從一道模擬題的多解談解三角形的一輪復習

洪汪寶

(安徽省安慶市第一中學 246004)

題目已知△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c，且2sinAcosB-sinBcosC=sinCcosB.

(1)若a,b,c成等比數列，試判斷△ABC的形狀；

(2)若a=2,c=3，點D在邊AC上，且BD平分∠ABC，求BD的長.

本題是我校2020屆高三第三次模擬考試的理科第17題，主要考查三角恒等變換、特殊角的三角函數值、等比數列的定義、正弦定理、余弦定理等多個知識點，對學生的邏輯推理能力和運算求解能力要求較高，要求學生具備扎實的邏輯推理素養和數學運算素養.

一、解法探究

1.第(1)小題的解法

由a,b,c成等比數列知b2=ac.

方法2由余弦定理知b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac，當且僅當a=c時，b2=ac，因此△ABC是等邊三角形.

點評解法1直接利用余弦定理并整理得到完全平方式；解法2利用重要不等式，巧用取等條件，將解三角形與重要不等式相結合，是我們常見的一個綜合點；解法3發現所給等式的兩邊均為二次，利用正弦定理，將邊化為角，再利用三角恒等變換，對學生的運算求解能力要求較高；解法4引入公比q，實際上是為了消元，將多元化為一元，體現了轉化與化歸思想.

2.第(2)小題的解法

點評解法1，2，3主要都是利用正弦定理和余弦定理，思路比較自然.根據已知條件，在△ABC中，已知兩邊及其夾角，該三角形是唯一確定的，所以其內角平分線的長也是唯一的.解法1中出現兩解，要注意取舍，而且整個計算過程比較繁瑣，不少學生應用了該解法，但算出來的不多；解法2的后面利用了正弦定理，效果比較好；解法3挖掘出隱藏條件∠ADB+∠CDB=π，要注意這個模型的應用.

二、復習建議

1.理清知識要點，正確選用定理

解三角形是每年高考的必考知識點，我們在復習過程中必須理清知識要點，弄清知識要點的來龍去脈.比如說正弦定理，我們知道它反映了同一三角形的邊角之間的等量關系，在一輪復習中可以設計如下的問題鏈：

(1)正弦定理的具體內容是什么？(文字語言、圖形語言、符號語言等)

(2)如何證明正弦定理？常見證法有哪些？(作高、面積法、作外接圓、向量法等)

(4)何時利用正弦定理來解三角形？(已知兩角與一邊，已知兩邊與其中一邊的對角)

(5)利用已知的兩邊與其中一邊的對角解三角形時，要注意什么？

2.開展一題多解，促進深度學習

考試或作業時因時間有限，大部分學生解完題目就認為萬事大吉了，沒時間進一步思考，制約了學生的思維質量與思維層次，不利于學生思維的培養.于是要求老師在批閱試卷和作業時要注意搜集典型題目和解法，筆者在初次見到上面的題目時，感覺很平常的一道問題，但在批閱試卷時，驚喜連連，上面提供的解法基本上都是學生考試中運用的方法，只不過有的解法學生用的比較多，有的用的比較少.

3.精心組織微專題，提升復習效率

在一輪復習過程中，大部分老師都喜歡直接利用一輪復習用書，按照書上的要求進行講解，沒有自己的再加工，長此以往，學生對復習必將失去興趣，影響復習效果.微專題教學是時下比較流行的教學方式，特別在復習課中應用比較廣泛，微專題具有切口小、選題精、角度新、針對性強等特點，這樣可有效抓住熱點，突出重點，突破難點和易錯點，從而備受廣大一線教師的青睞.所以要求老師精心挑選組織微專題，微專題的選擇要“微”在定點突破，“微”在精心預設，“微”在互動生成.