基于MATLAB的系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的演示程序設計

燕麗鴿，孫園志，王志鵬（通訊作者）

（南陽師范學院物理與電子工程學院 河南 南陽 473061）

1 引言

系統(tǒng)若要實現(xiàn)其自身的功能，必須具有穩(wěn)定系統(tǒng)。若一個系統(tǒng)的輸入是有界的且輸出也是有界的則該系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)。若系統(tǒng)不是穩(wěn)定系統(tǒng)，其輸出無界，此時系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)；設備無法承受極大的輸出，進而系統(tǒng)不僅不能處于我們所需的工作狀態(tài)，也可能會損毀設備[1]。因而，事先判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定就格外重要。判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定的方法有很多，在控制理論中，判斷系統(tǒng)是否為穩(wěn)定系統(tǒng)的判據(jù)為傳遞函數(shù)的極點在復平面左邊。

利用經(jīng)典傳統(tǒng)方法判斷一個系統(tǒng)的穩(wěn)定性，是復雜且繁瑣的，且難以達到證明目的。其一是因為計算量太大，難以高效進行；其二是傳統(tǒng)方法無法得到強信服力的圖形來支撐觀點加以論證。若是人工計算，可能只是判斷是否穩(wěn)定，而不能準確地畫出直觀的圖形以及得到一些準確的數(shù)據(jù)。所以，人們提出很多輔助方法來幫助判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性，例如勞斯判據(jù)、繪制根軌跡、波特圖等[2]。在控制系統(tǒng)穩(wěn)定性時，由于精準數(shù)值的要求使解得該系統(tǒng)的階躍響應是困難的，且難以描繪精確直觀的頻率響應曲線，所以便可借助電腦軟件MATLAB進行計算以及描繪曲線，同時也可以對系統(tǒng)性能有某些影響的參數(shù)進行研究[3]。

此外，MATLAB該軟件實驗界面友好，操作很簡單，圖形界面設計一目了然，所占內(nèi)存小，容易上手使用，還可用于系統(tǒng)分析和系統(tǒng)設計的教學實驗。在MATLAB的GUI窗口圖形界面可以自主設計，通過設計界面、調(diào)用函數(shù)完成演示。通過觀察GUI演示界面可以簡單、快速、直觀、有效地判斷一個系統(tǒng)是否穩(wěn)定。在MATLAB軟件中，其函數(shù)庫提供了大量的數(shù)學公式，可省去人工計算，大大減少誤差，并且極大地方便進行各種計算及描繪圖形；庫中還包含有圖形繪制的函數(shù)，這樣便得到足以支撐論證且精確的圖形，使得經(jīng)典控制中判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性變得簡單[4]。

2 演示程序的總體結(jié)構(gòu)

根據(jù)《信號與系統(tǒng)》課程的一些知識，若一個連續(xù)或離散系統(tǒng)是有界輸入有界輸出，那么該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。在眾多的經(jīng)典系統(tǒng)中，可以通過多種方法來判斷一個系統(tǒng)是否穩(wěn)定[1]，在本文中選取了零極點圖[5]、根軌跡法、波特圖[6]這3種方法來進行演示。該演示程序設計的總體結(jié)構(gòu)框圖見圖1，點擊每一個按鈕，都可以分別打開不同的系統(tǒng)穩(wěn)定性分析子模塊。

圖1 演示程序設計的主頁面圖

3 子模塊介紹

3.1 零極點圖

在一個線性是不變系統(tǒng)中，若系統(tǒng)的傳遞函數(shù)H（s），其所求解的所有極點均位于復平面的左半平面內(nèi)，出現(xiàn)在時域響應e的指數(shù)部分，因為傳遞函數(shù)極點的實部都小于0，伴隨著時間函數(shù)的逐漸變大，其結(jié)果會逐漸趨于0，因此該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。對應在時域中，極點的實部小于0，是個振蕩衰減的函數(shù)，最后一定會穩(wěn)定。

在離散系統(tǒng)中，在求解其所對應的系統(tǒng)函數(shù)H（z）后，其收斂域包含單位圓，則該系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)；若對系統(tǒng)輸入任意有界的序列，系統(tǒng)輸出也是有界的，那么該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

演示程序設計的零極點圖圖形界面見圖2。

圖2 演示程序設計的零極點圖圖形界面

該GUI程序可以通過在動態(tài)文本框里輸入系統(tǒng)函數(shù)的分子、分母向量后，點擊對應按鍵，可以分別對應顯示連續(xù)、離散系統(tǒng)的零極點圖顯示在坐標軸上，通過點擊back按鍵，可以返回到主界面，若不再進行演示，通過點擊quit按鍵退出GUI程序演示界面。

利用零極點圖判斷連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定性的回調(diào)函數(shù)如下：

axes(handles.axes1)；

a1=handles.axes1；

cla(a1)；

plot([-x x]，[0 0]，'b-'，'LineWidth'，2)；

hold on；

plot([0 0]，[-y y]，'b-'，'LineWidth'，2)；

plot(real(p)，imag(p)，'rx'，'LineWidth'，2)；

plot(real(q)，imag(q)，'ro'，'LineWidth'，2)；

利用零極點圖判斷離散系統(tǒng)穩(wěn)定性的回調(diào)函數(shù)如下：

axes(handles.axes2)；

a2=handles.axes2；

cla(a2)；

hold on；

w=0:pi/200:2*pi；

b=exp(i*w)；

plot(b)；

plot([-x x]，[0 0]，'LineWidth'，1.5)；

plot([0 0]，[-y y]，'LineWidth'，1.5)；

plot(real(p)，imag(p)，'rx'，'LineWidth'，2)；

plot(real(q)，imag(q)，'ro'，'LineWidth'，2)；

3.2 根軌跡法

繪制根軌跡的主要思路就是根據(jù)其特征方程的性質(zhì)與零極點和參數(shù)的關(guān)系，總結(jié)根軌跡的規(guī)律便可畫出根軌跡圖和變化趨勢。繼前言，描制圖形依然可用MATLAB繪出；在其函數(shù)庫中，直接提供了求取函數(shù)零極點的函數(shù)以及繪制根軌跡的函數(shù)（rlocus、rlocfind、pzmap等），所以我們可以根據(jù)所繪制的零極點圖在平面的分布情況直接判斷該系統(tǒng)是否穩(wěn)定[2]。

演示程序設計的根軌跡法圖形界面見圖3。

圖3 演示程序設計的零極點圖圖形界面

該GUI程序可以通過在動態(tài)文本框里輸入系統(tǒng)函數(shù)的分子、分母向量后，點擊顯示圖形按鍵，可以在兩個坐標軸上顯示零極點圖和根軌跡圖，通過點擊back按鍵，可以返回到主界面，若不再進行演示，通過點擊quit按鍵退出GUI程序演示界面。

根軌跡法的回調(diào)函數(shù)：

g=tf(A，B)；

axes(handles.axes2)；

ax_2=handles.axes2；

cla(ax_2)；

hold on；

rlocus(g)；

axes(handles.axes1)；

ax_1=handles.axes1；

cla(ax_1)；

hold on；

pzmap(g)；

3.3 波特圖

波特圖又稱對數(shù)頻率特性曲線，波特圖是線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)對頻率的半對數(shù)坐標圖。利用波特圖可以觀察系統(tǒng)的頻率響應，包括幅頻響應和相頻響應曲線圖[2]。利用波特圖進行穩(wěn)定性判定的依據(jù)是：幅值裕度GM＞0且相角PM裕度＞0，但是使用該判據(jù)進行穩(wěn)定性判定必須滿足一個前提條件：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)必須為最小相位系統(tǒng)。

演示程序設計的波特圖圖形界面見圖4。

圖4 演示程序設計的零極點圖圖形界面

該GUI程序可以通過在動態(tài)文本框里輸入系統(tǒng)函數(shù)的分子、分母向量后，點擊顯示波特圖按鍵，可以顯示出該系統(tǒng)的波特圖以及頻率圖，通過點擊back按鍵，可以返回到主界面，若不再進行演示，通過點擊quit按鍵退出GUI程序演示界面。

波特圖的回調(diào)函數(shù)：

g=tf(A，B)；

axes(handles.axes1)；

ax_1=handles.axes1；

cla(ax_1)；

hold on；

bode(g)；

margin(g)；

4 結(jié)語

本文采用了計算機 MATLAB軟件，通過GUI窗口設計，調(diào)用函數(shù)的方法進行系統(tǒng)穩(wěn)定性的判斷。采用了系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，求解其函數(shù)特征方程的零、極點、閉環(huán)特征根，在時域、頻域中繪制圖形，對系統(tǒng)穩(wěn)定性進行判別研究。設計了零極點、根軌跡、波特圖的GUI界面，可以實現(xiàn)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的判定，具有操作簡單、顯示直觀、易懂、精準的優(yōu)點，避免了傳統(tǒng)方法的繁瑣、不準確以及一些誤差，更便于使用。在此過程中，既避免了繁瑣的分析計算過程，極大地提高了可信度，又可通過計算機繪制圖形，得到有信服力的圖形來支持論證，讓結(jié)果更加嚴謹，且擁有更高的真實性[7]。亦可實現(xiàn)投入課堂講學的使用，通過實際的操作讓學生們更好地理解相關(guān)知識，提升課堂效率和提高課堂質(zhì)量。