雙水平控制策略和延遲不中斷單重休假的M/G/1排隊系統分析

2021-10-20 03:26:04高文萍唐應輝唐蓓蕾

應用數學 2021年4期

高文萍,唐應輝,唐蓓蕾

(四川師范大學數學科學學院,四川成都610068)

1.引言

在有控制策略和服務員休假的排隊系統研究中,經典的一維控制策略有N-策略、T-策略與D-策略等[1?3],典型的服務員的休假規則有單重休假、多重休假與多級適應性休假等[4?5].之后,根據實際背景和應用需要,許多關于N-策略、D-策略、T-策略,以及上述這些經典控制策略和服務員休假相結合的推廣研究成果陸續出現[6?17].例如文[6]把N-策略與“延遲休結合起來,提出建立了“延遲N-策略M/G/1排隊模型”,文[11]根據實際背景,提出建立了“帶啟動時間的N-策略M/G/1排隊模型”等.目前,在具有Min(N,V)-策略、Min(N,D)-策略、Min(D,V)-策略以及Min(N,D,V)-策略的排隊模型研究中[15?16,22?26],從控制策略方面講,都是一維控制策略與服務員休假機制結合,或是兩個方面的一維控制策略的組合,但是從雙閥值(雙水平)或多閾值(多水平)的角度,在具有雙閥值(雙水平)或多閾值(雙水平)控制策略下的推廣研究要少得多.文[18-20]在N-策略的基礎上提出了一個雙閥值(m,N)-控制策略,即當系統變空時,服務員就立刻關閉系統直到系統中有m(m ≥1)個顧客就啟動系統,而且啟動系統需要一定的時間.如果在啟動時間完成后系統中的顧客數沒有達到N(N ≥m)個,則服務員就待在系統中直到有N個顧客到達才開始服務,如果在啟動時間完成后系統中的顧客數大于等于N個,則服務員立即為顧客服務直到系統變空又關閉系統.文[21]把這種雙閥值(m,N)-控制策略推廣到了離散時間排隊模型研究中.但是,到目前為止,我們還未見有文獻把這樣的雙閥值(m,N)-控制策略與服務員的休假機制結合起來,而且目前在有策略控制和服務員休假機制的排隊系統研究中[5,16,21?26],作者大都假定服務員的休假可根據系統所采取的控制策略可以中斷休假.事實上,在實際中情況并非完全如此,例如在服務員所從事的輔助工作不能立即中斷的情況下,只有等待服務員完成輔助性工作后才能回到系統為顧客服務,因此,文[27]就把N-策略與服務員的延遲單重休假結合,提出了“休假不中斷的N-策略和延遲單重休假的M/G/1排隊模型”.本文將“延遲休假”、“雙閥值控制策略”、“服務員單重休假且休假不中斷”結合起來,提出建立一類具有雙閥值(雙水平)控制策略和延遲單重休假且休假不中斷的M/G/1排隊系統,不僅模型更廣泛、更復雜,而且更有現實意義和研究價值.使用全概率分解技術和拉普拉斯變換等數學工具,在任意初始狀態下我們討論了系統隊長的瞬態和穩態性質,得到了隊長瞬態分布關于時間t的拉普拉斯變換的表達式,然后通過直接計算獲得了穩態隊長分布的遞推表達式,以及穩態隊長分布的概率母函數和平均隊長的顯示表達式.本文提出的系統模型描述如下：

在系統中,顧客的相繼到達是相互獨立的,相繼到達的間隔時間τ有分布F(t)= 1?e?λt,對每個顧客的服務也是相互獨立的,且每個顧客的服務時間χ有任意分布G(t),平均服務時間設為1/μ(0<μ<∞).進一步假設：

1)服務員的休假機制是延遲單重休假且休假不中斷,即每當系統變空時,服務員不是馬上去休假,而是進行一段隨機時間C的“休假準備”,這段時間稱為“延遲休假時間”.如果有顧客在延遲休假時間C內到達,那服務員就停止“休假準備”而立即為顧客服務又直到系統再次變空而重新做“休假準備”;如果沒有顧客在延遲休假時間C內到達,那服務員在“休假準備”結束后就去進行一次隨機時間長度為V的休假(或去做輔助性的其他工作),直到本次休假結束再回到系統(休假不中斷),休假時間V是任意分布V(t).

2)系統的啟動閾值為1,即當服務員從休假歸來時,若系統中已有顧客等待,服務員就立即啟動系統,若服務員休假歸來系統中沒有顧客等待,則服務員待在系統中直到有一個顧客到達時才啟動系統.系統的啟動需要一段隨機時間Y的啟動時間(例如服務員做服務準備所需的準備時間等),且啟動時間Y服從任意分布Y(t).

3)服務員開始服務的閥值為N(N ≥1),即在系統啟動完成后,若系統中顧客數大于等于N(N ≥1),則服務員立即為在場的顧客服務直到系統再次變空,若系統中顧客數小于N,則服務員待在系統中直到累計有N個顧客時立即開始服務直到系統再次變空.

另外,假定到達間隔時間τ、服務時間χ、延遲關閉時間C、休假時間V、啟動時間Y是相互獨立的,而且在t=0時刻,如果系統是空的,則系統不采取該控制策略,服務員也不休假,留在系統中等待第一個顧客到達后馬上服務(這樣的假設更符合實際背景).