基于初始孔隙率的千枚巖損傷模型分析

王允偲， 鄧祥輝， 王 睿， 趙志清

(西安工業大學建筑工程學院， 西安 710021)

當隧道在千枚巖地層中修建時，由于千枚巖節理裂隙發育，強度低，容易導致隧道變形過大、襯砌開裂甚至局部坍塌等工程問題[1-2]。因此，需對千枚巖的工程性質進行研究。千枚巖由于成巖歷史和賦存環境等因素的影響，導致初始孔隙率差異很大，因而造成不同環境下千枚巖的工程性質相差很大[3]。若不能準確地掌握千枚巖的工程性質，將造成重大工程事故，因此，需對不同初始孔隙率下千枚巖的工程性質進行研究[4]。

為了防止或減少在軟巖中施工發生的工程事故，中外學者就此對軟巖的性質開展了一系列研究。齊萬鵬等[5]對IV、V級千枚巖進行了細致分級，建立了千枚巖圍巖施工階段的亞級分級方法。王睿等[6]利用聲波-回彈聯合測試法，建立了施工現場圍巖快速分級的方法，所建立的圍巖快速分級方法與傳統的分級方法相比，更加準確快速。周翠英等[7]通過掃描電鏡、X射線衍射及物理力學試驗等方式測定了泥巖、炭質泥巖等軟巖的微觀結構、礦物成分、物理力學性質及其隨時間的變化特點，揭示了軟巖軟化的變化規律。杜宇翔等[8]通過X射線衍射、電鏡掃描和三軸壓縮試驗等方式，分析了昔格達組半成巖的微觀結構與強度特性，提出了一種新的巖土體的工程分級方式。車平等[9]從物理力學性質、礦物與化學成分、微觀結構等方面對巢湖地區墳頭組泥巖進行試驗研究，發現水沿微裂隙進入巖石內部，溶解可溶鹽膠結，使裂隙向縱深發展是導致巖石軟化的根本原因。蔣毅等[10]結合巖石的單軸壓縮與三軸壓縮試驗，探究了軟硬巖交互地層的力學性質。研究發現復合底層的變形主要發生在軟巖部分，因此提出軟巖的性質對于工程施工具有重要意義。Yang等[11]對泥質板巖進行了水理性試驗和單軸壓縮試驗，發現隨著飽水時間的延長，泥質板巖的峰值強度逐漸下降，泊松比逐漸增大，其破壞形式主要是沿著層理面發生張拉破壞和局部剪切破壞。

在研究軟巖的力學性質的過程中，很多學者認為建立力學模型進行分析是比較有效的方法，并對一些軟巖如泥巖、板巖等進行了損傷模型分析。如張明等[12]和張慧梅等[13]利用三軸壓縮試驗并結合巖石損傷理論進行研究，得出了應用于廣義巖石的損傷本構模型。田忠喜等[14]根據微元統計理論建立了損傷變量，并引入修正系數調整巖體結構面對圍巖的影響，推導出了考慮結構面對巖體影響的損傷本構方程。袁小清等[15]修正了非貫通裂隙巖體的本構模型。溫韜等[16]建立能夠體現巖石的初始損傷以及損傷部分仍能承受一定應力的新型巖石損傷模型，并建立了相關修正影響因子來修正損傷本構模型。宿輝等[17]基于片麻花崗巖的室內物理試驗，探究了不同溫度下片麻巖的熱損傷規律，建立了考慮溫度變化的損傷模型。王偉等[18]和陳俊樺等[19]分別修正了考慮孔隙水壓力及考慮巖石完整性系數的巖石損傷本構模型。邵志鑫等[20]利用電子計算機斷層掃描(computed tomography，CT)掃描技術，總結了不同凍融循環下矽卡巖的凍融損傷特征，建立了凍融損傷下圍巖的損傷規律。對于巖石損傷本構模型的修正，雖然中外學者已經進行了大量的研究[21-22]，但對于巖石的初始孔隙率并未考慮。初始孔隙率是巖石形成過程中產生的原生孔隙，對于初始孔隙率較大的軟巖，在力學性質分析中必須考慮初始孔隙率的影響。

在考慮了千枚巖初始孔隙率的條件下，結合巖石損傷力學，在巖石破壞變形的基礎上，利用巖石損傷隨機分布原理，建立了考慮千枚巖初始孔隙率損傷的本構模型。

1 考慮初始孔隙率的千枚巖損傷模型

1.1 基本假設

當千枚巖受到壓力作用時，其應力應變曲線與大部分巖石相同，可以分為四個階段：壓密階段，彈性階段，彈塑性階段，軟化階段。千枚巖在成巖歷史過程中，受賦存環境的影響，如地下水、風化、地應力、構造運動等因素的影響，會產生較多影響巖石性質的原生孔隙，將巖石成巖過程中產生的這些原生孔隙定義為初始孔隙。初始孔隙體積與巖石總體積之比即為初始孔隙率。在建立千枚巖損傷本構模型時，既要充分考慮千枚巖四個階段的變形特性，又要考慮千枚巖內部初始孔隙率對于巖石強度的影響。因此做出如下假設。

假設千枚巖在受到軸向力時可簡化為：天然孔隙部分的面積A0、未損傷部分的面積A1和損傷部分的面積A2，如圖1所示。

圖1 損傷模型受力示意圖Fig.1 Schematic diagram of the damage model

孔隙部分無法承受任何荷載，損傷部分承受損傷應力σr，未損傷部分承受有效應力σ1，σ為巖石承受的全部荷載，則其關系式為

σA=σ1A1+σrA2

(1)

式(1)中：A為巖石的面積；A1為未損傷部分的面積；A2為損傷部分的面積。

假設千枚巖受壓后，內部損傷僅發生在主應力方向，其他方向不發生損傷，即千枚巖所受荷載僅由未損傷部分與損傷部分共同承擔，因此定義損傷變量D為

(2)

假設千枚巖作為一個整體，當受到軸向壓力作用時，軸向應變相同，同時，內部微元滿足如下條件。

(1)微元在彈性變形階段滿足廣義胡克定律:假設內部未損傷的微元在彈性變形階段滿足廣義胡克定律，根據廣義胡克定律，引入有效應力E可得

Eε1=(1+μ)σ1-μ(σ1+σ2+σ3)

(3)

式(3)中：E為千枚巖的彈性模量；μ為千枚巖的泊松比；σ1為千枚巖所受的最大主應力；σ2為千枚巖的中間主應力；σ3為千枚巖所受的最小主應力；ε1為千枚巖的最大主應變。

在單軸壓縮條件下，圍壓為零，即σ2=σ3=0，因此前后方向上的徑向應變ε2與左右方向上的徑向應變相同，即ε2=ε3，可得

σ1=Eε1

(4)

(2)微元的屈服條件滿足Drucker-Prager(D-P)屈服準則。根據Drucker-Prager屈服準則，有

(5)

式(5)中：f為D-P強度準則的表達式；I1為有效應力張量的第一主不變量；α為巖石與內摩擦角φ有關的材料參數；k為巖石與黏聚力c和內摩擦角φ有關的材料參數；J2為有效應力偏張量的第二主不變量，其計算公式分別為

(σ1-σ2)2]

(6)

I1=σ1+σ2+σ3

(7)

(8)

(9)

將式(6)～式(9)代入式(4)，便可得D-P強度準則在三軸壓縮條件下的表達式，對于單軸壓縮試驗，σ2=σ3=0，其計算公式為

(10)

(3)微元的強度滿足Weibull分布。千枚巖內部微元的損傷概率與屈服強度有關，巖體內部的隨機微元為損傷微元的概率為p。在達到峰值應變時，內部的損傷微元的數量等于巖石的損傷變量。可知千枚巖內部的損傷變量與微元強度之間的關系為

(11)

式(11)中：p為巖體內部的隨機微元為損傷微元的概率；p(f)為達到D-P強度準則的巖石內部微元為損傷微元的概率。

Weibull隨機分布是可靠性分析的理論基礎，可用來表示內部微元的強度可靠性，并計算微元為損傷微元的概率，因此千枚巖內部損傷的密度函數可表示為

(12)

式(12)中：m和f0為統計參數，是定值，可通過邊界條件利用半逆解法求得。

由此，將式(11)代入式(10)并進行積分，可以求出損傷變量為

(13)

1.2 千枚巖損傷本構模型的建立

假設千枚巖的初始孔隙率為w，則有

A0=Aw

(14)

結合式(1)、式(2)和式(14)，可以得出考慮損傷變量的應力表達式為

σ[σ1(1-D)+σrD](1-w)

(15)

將式(13)代入式(15)，可將損傷變量替換，得到與屈服強度有關的應力表達式為

(16)

(17)

(18)

(19)

將式(18)、式(19)代入式(16)，得到考慮初始孔隙率的千枚巖損傷模型為

(20)

2 室內試驗

2.1 試樣制備

四川鎮江關—松潘的某鐵路隧道穿越的富水千枚巖地帶，分別從該隧道的DK232+620、DK520+535、DK807+120、D1K106+370、D1K450+805區段隨機選取千枚巖巖樣若干，進行室內試驗。根據《工程巖體試驗方法標準》(GB/T 50266—2013)的規定，將巖樣制作成直徑為50 mm，高為100 mm圓柱體試塊。將采集到的各個區段的巖樣按照上述要求制成試塊，試塊實拍圖如圖2所示。

圖2 圓柱體試件Fig.2 Cylindrical specimen

2.2 孔隙率測試

2.2.1 孔隙率測試原理

千枚巖的孔隙率是采用MesoMR23-060H-I型中尺寸核磁共振成像分析儀測得。在進行核磁共振之前，需對千枚巖運用真空飽水儀進行真空抽氣法強制性飽水。

核磁共振是質子在磁場作用下進行弛豫，質子在磁場作用下運動的時間稱為弛豫時間，弛豫時間用T2表示，是核磁共振測試的重要參數。由弛豫時間T2可知，核磁共振總的橫向弛豫速率為1/T2，1/T2的變現形式為

(21)

根據式(21)，結合核磁共振的原理可知：千枚巖在強制飽水后，其孔隙內有且僅有一種液體，因此，質子自由弛豫時間T2自由會較長，1/T2自由會較小，可以忽略不計；千枚巖在進行核磁共振試驗時，儀器參數合理的調試使得千枚巖處于均勻磁場中，磁場梯度G較小，可以忽略不計，因此核磁共振總的橫向弛豫速率的計算式(21)可以簡化為

(22)

對于千枚巖核磁共振的試驗結果，可根據式(22)推算出孔隙率。

2.2.2 孔隙率分析

核磁共振試驗測得同一區段的千枚巖孔隙率相似，為了便于進行后續研究，選取不同孔隙率的千枚巖巖樣各一組，孔隙率如表1所示。

表1 巖樣孔隙率

根據式(22)以及核磁共振試驗所測得的不同區段千枚巖的T2譜，得出了不同區段千枚巖的孔隙半徑分布情況，繪制出千枚巖孔隙半徑與孔隙率分量曲線，由于孔隙率相似，其孔隙半徑與孔隙率分量曲線圖基本一致，為方便觀察，從每一區段中取一條曲線進行展示分析，如圖3所示。

圖3 試件孔隙率分布Fig.3 The porosity distribution of the test piece

對圖3分析可知：千枚巖內部的孔隙半徑為 0～100 μm，其中絕大部分孔隙半徑分布在0.01～40 μm。千枚巖孔隙率分布共有2個波峰，分別集中在孔隙半徑為0.01、10 μm左右，表明這兩種半徑的孔隙相比于其他半徑的孔隙在千枚巖內部分布較多。結合表1、圖3分析可知：當千枚巖內部的孔隙率小于0.5%時，其內部半徑為0.01 μm的孔隙數量多于孔隙半徑為10 μm的孔隙；當千枚巖內部的孔隙率大于0.5%且小于1%時，其內部半徑為0.01 μm的孔隙數量多于孔隙半徑為10 μm的孔隙；當千枚巖內部孔隙率大于1%時，其內部各種半徑的孔隙數量均明顯增多，且高于其他孔隙率的千枚巖。

2.3 應力應變測試

2.3.1 應力應變分析

根據單軸壓縮試驗所測得的橫向峰值應變、縱向峰值應變以及單軸抗壓強度，可求得千枚巖的彈性模量與比泊松比。結合表2可以看出，千枚巖孔隙率較小時，其單軸抗壓強度的峰值應力較大，峰值應變較小，隨著孔隙率的增大，峰值應力在逐漸的減小，峰值應變在逐漸地增大。當千枚巖的孔隙率小于1%時，千枚巖的峰值應力與峰值應變變化不大，當孔隙率大于1%時，千枚巖的峰值應力急劇的下降，峰值應變急劇的上升。

表2 試件的峰值應變和單軸極限抗壓強度

將千枚巖的彈性模量與其相應的孔隙率進行擬合，擬合曲線如圖4所示。由圖4可見，千枚巖彈性模量與其孔隙率的擬合基本吻合，擬合的相關系數R2=0.981 3，擬合關系式為二次多項式，可表示為

圖4 試件彈性模量與其孔隙率擬合曲線Fig.4 Fitting curve of elastic modulus of rock sample and its porosity

E=110.3w2-306.53w+225.28

(23)

由式(23)可知，千枚巖的彈性模量與孔隙率有關，且孔隙率越大彈性模量越小。

2.3.2 應力-應變曲線

對不同區段的千枚巖分別進行單軸壓縮試驗，得到的數據經過處理，繪制成應力-應變曲線，由于同一區段的孔隙率相近，其應力應變曲線相近，故每一區段取出一條曲線進行展示分析，如圖5所示。

圖5 不同區段試件的應力-應變曲線Fig.5 Stress-strain curves of specimens in different sections

從圖5可見，5個斷面的試件應力-應變曲線表現出類似的規律性，即千枚巖單軸壓縮應力-應變全過程曲線的變化規律大致上均可劃分為4個階段。具體分析如下。

(1)第Ⅰ階段：壓密階段，此階段應力較小但應變較大，主要原因為千枚巖在豎向荷載的作用下，內部的孔隙逐漸閉合。壓密階段雖有應變，但千枚巖內部微元未發生任何變形。

(2)第Ⅱ階段：彈性階段，此階段應力與應變呈線性相關，主要原因為千枚巖在豎向荷載的作用下，內部微元發生彈性變形。彈性階段的應力應變關系滿足胡克定律，可通過擬合獲得彈性模量。

(3)第Ⅲ階段：彈塑性階段，此階段應力與應變不再滿足線性關系，應力的加載速度減小，應變的變化速度增大。主要原因是應力達到了塑性閾值，千枚巖開始發生彈塑性變形。

(4)第Ⅳ階段：軟化階段，此階段的應力不再增加，應變急劇的增加。千枚巖達到峰值應力后，其承載力逐漸地下降至殘余應力。

分析圖5可知，不同區段的千枚巖經過單軸壓縮破壞后，隨孔隙率增大，其第Ⅰ階段曲線所占比例越大，主要原因是千枚巖內部的孔隙數量與孔隙體積不斷累積與增大導致的；第Ⅱ階段曲線所占的比例逐漸減小，而第Ⅲ階段曲線將變得平緩，這表明千枚巖隨著孔隙率的增大，其彈性階段逐漸的減小，彈塑性階段逐漸增大；第Ⅳ階段的曲線幾乎平行，說明千枚巖的軟化階段與孔隙率無關，但殘余強度及峰值應力強度與孔隙率相關，且孔隙率越大，殘余強度與峰值應力強度越低。

3 本構模型驗證

將表2所求得的各參數代入式(20)中，可擬合出不同孔隙率下的應力應變曲線。每組各取一組數據，與相同孔隙率的單軸壓縮曲線進行比對，結果如圖6所示。可以看出，考慮初始孔隙率的千枚巖損傷本構模型的預測數據與實際數據基本相符，曲線基本重合，但其極限單軸抗壓強度均比實際數據略小。

圖6 應力-應變預測曲線Fig.6 Stress-strainforecast curve

由表3可知，從15個試樣的單軸抗壓強度結果看，預測強度值與實測強度值誤差范圍為0.25%～1.84%，5組試件平均誤差分別為1.80%、1.19%、1.77%、0.29%和0.67%。從結果可知，預測值與實測值誤差較小，說明預測方法和建立的千枚巖損傷模型是符合實際的。因此該模型可用來預測不同孔隙率下千枚巖的單軸抗壓強度與極限應變量，并且孔隙率越大，預測結果越接近。

表3 預測抗壓強度值與實測抗壓強度值對比

4 結論

在考慮初始孔隙率的情況下，對千枚巖損傷模型進行了理論推導，并通過試驗進行驗證。得出如下主要結論。

(1)基于巖石的應變強度理論，假設巖石變形滿足胡克定律并且巖石強度滿足Drucker-Prager屈服準則，結合千枚巖的應力應變曲線，建立了考慮初始孔隙率的千枚巖損傷本構模型。

(2)通過試驗結論與擬合曲線的對比結果可知，千枚巖考慮初始孔隙率的損傷本構模型能夠較為的準確反應千枚巖的應力應變過程，可用來預測千枚巖的極限單軸抗壓強度，且預測的單軸抗壓強度結果偏于安全。