求解非線性脈沖延遲微分方程的高階數值方法

龍滔,余越昕

(湘潭大學數學與計算科學學院,湖南湘潭411105)

1.引言

科學與工程中的許多實際問題,其發展過程會受到瞬時突變的影響,也即系統的狀態在某些時刻會產生瞬時跳躍,這種現象稱為脈沖現象.另一方面,系統狀態的變化不僅與當前狀態有關,還依賴于過去狀態,即受時滯的影響.當系統同時受到脈沖和時滯影響時,其數學模型一般為脈沖延遲微分方程,在物理學、生物學、醫學、經濟學以及控制系統等眾多科學與工程領域有廣泛應用.

脈沖延遲微分方程相關理論的研究可參見文[1-8].由于脈沖延遲微分方程的理論解一般很難獲得,因此其數值方法的研究就顯得尤為重要.2010年DING等人在文[9]給出了求解線性脈沖延遲微分方程定步長的Euler方法,并且證明了方法是1階收斂的.對于一類線性脈沖延遲微分方程,文[10-12]將其轉化為無脈沖的延遲微分方程,分別研究了Runge-Kutta方法和線性多步法的穩定性.2017年ZHANG在文[13]將Runge-Kutta方法用于求解非線性脈沖延遲微分方程,并研究了方法的收斂性.2019年LI等人在文[14]將再生核方法用于求解分段常數的線性脈沖延遲微分方程,并證明了方法是收斂的.

經典的block-by-block數值方法對于積分方程的求解是非常有效的,2016年馬群長等人[15]將其用于求解脈沖微分方程并研究了方法的收斂性和穩定性.同年,曹俊英等人[16]構造了求解脈沖微分方程的修正的block-by-block方法,并證明了方法是4階收斂的.本文利用文[16]的思想,構造了求解非線性脈沖延遲微分方程的高階數值格式,通過收斂性分析證明了其是4階收斂的,最后的數值試驗也驗證了該理論結果.

2.數值方法的構造

3.收斂性分析

4.數值試驗

圖4.1 h=0.1時,應用數值方法(2.12)求解例4.1的數值解與精確解

對問題(4.2)取步長h=0.01,利用數值方法(2.12)求解所得到的圖形如圖4.2所示.

圖4.2 h=0.01時,應用數值方法(2.12)求解例4.2的數值解

為了更好的刻畫數值格式(2.12)的精度,針對例4.1我們采用最大絕對誤差,即max|yk,j ?y(tk,j)|(k= 0,1,2,··· ,n,j= 0,1,2,··· ,m),相關結果如表4.1所示.針對例4.2,我們采用在∞范數意義下的全局絕對誤差來刻畫數值格式(2.12)的精度,由于例4.2的真解無法求出,這里取時的數值解近似代替真解,相關結果如表4.2所示.

表4.1 求解例4.1的最大絕對誤差與收斂階

表4.2 求解例4.2的全局絕對誤差(‖AE‖∞)與觀測階

從表4.1、4.2可以看出,最大絕對誤差和‖AE‖∞隨著步長h的減小而減小,并且收斂階或觀測階都接近于4,這與我們的理論分析一致,從而說明我們所構造的數值方法(2.12)具有高階收斂性.