基于Dixon優(yōu)化算法的雙頻匹配網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)

王龍崗， 陳章友， 吳雄斌， 王 歡

(武漢大學(xué)電子信息學(xué)院， 武漢 430072)

高頻地波雷達(dá)(high frequency surface wave radar,HFSWR)工作在短波(3～30 MHz)波段，利用垂直極化的電磁波沿海洋表面繞射傳播的特性，能夠克服地球曲率的限制，實(shí)現(xiàn)對(duì)海上目標(biāo)和海態(tài)的超視距、全天候探測(cè)，具有探測(cè)成本低、范圍廣、實(shí)時(shí)性好等特點(diǎn)[1]，成為海洋探測(cè)的重要手段。而其發(fā)射天線的物理尺寸較大是限制HFSWR推廣應(yīng)用的重要因素，隨著技術(shù)的發(fā)展，HFSWR對(duì)發(fā)射天線的多頻化工作和小型化的要求越來(lái)越迫切[1-3]，而由此造成的阻抗不匹配也成為該技術(shù)發(fā)展中不可避免的問(wèn)題[4-6]。由于HFSWR對(duì)于發(fā)射效率要求較高，要使小型化后的雙頻/多頻天線能夠滿足工程要求，必須設(shè)計(jì)相應(yīng)的雙頻/多頻匹配網(wǎng)絡(luò)。

阻抗匹配作為天線和微波/射頻電路設(shè)計(jì)的一個(gè)基本任務(wù)，一直受到中外學(xué)者廣泛關(guān)注和研究。利用實(shí)頻分析設(shè)計(jì)匹配網(wǎng)絡(luò)的方法，后來(lái)被不斷改進(jìn)并廣泛用于寬帶匹配的設(shè)計(jì)[7]。近年來(lái)，許多學(xué)者針對(duì)微波/射頻段的匹配網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行了大量研究，如利用兩段傳輸線設(shè)計(jì)而成雙頻匹配網(wǎng)絡(luò)[8]，在雙頻匹配網(wǎng)絡(luò)的基礎(chǔ)上擴(kuò)展而成的三頻匹配網(wǎng)絡(luò)[9]等，這些研究成果主要是基于分布元件的，為微波/射頻電路的設(shè)計(jì)提供了有利幫助，但這些方法不適用于短波波段的匹配電路設(shè)計(jì)。而利用集總元件設(shè)計(jì)匹配電路的研究相對(duì)比較少，Nallam等[10]提出了一種利用集總元件進(jìn)行多頻段匹配網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)的方法，但是這種方法基于頻率變換的解析法，不適用于結(jié)構(gòu)復(fù)雜的電路；Rodriguez等[11]利用實(shí)數(shù)編碼的遺傳算法設(shè)計(jì)高頻天線的匹配網(wǎng)絡(luò)，雖然能夠?qū)崿F(xiàn)寬帶設(shè)計(jì)，但是算法的計(jì)算過(guò)程比較復(fù)雜；Li等[2]利用集總元件構(gòu)成的陷波器實(shí)現(xiàn)天線的雙頻功能，但是這種方法有比較大的局限性，調(diào)節(jié)比較困難，而且天線結(jié)構(gòu)較復(fù)雜；任儀等[12]利用非福斯特匹配網(wǎng)絡(luò)匹配接收天線，這種利用有源器件進(jìn)行匹配網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)比較復(fù)雜，且不適用于HFSWR大功率發(fā)射天線。黃曉丹[4]通過(guò)在天線諧振頻點(diǎn)f0兩側(cè)各設(shè)置一個(gè)諧振頻率為f1、f2串聯(lián)諧振電路，利用諧振電路的特性實(shí)現(xiàn)了對(duì)電小天線的匹配，但是該方法設(shè)計(jì)的匹配網(wǎng)絡(luò)復(fù)雜，不適用于雙頻匹配。

針對(duì)上述問(wèn)題，提出了利用Dixon優(yōu)化算法設(shè)計(jì)匹配網(wǎng)絡(luò)的方法。該方法首先根據(jù)待匹配的對(duì)象，選擇一種合適的、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，然后根據(jù)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中各元件之間的串并聯(lián)關(guān)系以及負(fù)載的阻抗推導(dǎo)出匹配網(wǎng)絡(luò)輸入端的阻抗表達(dá)式，該表達(dá)式包含各元件參數(shù)，再利用網(wǎng)絡(luò)輸入端的阻抗構(gòu)造優(yōu)化算法的目標(biāo)函數(shù)，并把各元件的參數(shù)作為優(yōu)化變量，最后利用Dixon算法得到各元件參數(shù)的值，并對(duì)仿真與實(shí)測(cè)結(jié)果進(jìn)行了分析。

1 雙頻匹配網(wǎng)絡(luò)及其輸入阻抗

通過(guò)串聯(lián)電感并聯(lián)電容或者串聯(lián)電容并聯(lián)電感，可以使某個(gè)特定頻點(diǎn)對(duì)應(yīng)的輸入阻抗沿著Smith圓圖的等電阻或等電導(dǎo)圓移動(dòng)，實(shí)現(xiàn)單頻匹配。多頻匹配網(wǎng)絡(luò)可以借鑒單頻匹配網(wǎng)絡(luò)的思想，將多個(gè)單頻匹配網(wǎng)絡(luò)并聯(lián)，通過(guò)選擇合適的元件值，可以實(shí)現(xiàn)多頻匹配。選擇的匹配網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖1所示。匹配網(wǎng)絡(luò)由并聯(lián)的兩支路組成，元件Z1和元件Y1組成匹配網(wǎng)絡(luò)的上支路，元件Z2和元件Y2組成匹配網(wǎng)絡(luò)的下支路。元件Z1、元件Y1、元件Z2和元件Y2既可以是電感元件也可以是電容元件，而且元件Z1和元件Y1、元件Z2和元件Y2可以交換位置，可等效為L(zhǎng)型、Π型和T型網(wǎng)絡(luò)。由于上下支路之間會(huì)有耦合作用，因此分析網(wǎng)絡(luò)輸入阻抗時(shí)要將整個(gè)匹配電路作為一個(gè)二端口網(wǎng)絡(luò)整體考慮。

圖1 匹配網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)Fig.1 Topological structure of matching network

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

根據(jù)A矩陣與Y矩陣之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，可以得到整個(gè)匹配網(wǎng)絡(luò)的歸一化A矩陣為

(6)

匹配網(wǎng)絡(luò)的輸入阻抗Zin以及反射系數(shù)Γin可分別表示為

(7)

(8)

式中：a、b、c、d為A矩陣的參數(shù)；Z0為傳輸線的特征阻抗；ZL為天線的輸入阻抗，代入式(7)可以計(jì)算網(wǎng)絡(luò)輸入端的阻抗Zin。

要實(shí)現(xiàn)阻抗匹配，則要求匹配網(wǎng)絡(luò)的輸入阻抗Zin與傳輸線的特征阻抗Z0要近似相等，即要求反射系數(shù)Γin要盡可能小。而Zin與天線輸入阻抗以及各元件的參數(shù)是相關(guān)的，因此反射系數(shù)Γin與各元件的取值是相關(guān)的。考慮到在實(shí)際應(yīng)用中，電容元件具有較大的寄生電阻，損耗較大，在設(shè)計(jì)匹配網(wǎng)絡(luò)時(shí)，電感元件盡量采用串聯(lián)形式，電容元件盡量采用并聯(lián)形式。

在雙頻或多頻匹配網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)化問(wèn)題中，以網(wǎng)絡(luò)中各元件的參量作為優(yōu)化變量，以匹配網(wǎng)絡(luò)輸入端的反射系數(shù)作為目標(biāo)函數(shù)，由于雙頻匹配網(wǎng)絡(luò)要在兩個(gè)頻點(diǎn)都需要滿足匹配要求，對(duì)應(yīng)的會(huì)有兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)，因此可以通過(guò)加權(quán)將兩個(gè)或多個(gè)目標(biāo)函數(shù)合成一個(gè)目標(biāo)函數(shù)。可以表示為

f(x1,x2,…xN,f1,f2,…fM)=

(9)

式(9)中：xj為第j個(gè)網(wǎng)絡(luò)元件參數(shù)(j=1,2,…,N)，其中N為網(wǎng)絡(luò)中元件的數(shù)目；fi為需要匹配的第i個(gè)頻率點(diǎn)(i=1，2，…，M)；M為待匹配的頻點(diǎn)數(shù)；wi為第i個(gè)頻率點(diǎn)權(quán)重；Γi為第i個(gè)頻率點(diǎn)的反射系數(shù)。

通過(guò)優(yōu)化算法計(jì)算出在給定拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)情況下，使式(9)達(dá)到最小時(shí)的網(wǎng)絡(luò)中各元件的值，即可得到對(duì)應(yīng)該拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的最優(yōu)網(wǎng)絡(luò)。

2 利用Dixon優(yōu)化算法求解元件參數(shù)

目前常用的優(yōu)化算法眾多，如遺傳算法[11]、梯度下降算法等，而對(duì)于目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式比較復(fù)雜，求導(dǎo)不容易的實(shí)際問(wèn)題，這些算法計(jì)算過(guò)程比較復(fù)雜，而Dixon算法[13]提供了一種比較簡(jiǎn)潔的思想。

Dixon算法是數(shù)值優(yōu)化算法中的直接法，通過(guò)構(gòu)建一個(gè)二次函數(shù)：

(10)

式(10)中：x為n維變量；H為二次項(xiàng)系數(shù)；b為一次項(xiàng)系數(shù)；c為常數(shù)項(xiàng)。

使二次函數(shù)Q(x)與目標(biāo)函數(shù)f(x)在控制點(diǎn)上的值相等來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)函數(shù)的逼近，從而以二次函數(shù)Q(x)的極小點(diǎn)作為f(x)的近似極小點(diǎn)，然后再改變控制點(diǎn)找到f(x)更好的二次近似函數(shù)Q(x)以改善極小值點(diǎn)的位置，從而構(gòu)成迭代[14]。在計(jì)算過(guò)程中只用到函數(shù)f(x)的值，適合目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式復(fù)雜或沒(méi)有表達(dá)式的情況。

Dixon算法步驟如下。

步驟1隨機(jī)生成(n+1)個(gè)初始點(diǎn)xi，i=0,1,2,…,n。

步驟2計(jì)算各點(diǎn)的函數(shù)值fi=f(xi)，i=0,1,2,…,n。

步驟3對(duì)xi重新排序，使得fi≤fi+1，i=0,1,2,…,n-1。

步驟9求出第n+2個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值fn+1=f(xn+1)，若fn+1>fn則方法失敗，若xn+1=xn方法也失敗，停止計(jì)算，否則用xn+1替換xn，轉(zhuǎn)到步驟3進(jìn)行新的循環(huán)。

按照上述步驟不斷進(jìn)行循環(huán)迭代，直到算法失敗或者滿足收斂條件即找到能夠使得二次函數(shù)較好逼近目標(biāo)函數(shù)。

在實(shí)驗(yàn)中所用傳輸線的特征阻抗Z0為50 Ω，對(duì)于高低兩個(gè)頻率，ZL分別為(21.5+15.8i) Ω、(44.3+12.9i) Ω，代入式(7)可以得到匹配網(wǎng)絡(luò)輸入端阻抗，進(jìn)而得到只含有未知元件參數(shù)的目標(biāo)函數(shù)，利用優(yōu)化算法進(jìn)行優(yōu)化。圖1所示的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中，各元件的初始化參數(shù)為：Z1為900 nH的電感，Y1為500 pF的電容、Z2為700 nH的電感、Y2為800 pF的電容。將其作為第一個(gè)點(diǎn)的4個(gè)參數(shù)值，并以此為基礎(chǔ)隨機(jī)生成其余4個(gè)點(diǎn)。利用Dixon優(yōu)化算法經(jīng)過(guò)約460次迭代得到的各元件的參數(shù)：Z1為2 874 nH的電感，Y1為655 pF的電容、Z2為 1 655 nH 的電感、Y2為800 pF的電容。由于上下支路的兩個(gè)電感元件之間是并聯(lián)關(guān)系，將其等效為一個(gè)電感元件1 050 nH，可以減小元件帶來(lái)的損耗，而匹配網(wǎng)絡(luò)的效果不會(huì)受到影響，該拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)也簡(jiǎn)化為一個(gè)Π型網(wǎng)絡(luò)，如圖2所示。

圖2 雙頻匹配網(wǎng)絡(luò)等效拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)Fig.2 Equivalent topology of dual frequency matching network

能夠同時(shí)工作在多頻點(diǎn)的雷達(dá)在探測(cè)性能與抗干擾能力方面表現(xiàn)出明顯優(yōu)勢(shì)，成為未來(lái)雷達(dá)的發(fā)展方向。因此將小型化雙頻天線擴(kuò)展為三頻天線，以便雷達(dá)能夠同時(shí)工作在多個(gè)頻點(diǎn)上。為了保證三頻天線能正常工作，對(duì)雙頻匹配網(wǎng)絡(luò)也進(jìn)行擴(kuò)展使其成為三頻匹配網(wǎng)絡(luò)。對(duì)于3個(gè)頻率，ZL分別為(19.9+17.7i) Ω、(32.5+10.9i) Ω、(35.2+9.7i) Ω，利用Dixon優(yōu)化算法進(jìn)行求解各元件值時(shí)，依然借助前面對(duì)網(wǎng)絡(luò)輸入阻抗的推導(dǎo)，并且構(gòu)造式(9)形式的目標(biāo)函數(shù)。根據(jù)優(yōu)化算法求解得到的各元件值，進(jìn)行元件的等效替代后，最終得到圖3所示的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。其中，Z2為1 868 nH的電感元件，Y2為174 pF的電容元件，Z3為1 662 pF的電容元件，Y3為1 785 nH的電感元件。

圖3 三頻匹配網(wǎng)絡(luò)等效拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)Fig.3 Equivalent topology of triple frequency matching network

3 匹配網(wǎng)絡(luò)的仿真及實(shí)測(cè)結(jié)果分析

3.1 雙頻匹配仿真結(jié)果分析

為了驗(yàn)證利用優(yōu)化算法得到的各元件參數(shù)值的有效性，根據(jù)優(yōu)化的結(jié)果，在軟件ADS中設(shè)計(jì)相應(yīng)的匹配電路，進(jìn)行仿真計(jì)算，得到的仿真結(jié)果如圖4所示。可以看出，未加入匹配電路之前，中心頻率4.2 MHz附近的低頻諧振點(diǎn)反射損耗較大，不能直接使用；中心頻率7 MHz附近的高頻諧振點(diǎn)阻抗特性稍好，但是中心頻率有偏移。加入利用優(yōu)化算法設(shè)計(jì)的匹配電路后，低頻諧振點(diǎn)的阻抗特性得到了明顯改善，匹配效果良好，高頻諧振點(diǎn)的帶寬特性也到了改善。以駐波比小于2計(jì)算，低頻諧振點(diǎn)帶寬有80 kHz，高頻諧振點(diǎn)的帶寬達(dá)到200 kHz以上，能夠滿足設(shè)計(jì)要求。

圖4 雙頻匹配前后的對(duì)比(仿真)Fig.4 Comparison without and with dual frequency matching network (simulation)

3.2 三頻匹配仿真結(jié)果分析

根據(jù)利用Dixon優(yōu)化得到的三頻匹配網(wǎng)絡(luò)中各元件的參數(shù)，在ADS中設(shè)計(jì)相應(yīng)的匹配電路，得到的仿真結(jié)果如圖5所示。可以看出，加入匹配電路前，由于反射損耗過(guò)大，天線不能直接工作在4.2 MHz 附近，加入匹配電路后，天線的阻抗特性得到了明顯的改善。尤其是4.2 MHz附近的低頻諧振點(diǎn)，能夠?qū)崿F(xiàn)良好匹配。對(duì)于7 MHz以及11 MHz附近的諧振點(diǎn)，中心諧振頻率更接近所要求的頻率，而且匹配程度更好。對(duì)于各諧振點(diǎn)，駐波比小于2的帶寬均大于60 kHz， 在11 MHz附近帶寬甚至達(dá)到800 kHz，完全能夠滿足實(shí)驗(yàn)要求。利用本文提出的方法，將雙頻匹配網(wǎng)絡(luò)擴(kuò)展為三頻匹配網(wǎng)絡(luò)，依然能夠具有良好的匹配效果。

圖5 三頻匹配前后的對(duì)比(仿真)Fig.5 Comparison without and with triple frequency matching network (simulation)

3.3 雙頻匹配實(shí)測(cè)結(jié)果分析

利用優(yōu)化算法得到的值雖然能夠得到比較好的仿真效果，但是在實(shí)際工程應(yīng)用中，這些值對(duì)應(yīng)的單個(gè)元件可能難以獲得，因此需要根據(jù)現(xiàn)有的元件對(duì)取值進(jìn)行微調(diào)。圖2中Y1選擇680 pF的電容，Z1選擇1 050 nH的電感，Y2選擇820 pF的電容。在實(shí)驗(yàn)中測(cè)得的天線的數(shù)據(jù)如圖6所示。

圖6 雙頻匹配前后的對(duì)比(實(shí)測(cè))Fig.6 Comparison without and with dual frequency matching network (measured)

可以看出，加入匹配電路后，天線的阻抗特性得到了很大改善，反射系數(shù)大幅縮小。以駐波比小于2計(jì)算帶寬，天線在高低兩個(gè)頻點(diǎn)處的帶寬分別是75 kHz和210 kHz，能夠滿足設(shè)計(jì)要求。將所設(shè)計(jì)的匹配網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用在設(shè)計(jì)的小型化雙頻天線上，可同時(shí)得到如圖7所示的實(shí)測(cè)海洋回波(Rang-Doppler譜，距離譜)。可以看出，頻率為7 MHz時(shí)，雷達(dá)的距離探測(cè)范圍超過(guò)150 km，頻率為4.2 MHz時(shí)，雷達(dá)的距離探測(cè)范圍超過(guò) 250 km。這些實(shí)測(cè)結(jié)果說(shuō)明了在外場(chǎng)探測(cè)過(guò)程中天線是可以正常工作的，同時(shí)也說(shuō)明所設(shè)計(jì)的匹配網(wǎng)絡(luò)是能夠發(fā)揮應(yīng)有作用的，該研究具有工程價(jià)值和實(shí)際意義。

圖7 實(shí)測(cè)的海洋回波譜Fig.7 Measured ocean echo spectrum

雖然天線諧振點(diǎn)的頻率有偏移，但是偏移量不大，依然在所要求的帶寬范圍內(nèi)，不影響天線的正常使用。造成偏差的原因主要是元器件標(biāo)稱值的不準(zhǔn)確，耐高壓電容元件標(biāo)稱值與實(shí)際值之間存在較大誤差；電感元件采用漆包線自制，其測(cè)量值也存在較大誤差；而且元件都不是理想元件，會(huì)存在寄生電阻，優(yōu)化得到的值實(shí)際單個(gè)元件無(wú)法獲得，這些因素都會(huì)引起誤差，因此實(shí)測(cè)與仿真之間存在誤差是正常現(xiàn)象。

4 結(jié)論

在單頻匹配網(wǎng)絡(luò)的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了一款結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的雙頻匹配網(wǎng)絡(luò)。在對(duì)網(wǎng)絡(luò)的輸入阻抗進(jìn)行分析時(shí)，考慮了雙頻匹配網(wǎng)絡(luò)各元件之間的耦合作用，基于所設(shè)計(jì)的匹配網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，推導(dǎo)出了輸入阻抗與匹配網(wǎng)絡(luò)中各元件參數(shù)之間的關(guān)系，并用其構(gòu)造了優(yōu)化算法的目標(biāo)函數(shù)。引入Dixon算法對(duì)網(wǎng)絡(luò)中元件參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化，最終得到了能夠同時(shí)滿足雙頻匹配的匹配網(wǎng)絡(luò)，仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果均表明，該匹配網(wǎng)絡(luò)能夠滿足在各諧振點(diǎn)處帶寬大于 60 kHz的設(shè)計(jì)要求，而且所用元件較少，匹配網(wǎng)絡(luò)帶來(lái)的損耗很小。對(duì)雙頻匹配網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行擴(kuò)展，得到了能夠同時(shí)諧振在3個(gè)頻點(diǎn)的三頻匹配網(wǎng)絡(luò)，仿真結(jié)果表明，該匹配網(wǎng)絡(luò)在各諧振點(diǎn)的帶寬也能滿足在各諧振點(diǎn)帶寬大于60 kHz的設(shè)計(jì)要求，說(shuō)明了本文方法用于設(shè)計(jì)多頻匹配網(wǎng)絡(luò)的可行性和有效性，能夠滿足工程實(shí)際需要。