恒成立問題的解析技巧

陳燕琴

(江蘇省海門中學 226100)

一、參數拆分法

顧名思義，參數拆分法就是將方程式中的參考數值加以拆分,將其單獨拎出來的方法.首先將方程式轉化為形式如a≤f(x)，a≥f(x),afman(x).

例1若圖像C1的函數為f(x)=x3-3x變換到圖像C2要經歷以下過程：首先往右方平直挪動u單位，然后往下方平直挪動v單位.當u>0時，C1跟C2最多產生一個交點，求fmin(v)的值.

解∵y=(x-u)3-3(x-u)-v，

∴(x-u)3-3(x-u)-v=x3-3x.

又∵△≤0，

故函數當g(u)在(0，2)上單調遞增；在(2，+∞)上單調遞減；當u=2時，g(u)max=4,因此，4為v的最小值.

二、判別式方法

這種方法主要適用于解析可以歸為一元二次函數類題型的最值問題，如求方程f(x)的最大值，或最小值，這類題的解題技巧在于“問什么即設什么”，然后將所設的數值代入已知的方程式中，再逐步求出最值.

解f′(x)=3x2-9x+6=3(x-1)(x-2)，

∵x∈R,f′(x)≥m,即3x2-9x+(6-m)≥0恒成立，

故△=81-12(6-m)≤0，

三、賦值解題法

賦值解題法是指首先假定有一個數值能使題目中的不等式恒成立，再將所賦值的具體取值范圍解出來,然后再進行倒推、證實題意的方法.

∵2xy≤x2+y2成立，

∴3x(x+2y)+3y(2x+y)≤2(2x+y)(x+2y),

又∵x2+y2≥2xy成立，

∴3x(2x+y)+3y(x+2y)≥2(x+2y)(2x+y)成立……(2)，

四、聯結圖形法

若題中已經給定相關參數及其取值范圍的情況下，依舊難以解出答案的情況下，這時就可以結合題中方程的圖形，在已知條件與圖形之間建立聯結，找到解題的切合點，然后分情況算出所求數值的范圍，再將其并集.

例4現有f(x)=x2-ax+1,當a的值域為何時，可在任意x∈(1,2)的情況下讓不等式f(x)<0恒成立？

在[1,2]上，有fmax(x)=f(2)=5-2a<0，

∴a>3，

五、偷換主元法

當不等式中不僅僅只有一個變量的時候，就適宜采用偷換主元法來解題.即將已知條件更多的、或給定取值范圍的那一自變量當成主元，利用其取值范圍來解題.

∴x2+ax>2x+a-1,即(x-1)2>-a(x-1)在a∈[-1,1]的條件下都能成立.

令f(a)=a(x-1)+(x-1)2，

因此，題中所求x的范圍相當于解：當x要滿足何種條件時能讓上述函數在區間[-1,1]恒為正.

∴x>2,或x<0,

∴x的取值范圍為：(-∞，0)∪(2，+∞).

恒成立問題的巧妙解決，除了上述幾種策略外，還有諸如定義利用法、綜合解決法等多種解題技巧，高中數學老師在選定恒成立問題的解題技巧時，要注意將所選的解題技巧與所給題目的性質及學生在此問題上已有的認知相結合，選用最優的恒成立解題策略，提高解題效率.