號進行帶通濾波。帶通濾波器用于過濾高頻測量噪聲及低頻漂移。參考信號Ur在dSPACE實時控制系統中生成，并與濾波器輸出信號Uf相減生成誤差信號，經由控制器生成控制電壓。控制電壓經電壓放大器放大后作用于壓電快擺鏡，電壓放大器測量壓電快擺鏡的輸出Uc并將其縮小輸入dSPACE進行帶通濾波。

圖11 壓電快擺鏡輸入-輸出跟蹤控制實驗原理Fig.11 Experimental principle of piezoelectric steering mirror input-output tracking control

首先，采用圖2所示的LMS估計算法對壓電快擺鏡x軸從uc到Uf的模型進行辨識，辨識到的100階FIR濾波器系數如圖12所示。

圖12 辨識壓電快擺鏡x軸得到的FIR濾波器系數Fig.12 FIR filter coefficients by identifying the axis x of piezoelectric fast steering mirror

辨識到的模型輸出與快擺鏡實際輸出對比及誤差分別如圖13及圖14所示，辨識誤差為2.4%(3σ)。

圖13 辨識的模型與參考模型輸出對比Fig.13 Output comparison between the identified model and reference model

圖14 辨識的模型與參考模型輸出誤差Fig.14 Output errors between the identified model and reference model

4.2 實驗結果

為防止高頻信號下壓電快擺鏡失穩，實驗分別對2 Hz和10 Hz參考角度跟蹤效果進行了LMS控制及PI控制對比。圖15和圖16分別為對2 Hz諧波參考角度的LMS控制及PI控制輸出對比及誤差曲線，仿真結果表明，自適應LMS控制與參考輸入相位差為1.41°，控制誤差為2.5%(3σ)，PI控制與參考輸入的相位差為4.86°，控制誤差為8.4%(3σ)。

圖15 2 Hz角度跟蹤結果對比Fig.15 Tracking result comparison of 2 Hz signal

圖16 2 Hz角度跟蹤誤差對比Fig.16 Tracking error comparison of 2 Hz signal

圖17和圖18分別為對10 Hz諧波參考角度的自適應LMS控制及PI控制輸出對比及誤差曲線，仿真結果表明，自適應LMS控制與參考輸入相位差為1.06°，控制誤差為1.9%(3σ)，PI控制與參考輸入的相位差為21.35°，控制誤差為36.4%(3σ)，跟蹤10 Hz信號的自適應LMS控制誤差低于PI控制的10%。從圖17和圖19可以看到，2 Hz的誤差曲線在前0.2 s收斂很快，之后進行緩慢收斂，最終得到2 Hz的跟蹤收斂時間為7.17 s，10 Hz的跟蹤收斂時間為0.45 s，對10 Hz信號的跟蹤收斂時間遠小于2 Hz，符合仿真中的收斂時間差異。

圖17 10 Hz角度跟蹤結果對比Fig.17 Tracking result comparison of 10 Hz signal

圖18 10 Hz角度跟蹤誤差對比Fig.18 Tracking error comparison of 10 Hz signal

圖19和圖20分別為對2 Hz與10 Hz復合參考角度的自適應LMS控制及PI控制輸出對比及誤差曲線，仿真結果表明，自適應LMS控制與參考輸入相位差為2.72°，控制誤差為2.4%(3σ)，PI控制與參考輸入的相位差為15.39°，控制誤差為26.5%(3σ)，跟蹤10 Hz信號的自適應LMS控制誤差同樣低于PI控制的10%。將實驗結果總結在表2中。

圖19 2 Hz、10 Hz復合角度跟蹤結果對比Fig.19 Tracking result comparison of 2 Hz and 10 Hz signal

圖20 2 Hz、10 Hz復合角度跟蹤誤差對比Fig.20 Tracking error comparison of 2 Hz and 10 Hz signal

表2 不同頻率下自適應LMS算法與PI控制跟蹤誤差對比

5 結論

本文研究了基于自適應LMS算法的壓電快擺鏡空間光束掃描跟蹤控制技術。首先給出了自適應LMS掃描控制算法和辨識方法，并仿真研究了不同頻率和不同迭代步長下自適應LMS算法的光束跟蹤控制精度。仿真結果表明在適當范圍內改變頻率和迭代步長只能改變自適應LMS控制的掃描收斂時間，并不影響最終控制的掃描精度。最后采用實驗對未知壓電快擺鏡進行了自適應LMS辨識，利用辨識得到的100階FIR濾波器模型設計了自適應LMS算法，對目標快擺鏡進行了輸入-輸出掃描跟蹤控制，實驗結果表明自適應LMS算法對2 Hz和10 Hz及他們的復合信號的跟蹤誤差分別為2.5%(3σ)、1.9% (3σ)和2.4%(3σ)，均優于PI控制算法，說明自適應LMS對多頻參考信號有很好的跟蹤效果。