立足軌跡方程的求解，探究橢圓的生成方式

張思思

摘 要：基于橢圓單元教學整體分析進行本節課的教學設計，充分利用教材例題和習題，引導學生通過求解軌跡方程，總結歸納橢圓的幾種不同生成方式，使學生在親歷的過程中理解并建構知識、發展能力、提升素養。

關鍵詞：單元教學;橢圓方程;軌跡方程;直觀想象;數學運算;邏輯推理

一、內容和內容解析

（一）內容

橢圓及標準方程、軌跡方程的求解。

（二）內容解析

內容的本質：解析幾何是數學發展過程中的標志性成果，是微積分創立的基礎。本節課是橢圓單元的第2課時，是學生學習完橢圓的定義及標準方程之后的綜合應用。通過對教材例題和習題的探究，能熟練掌握軌跡方程的幾種常用求解方法，分析橢圓的不同生成方式，從而對橢圓的定義及標準方程有更深的認識。掌握使用坐標法研究幾何問題的方法，用方程的觀點實現幾何問題的代數化解決。

蘊含的思想和方法：感悟平面解析幾何中蘊含的坐標法、數形結合思想、化歸與轉化思想等數學思想，培養作圖能力、運算求解能力、抽象概括能力、推理論證能力等數學能力。提升直觀想象、數學運算、邏輯推理和數學抽象等數學素養。

知識的上下位關系：從知識上講，橢圓的標準方程是在直線和圓的基礎上，解析法的進一步運用，也是進一步研究橢圓幾何性質的基礎;從方法上講，它為我們類比研究雙曲線、拋物線提供了基本研究思路，注重數學思想和基本方法的引領性。充分體現橢圓的重要地位，起到承上啟下的重要作用，數與形的有機結合，在本章中得到了充分體現。

育人價值：培養學生的直觀想象、數學運算、邏輯推理和數學抽象的核心素養。

根據上述分析，確定本節課的教學重點：掌握軌跡方程的求解方法，認識橢圓的幾種不同生成方式，體會數形結合的數學思想。

二、目標和目標解析

（一）目標

掌握軌跡方程的幾種常用求解方法，分析橢圓的不同生成方式，掌握使用坐標法研究幾何問題的方法，把橢圓作為重點，強調它的典型示范作用，注重數學思想和基本方法。

（二）目標解析

達成上述目標的標志是：

1.能熟練掌握軌跡方程的幾種常用求解方法;

2.能理解橢圓的幾種不同生成方式，對橢圓的定義及標準方程有更深的認識，體會數形結合思想;

3.能使用坐標法研究幾何問題，用方程的觀點實現幾何問題的代數化解決;

4.能類比橢圓的研究方法，研究雙曲線、拋物線的相關問題。

三、教學問題診斷分析

學生在解決解析幾何有關問題的時候，存在以下幾種問題：

（一）作圖意識薄弱，解題時沒有養成做出草圖或相對準確圖像的意識;

（二）對題目中條件的實際含義理解不清，無法熟練掌握幾何條件與代數條件互化;

（三）計算能力欠缺，對待相對復雜計算存在較強畏懼感;

（四）表達規范有待加強，書寫或表達不規范、不完整。

教學難點：橢圓的幾種不同生成的理解，數形結合的數學思想方法。

四、教學支持條件分析

借助幾何畫板、GeoGebra等數學軟件制作課件供教師演示，為教師和學生探究軌跡方程和進行數學實驗提供了良好的硬件基礎。

五、教學過程設計

環節1：舊知回顧，引入課題

問題1：在本單元前我們介紹了圓錐曲線的研究思路是什么？

回答預案：曲線的幾何特征——曲線的標準方程——通過方程研究曲線的性質——應用

問題2：上節課我們已經學習了橢圓的定義，并根據橢圓的幾何特征，使用坐標法研究得到了橢圓的標準方程。在這個過程中，我們總結了求解軌跡方程的一般步驟是什么？

回答預案：建系——設點——限式——代換——化簡——檢驗

師生活動：通過問題引導學生回顧舊知，總結在橢圓的標準方程推導過程中，研究軌跡方程求解的一般步驟。

追問1：軌跡方程的常用求解方法有哪些？橢圓是否還有其他的生成方式？

接下來我們通過研究教材上的例題和習題，來研究這兩個問題。

設計意圖：通過復習橢圓的定義及其標準方程，引導學生思考橢圓是否有其他的生成方式。引導學生正確認識教科書中的例題與習題，幫助學生深入理解圓錐曲線的幾何特征，熟練運用坐標法研究圓錐曲線的性質以及它們的位置關系。建立知識間的聯系，提高學生概括、類比推理的能力，解決問題、分析問題的能力，培養學生數學抽象的素養。

環節2：問題研討，典例剖析

探究1：利用定義法求動點的軌跡方程

[例1]（教材P115-6）如圖，圓O的半徑為定長r，A是圓O內一個定點，P是圓O上任意一點，線段PA的垂直平分線l和半徑PQ相交于點Q，當點P在圓上運動時，點Q的軌跡是什么？為什么？

問題3：本題隱藏的幾何特征是什么？分析點Q運動過程中的變與不變，為什么不變？

師生活動：師生共同研究例1，教師通過GeoGebra軟件動態展示，幾何直觀展現動點Q的軌跡，引導學生思考。教師個別提問，學生回答點Q運動過程中的變與不變。

追問2：（教材P115-10）一動圓與圓外切，同時與圓內切，求動圓圓心O的軌跡方程，并說明它是什么曲線。

師生活動：教師通過幾何畫板軟件動態展示，幾何直觀展現動點的軌跡。師生通過思考、討論、交流，共同總結得出圓心O到兩圓圓心距離之和為一個定值。

教師總結：軌跡方程的求解方法1——定義法;橢圓生成方式1——橢圓的第一定義。

設計意圖：通過信息技術在數學教學中的運用，增強教學的直觀性和操作性，使學生在信息技術的幫助下體會軌跡問題中的變與不變。

探究2：利用相關點法求動點的軌跡方程。

[例2]（教材P108例2）在圓x2+y2=4上任取一點P，過點P作x軸的垂線段PD，D為垂足.當點P在圓上運動時，線段PD的中點M的軌跡是什么？為什么？

師生活動：學生思考，教師通過GeoGebra軟件動態展示，幾何直觀展現動點的軌跡。師生共同分析得到，點P在圓x2+y2=4上運動，點P的運動引起點M運動，可以由M為線段PD的中點得到點M與點P坐標之間的關系式，并由點P的坐標滿足圓的方程得到點M的坐標所滿足的方程。教師板書例2的求解過程，引導學生總結利用相關點法求點的軌跡方程的方法。

問題4：如果過點P作y軸的垂線段PD，D為垂足。當點P在圓上運動時，線段PD的中點M的軌跡是什么？為什么？

追問3：你能發現橢圓和圓之間的關系嗎？

師生活動：教師通過GeoGebra軟件幾何直觀展現動點的軌跡，如果過點P作y軸的垂線段PD，D為垂足。當點P在圓上運動時，線段PD的中點M的軌跡是焦點在y軸上的橢圓。引導學生發現，圓按某一個方向作伸縮變換可以得到橢圓。

教師總結：軌跡方程的求解方法2——相關點法;橢圓生成方式2——利用伸縮與變換。

設計意圖：引導學生思考橢圓與圓的關系，提高學生分析問題的能力。通過問題引導學生獨立思考，體現數學知識的形成過程，提高學生的數學思維水平。

探究3：利用直接法求動點的軌跡方程。

[例3]（教材P108例3）A、B兩點坐標分別為（-5，0），（5，0），直線AM、BM相交于點M，且它們的斜率之積是，求點M的軌跡方程。

師生活動：學生上臺進行扮演，其他同學進行小組討論。教師引導學生討論所求方程是否滿足“曲線上點的坐標都滿足方程”和“以方程的解為坐標的點都在曲線上”兩個問題。

設計意圖：使學生體驗曲線與方程之間的一一對應關系，進一步理解通過方程研究曲線性質的合理性，培養理性思維。

追問4：我們把這個問題一般化，是否橢圓上的點（長軸端點除外）與長軸的兩個端點連線的斜率之積是一個定值？如果是，這個定值是多少？

師生活動：師生共同探究一般問題：

1.已知A（-a，0），B（a，0），點M在橢圓則。

橢圓的性質：橢圓上的點（長軸端點除外）與長軸的兩個端點連線所成角是定值。

2.已知A（-a，0），B（a，0），點M滿足則點M的軌跡是橢圓（長軸端點除外），軌跡方程是。

教師通過對橢圓標準方程推導過程的變形，從數的角度進行解釋：

，得，

得，得

教師總結：軌跡方程的求解方法3——直接法求軌跡方程;橢圓生成方式3——一個動點到兩個定點連線的斜率之積是一個負常數。

設計意圖：不同于教材中從“距離”間的關系給出橢圓的定義，本例題從“角度”間的關系反映橢圓的性質及其生成方法，引導學生理解坐標法的基本思想，這條性質還具有可推廣性，給后續拓展教學留下了空間。此外，按照從具體到抽象、從特殊到一般的方式，給學生提供歸納、概括的機會，得到生成橢圓的另一種方法，一個動點到兩個定點連線的斜率之積是一個負常數的軌跡是一個橢圓，使學生體會橢圓的幾何特征的不同的表現形式。

[例4]（教材P113例6）動點M（x，y）與定點F（4，0）的距離和M到直線距離的比是常數，求動點M的軌跡。

師生活動：學生利用直接法求得動點M的軌跡方程，發現點M的軌跡是一個橢圓。

教師通過對橢圓標準方程推導過程的變形，從數的角度進行解釋：

，得

并引導學生思考這個方程的幾何意義如何？教師通過GeoGebra軟件幾何直觀展現動點的軌跡，引導學生總結歸納，得出橢圓的第二定義。

教師總結：橢圓生成方式4，橢圓的第二定義。

設計意圖：介紹橢圓的第二定義，體現從特殊到一般的過程，為后續引出拋物線的定義和圓錐曲線的統一定義作鋪墊。用“距離”的眼光看待問題，將推導橢圓標準方程的式子變形為，這說明“統一定義”和“個性定義”的等價性。從數的角度進行分析，充分體現數與形的內在統一性，體現數形結合的思想。將已有的幾何元素、幾何關系代數化，通過代數運算及變形，考查不同途徑下代數運算的幾何意義，發現幾何性質，提升學生直觀想象、數學運算、邏輯推理和數學抽象素養。

環節3：當堂檢測，鞏固知識

設計意圖：通過習題的訓練，提高學生解決與分析問題的能力。有利于學生理解和掌握相應的內容，從而獲得四基、四能，提升數學學科核心素養。

課堂小結：談談本節課你有何所想所得？

本節課通過研究軌跡方程的求解方法、探究橢圓的幾種不同的生成方式，培養學生數形結合思想、轉化與化歸思想、函數與方程思想等數學思想。

1.軌跡方程的求解方法。

2.進一步掌握橢圓的定義及標準方程：橢圓的幾種不同的生成方式。

設計意圖：通過總結，讓學生進一步鞏固本節所學內容，提高學生的抽象概括能力、數學運算能力和邏輯推理能力。滲透直觀想象、數學運算、邏輯推理、數學抽象等核心素養。

作業布置：

1.書面作業：完成目標檢測。

2.整理作業：類比探究雙曲線的幾種不同生成方式。

3.拓展作業：解析幾何形成與發展（可上網查閱），推薦書目：阿波羅尼奧斯《圓錐曲線論》。

設計意圖：教材中安排了“文獻閱讀與數學寫作，解析幾何的形成與發展”，要求學生查閱與解析幾何有關的文獻，了解解析幾何形成與發展的過程，以及解析幾何對人類文明的主要貢獻，從而體現數學文化的滲透。

參考文獻

[1]普通高中課程標準實驗教科書數學選修2-1學生用書.[M].北京：人民教育出版社，2004.

[2]普通高中課程標準實驗教科書數學選修2-1教師用書.[M].北京：人民教育出版社，2004.

[3]普通高中教科書數學選擇性必修第一冊學生用書.[M].北京：人民教育出版社，2020.

[4]普通高中教科書數學選擇性必修第一冊教師用書.[M].北京：人民教育出版社，2020.

[5]普通高中教科書數學教師培訓手冊.[M].北京：人民教育出版社，2020.