三維不可壓磁微極流的投影統計解及其退化正則性

趙才松,徐明月,趙才地

(1.湖北省陽新縣荻田中學,湖北黃石435200;2.溫州大學數理學院,浙江溫州32035)

1.引言

我們先簡單回顧不可壓磁微極流的一些已有結果.在二維空間中,文[12]研究了具有混合部分粘性時整體解的存在性;文[13]研究了解的整體正則性;文[19]研究了統計解的存在性及其退化正則性.在三維空間中,文[14]研究了三維空間中弱解的整體存在性和二維空間中整體弱解的唯一性,文[17]構造了軌道統計解.

統計解已被認為可以較好地理解湍流的運動[5,8,11],主要的原因是由于流體的主要物理量(如質量和速度場)本質上由流體的這些量關于時間的平均來刻畫其特征.在統計力學中,統計解作為數學概念被引進來刻畫流體的整體平均.目前主要由兩種形式統計解的定義.第一種是由Foias和Prodi[7]提出的Foias-Prodi統計解,第二種是由Vishik和Fursikov[15]提出的Vishik-Fursikov統計解.文[7]中提出的統計解是一族以時間為參數的定義在相空間上的Borel測度,刻畫了流體的速度場在每個時刻的概率分布,Vishik-Fursikov統計解則是定義在軌道空間上的單個Borel測度,描述了速度場在時空空間上的概率分布.

目前已有一些文獻研究了若干典型演化方程的統計解問題.例如,Foias,Rosa和Temam在文[8]中系統地研究了三維不可壓Navier-Stokes方程組的統計解及其性質.?ukaszewicz在文[10]中構造了二維不可壓Navier-Stokes方程組的統計解.Bronzi,Mondaini和Rosa在文[1-2]中給出了一般演化方程統計解和軌道統計解的理論框架.最近,ZHAO,LI和Caraballo在文[17]中應用無窮維動力系統的理論證明了一般自治演化方程存在軌道統計解的充分條件,且該結論被應用于三維不可壓磁微極流方程組[19],三維修正的Navier-Stokes方程組[16],三維不可壓微極流方程組[18].

吸引子的退化問題與吸引子的維數密切相關.對于不可壓Navier-Stokes方程組,已有一些文獻研究了它的Grashof數控制其吸引子維數的問題.[4]本文中我們用Grashof數討論三維不可壓磁微極流方程組軌道統計解的退化正則性.

2.預備知識

3.投影統計解的存在性

4.投影統計解的退化正則性