X滑移型負泊松比結構設計及特性分析

范啟東，黃 斌，姚子輝，鐘俊煒

（佛山科學技術學院機電工程與自動化學院 廣東 佛山 528225）

1 引言

負泊松比材料由于具有不同于普通材料的物理性能，在超材料中扮演重要角色，對航空航天、半導體器件、光學元件、精密儀器以及建筑材料等領域發展具有重大意義[1]。經典彈性理論已經提出了負泊松比材料存在的可能性[2]，而且早期研究也發現某些天然材料存在負泊松比特性，Love[3]在1944年首次證明了黃鐵礦晶體存在負泊松比特性。Baughman等[4]發現負泊松比特性是許多立方體結構金屬的共同特征，而Keskar等[5]和Wang等[6]分別發現α方晶石和二維結構的δ磷也具備負泊松比特性。另外，在生物組織上，松質骨骼[7]、貓皮膚[8]、奶牛乳頭皮膚[9]等都存在負泊松比特性。除了生物組織以外，細胞也同樣存在負泊松比行為，如紅細胞的細胞骨架[10]。利用體細胞負泊松比特性，Yan[11]制造了用于預測多能干細胞神經元細胞分化的各種負泊松比聚氨酯支架模型。

目前，大多數負泊松比材料是通過人工設計制造，其主要實現方式是利用材料內部結構變形以實現材料的負泊松比特性，典型的變形機理可以分為內凹結構、旋轉剛體結構、手性/反手性結構、纖維/節點結構、折紙結構、褶皺結構、屈服-誘導結構以及其他結構等[12]。從本質而言，人工負泊松比結構是利用胞元內部的空隙隱藏體積，在特定的條件下釋放，形成負泊松比。大多數人工負泊松比結構材料的實現方式是采用類似于鉸鏈結構，利用材料轉動變形產生負泊松比特性。但是鉸鏈結構并非是機械結構上的鉸鏈，而是利用材料變形產生位移達到鉸鏈效果，這樣對材料性質以及幾何尺寸的要求非常高，而且對脆性材料非常不友好。

由于大多數人工負泊松比結構材料采用機械結構中的鉸鏈實現拉脹特性，而鉸鏈在機構學又是轉動副的典型代表，因此有理由相信機構學里面的其他運動副也可以實現負泊松比結構。Ravirala等[13]在核反應堆的石墨磚結構提出了聯鎖六邊形模型，當受拉伸時，會產生負泊松比效應。聯鎖六邊形結構由多個六邊形剛體組成，相鄰兩剛體互相扣接，形成鎖結，這種互扣鎖結，與機構學中的移動副結構，說明了利用機構學中的運動副，可以設計出負泊松比結構。

2 滑移型聯鎖結構設計

為驗證以運動副方式獲得負泊松比結構的可行性，本文從日常生活中的伸縮吸管中找到參考。伸縮吸管在拉伸過程中由于吸管壁上下層之間發生了相對轉動，呈現了軸向拉長、徑向收縮的正泊松比特性（圖1a）。假設吸管的拉伸不是靠轉動，而是由吸管壁間的滑動來實現，在保持吸管最小直徑時，伸縮吸管將呈現負泊松比特性（圖1b）。

圖1 伸縮吸管的拉伸狀態

實際上，吸管壁的環狀結構會限制吸管上下移動，難以在現實中達到拉脹的效果。假設吸管壁是平面二維的，將不受環形的約束；進一步假設兩個吸管并肩放置，將會呈現X型的結構（圖2a）。考慮到人工負泊松比材料多為以多個相同胞元組合的結構材料，將該X結構提取作為結構材料的滑移胞元（圖2b）并以移動副方式組成網格（圖2c）。進一步觀察，可以發現該胞元組成的網格可能具備滑移拉脹特性（圖2d）。

圖2 X滑移結構的設計過程

但該X滑移胞元僅為個體胞元，尚未能實現胞元間的連接，需對該X滑移胞元進行進一步改良。圖3為X滑移胞元的改進過程，在X滑移胞元臂上添加槽和倒鉤，利用槽和倒鉤與其他X滑移胞元臂以移動副方式結合；在此基礎上，利用彈簧連接X滑移胞元臂，并形成X滑移胞元間的形狀聯鎖。圖4所示為2×3構型X滑移胞元網格，在受到外部拉力的作用下，網格呈現拉脹的負泊松比特性。

圖3 X滑移胞元的改進過程

圖4 X滑移胞元網格的拉脹特性

3 X滑移胞元特性分析

因X滑移胞元為對稱結構，對其理論分析可以集中在胞元的一條結構臂上，見圖5。假設胞元臂長為O1A=c，AB=2t，BC=d，臂寬為t，胞元之間的移動距離為m，胞元臂與水平方向夾角為θ。

圖5 X滑移胞元的參數設置

根據圖5 建立x及y方向的長度方程：

化簡得：

由圖5可知，在受外部載荷后，其伸長量均與γ有關，因此由式（2）可推導出x及y方向的在受外部載荷后的伸長量：

化簡得：

因此，x及y方向的應變為：

則X滑移胞元的泊松比為：

由X滑移胞元結構可知，夾角θ的取值范圍從0°～90°，當θ在（0°，90°）時，由于c和t均為正數，μ恒為負值。因此，胞元結構為負泊松比結構，以該胞元組成的復合材料為負泊松比材料。當θ為90°時，cosθ為0，第二項為無窮，在這種情況下，胞元則呈現零泊松比特性。另外，式（6）顯示，調整臂長/臂寬的比值也會影響泊松比的大小。

在此基礎上，利用SolidWorks對胞元結構進行修改， 如將兩個X滑移胞元進行正交組合或將X滑移胞元彎曲，可以得到空間X型胞元結構，見圖6，將空間X型胞元結構組合可以得到空間負泊松比結構，見圖7。

圖6 空間型X滑移胞元

圖7 空間型負泊松比結構

5 結語

本文提出X滑移胞元結構，并在此基礎上分析了該胞元的結構特性。分析結果顯示，X滑移胞元結構的胞元臂與水平夾角θ在(0°，90°)時有負泊松比結構的特性，當θ為90°時，胞元則呈現零泊松比特性。通過調整臂長/臂款的比值也會影響泊松比的具體大小。另外，通過整合X滑移胞元的幾何結構，可以得到不同的空間負泊松比結構材料。