快速傅里葉變換在信號處理中的應用

於 璽

（同濟大學浙江學院 浙江 嘉興 314000）

1 引言

傅里葉變換在信息學科擁有很高地位。但計算機只能處理離散且有限長序列，因此它在離散域中的表達形式—離散傅里葉變換（discrete fourier transform，DFT）產生了。離散傅里葉變換可以直接用來進行計算分析工作，因此在數字信號處理中，常常會用到此方法來分析信號頻譜、計算頻率響應等。1965年，快速傅里葉變換算法（fast fourier transform，FFT）首次被提出。在對速度要求沒有非常高的情形下，FFT基本上可以滿足工業應用的要求。在處理數字信號時，常常可以用離散傅里葉變換來實現它的運算，所以快速傅里葉變換算法之于數字信號處理具有不可替代的作用。因此，在快速傅里葉變換誕生之后，數字信號處理技術的發展越加迅速、應用范圍也越加廣泛，幾乎滲透進了社會生產和生活的方方面面。

2 國內研究現狀

張玲佳[1]在對FFT算法的原理及FFT硬件加速器的影響因素進行研究之后，對高維度FFT加速器進行了設計及硬件實現。在雷達信號處理領域，為實現動目標檢測技術，謝輝輝[2]設計了一種可變點和一種定點FFT處理器。在圖像融合領域，曹端良[3]提出一種改進的HIS+SWT算法，此外，還提出一種改進的快速傅里葉變換的泊松圖像融合算法。在頻譜分析方面，邢鑫[4]對基于FFT的頻譜細化算法進行了深入研究。在電力系統下，為減少諧波污染問題，張旭東[5]基于FFT的諧波檢測算法提出加6項組合余弦窗雙譜線插值修正諧波檢測算法。黃純等[6]提出分通道分時段壓縮方案，以減少電力系統中大量故障數據的傳輸問題。在對色譜噪聲進行平滑方面，楊黎等[7]將FFT法與其他數字濾波法進行比較后發現，FFT法能更好進行噪聲平滑處理，并使信噪比提高18倍。在對圖像中的噪聲進行平滑方面，林志斌等[8]提出一種新的基于OGSTV的圖像去噪方法，該法加入了FFT理論后，大大縮短了去噪時間。此外，陸文祺[9]深入研究了基于高階模型的圖像去噪，此外對其快速算法進行了分析。在軌道電路移頻信號檢測上，安義巖[10]提出基于帶通采樣的FFT軌道移頻信號調解算法以提高解調精確度。

3 快速傅里葉變換FFT原理及其優越性

3.1 快速傅里葉變換FFT原理

模擬信號x（t）連續傅里葉變換：

x（t）T個抽樣周期后變為x（nT）。設x（n）為N點有限長序列。

其DFT為：

由上式可見，接下來運算十分復雜。

3.2 快速傅里葉變換的優越性

計算的工作常常通過計算機來進行。在使用傅里葉變換進行復雜運算時，計算機往往會因為運算負擔過大而導致高耗電量。因此，運算速度相對較慢的計算機系統常常對此敬而遠之。而由于快速傅里葉變換對運算的低要求及其運算快的優點，使得FFT在生產和生活中作用都極其巨大。

4 快速傅里葉變換在信號處理中的應用

信號處理，簡言之，就是人們為了得到有用信息，而對原信號進行一系列處理的方式。以下是對FFT在信號處理中的應用進行的分析與總結。

4.1 用FFT進行離散信號壓縮

FFT算法壓縮比高，因而可以用其進行信號壓縮。快速傅里葉變換可以在某個給定的錯誤容限下，把小于相應閾值的快速傅里葉變換系數置零，從而減少需要傳輸的系數，最后實現壓縮。例如，大量故障錄波數據常會出現在電力系統中。龐大數量的故障錄波數據會使得之后存儲和實時傳輸故障信號會變得十分困難，而壓縮錄波數據的方法可以大大改善這一問題。

4.2 用FFT實現快速卷積

卷積在分析數學中有重要作用，常被用來進行信號分析。如果f（x）、g（x）為 (實數集)上兩個可積函數，對其作積分：

則稱F(x)為函數f（x）、g（x）的卷積。常表示為F（x）=f（x）*g（x）。

對于定義在 Z（整數集）上的函數f 、g，卷積定義為：

卷積定理：如果兩個時間序列h（k）和x（k）分別為 H（m）和X（m），那么h（k）*x（k）的DFT為H（m）點乘X（m），H（m）點乘X（m）的IDFT為h（k）*x（k）。應用快速傅里葉變換實現快速卷積，簡言之，是將N點的DFT不斷等分到很小，計算2點、4點或混合基的DFT，此法能使DFT的計算難度降低。

4.3 用FFT進行諧波檢測

隨著經濟的迅猛發展、各類電力電子設備的廣泛使用，電力系統的污染比如諧波問題也日漸嚴重。快速傅里葉變換常常被用來檢測基波和整數次諧波，從而進行諧波檢測。

盡管基于FFT的諧波檢測算法應用范圍廣，但其也存在局限，比如FFT法存在較大誤差。此外，FFT法還需一定時間進行采樣。為了使FFT法的計算準確率和計算速度有所提升，目前，改進方法有加窗插值算法、雙峰譜線修正算法和組合方法。此外，針對此法的局限性，許多學者提出了許多能夠起到明顯效果的小策略，如張旭東[5]提出的優化算法。

4.4 用FFT進行去噪

在各領域進行信號檢測，都會產生一定噪聲信號，以下以色譜、圖像兩方面的信號去噪為例。

色譜數字信號除了包含檢測器對所分析的樣品產生的響應信號，還包含整個系統帶來的噪聲信號，這使得色譜峰的檢測、判別與數據處理變得困難。在對色譜信號進行去噪方面，使用快速傅里葉變換能大大縮短檢測時間、提高檢測靈敏度。

在圖像去噪方面，由于圖像常會產生不同的噪聲，為了得到清晰優質的圖像，我們需要在圖像處理之前對其進行去噪處理，使用FFT對其在頻域進行操作是一種有效的方式。將圖像進行傅里葉變換使其轉化到頻域，我們可以將得到的圖像像素中高頻部分的幅值置為0，同時只保留低頻部分幅值，圖像噪聲從而得以簡單去除，使得圖像得到一定平滑，但此法未能精確去除噪聲。因此，也產生了許多基于FFT的新算法，如林志斌[8]在傳統OGSTV的圖像去噪方法中引入了FFT，使得圖像去噪時間大大縮減。

4.5 關于FFT的硬件實現

在合理利用硬件特性的基礎上，硬件加速器能夠使計算更為快速。而硬件本身存在一定的局限性，如內存、成本等方面。因此許多學者針對這一局限，提出了自己的想法，如張玲佳[1]在文獻中提出了一種高速、低資源消耗的變維度FFT硬件加速器。這種硬件加速器可以很好地適應復雜數字信號處理對不同維度、不同點數的快速傅里葉變換計算任務。

4.6 用FFT進行信號檢測

雷達探測的環境中通常都充斥著各種雜波，進而干擾雷達探測到的結果。因此我們需要通過動目標檢測以濾除干擾項、保留運動目標的回波。在雷達信號領域，FFT常用于濾波。由文獻[2]動目標檢測常使用多普勒濾波器組FIR橫向數字濾波器進行濾波。為了提高運算效率、簡化實現過程，快速傅里葉變換算法大大降低運算要求，同時大大縮小了所需硬件面積。而此法在檢測性能上有局限性，因此常常將其與MTI配合使用。此外，FFT濾波器組在靈活性、抑制雜波能力等方面也有一定局限，在這些方面仍需深入研究。

在軌道交通領域，常需要檢測列控系統中的移頻信號，以判斷軌道區段是否占用，從而防止錯誤辦理。然而，軌道電路中的信號檢測常受到牽引電流和相鄰軌道區段的移頻信號的影響。因此，想對其進行信號檢測，首先需要進行信號解調，使用FFT算法的頻域檢測法目前常用于信號解調。目前，許多學者在此基礎上對移頻信號檢測技術進行了優化，如安義巖[10]提出基于帶通采樣的FFT軌道移頻信號調解算法，使解調精確度進一步提高。

5 結語

本文對快速傅里葉變換算法進行了分析，并詳述了FFT在信號處理中的應用。快速傅里葉變換運算高效便捷，為信號處理提供了良好的條件。