數(shù)學(xué)表達(dá)力的多元價值及培養(yǎng)策略

摘 要 數(shù)學(xué)表達(dá)力是學(xué)生在一定的場景中恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用數(shù)學(xué)的思想語言表達(dá)數(shù)學(xué)問題或者數(shù)學(xué)模型的能力。數(shù)學(xué)表達(dá)力的培養(yǎng)對促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識、發(fā)展思維能力、開展數(shù)學(xué)交流、促進(jìn)情感發(fā)展、解決生活問題具有重要意義。教師應(yīng)樹立“以人為本”思想，為學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)創(chuàng)設(shè)敢于表達(dá)的氛圍，構(gòu)筑樂于表達(dá)的平臺，指導(dǎo)善于表達(dá)的方法，拓展有效表達(dá)的空間，增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)的理性思維能力，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)表達(dá)習(xí)慣，逐步提升有質(zhì)量的數(shù)學(xué)表達(dá)素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué)表達(dá)力 教學(xué)價值 培養(yǎng)策略

什么是數(shù)學(xué)表達(dá)力呢？不同的人有不同的看法。有教師認(rèn)為數(shù)學(xué)表達(dá)力在表達(dá)形式上是用一段話或者一個相對系統(tǒng)、完整的句群進(jìn)行表達(dá)，表達(dá)內(nèi)容上既有觀點(diǎn)闡述又有理據(jù)分析，既能用數(shù)學(xué)語言表達(dá)數(shù)學(xué)思想又能用數(shù)學(xué)方式表征實(shí)際問題的深層次數(shù)學(xué)表達(dá)[1]。也有教師認(rèn)為數(shù)學(xué)表達(dá)力就是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，將自己解決數(shù)學(xué)問題的觀點(diǎn)、思想、方法、過程等，用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語言準(zhǔn)確流暢地表達(dá)出來的能力[2]。筆者認(rèn)為要準(zhǔn)確揭示它的內(nèi)涵，需要考慮以下幾個因素：表達(dá)的主體——小學(xué)生，其思維尚處于具體形象向抽象思維過渡的階段;表達(dá)的形式——數(shù)學(xué)語言，其特征是準(zhǔn)確、簡潔、抽象和嚴(yán)謹(jǐn);表達(dá)的對象——數(shù)學(xué)問題或者說數(shù)學(xué)模型;表達(dá)的目的——情境交流的需要等。因此，筆者認(rèn)為數(shù)學(xué)表達(dá)力就是指學(xué)生在一定的場景中恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)數(shù)學(xué)問題或者數(shù)學(xué)模型的能力。

一、數(shù)學(xué)表達(dá)力的多元價值

1.數(shù)學(xué)表達(dá)力是學(xué)生理解建構(gòu)數(shù)學(xué)知識的橋梁

作為一門學(xué)科，數(shù)學(xué)有其自己獨(dú)特的特點(diǎn)：抽象性、精確性和應(yīng)用的廣泛性。這些特點(diǎn)對提高人的科學(xué)文化素質(zhì)具有重要的意義。學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的過程中，一般都伴隨著語言的內(nèi)化過程（也就是數(shù)學(xué)表達(dá)），進(jìn)而促使數(shù)學(xué)知識的自主建構(gòu)生長。比如教學(xué)負(fù)數(shù)的意義，教材呈現(xiàn)用負(fù)數(shù)表示低于零度的溫度和用負(fù)數(shù)表示低于海平面的海拔高度數(shù)據(jù)，讓學(xué)生在比較中直觀地感悟正數(shù)和負(fù)數(shù)是一組相反意義的數(shù)量。但僅有這樣的例子對負(fù)數(shù)的意義理解顯然不夠。一位老師精心設(shè)計了這樣的活動：讓學(xué)生聯(lián)系自己生活實(shí)例，借助畫圖形式描述生活中正數(shù)和負(fù)數(shù)的具體含義，并作出解釋。有學(xué)生說媽媽信用卡上的金額有正數(shù)和負(fù)數(shù)，分別表示花錢和還錢的金額;還有學(xué)生說爸爸公司去年因?yàn)橐咔樘澚艘恍╁X，今年經(jīng)濟(jì)轉(zhuǎn)好又賺了很多錢;有的學(xué)生畫出樓梯的負(fù)一層和樓上第一層，是以地平線為分界線劃分的……通過多個直觀情境數(shù)據(jù)含義的表述，學(xué)生對正數(shù)、負(fù)數(shù)本質(zhì)意義的理解水到渠成。

2.數(shù)學(xué)表達(dá)力是促進(jìn)學(xué)生思維生長的動力

在筆者多年的教學(xué)實(shí)踐中，一直深切地感受到學(xué)生常常會遇到心有靈犀卻口難開的囧境，這其實(shí)就是學(xué)生思維面臨頓悟的一種征兆。這個時候如果能借助一些學(xué)生熟悉的材料讓學(xué)生的思維外顯表達(dá)出來，理解也就水到渠成了。比如蘇教版《數(shù)學(xué)》一年級下冊“兩位數(shù)加兩位數(shù)（進(jìn)位加）”，教學(xué)例題34+16，首先借助小棒操作或者計數(shù)器操作，讓學(xué)生理解個位相加滿十必須向十位進(jìn)一的道理，就需要組織學(xué)生反復(fù)觀察比較，敘說操作的過程，即個位的6加上4，正好捆成一捆即1個十，十位3個十加1個十再加進(jìn)過來的一個十，一共是5個十，所以在十位寫5。有條理地表達(dá)操作過程和筆算過程，既是學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)力的形成過程，也是學(xué)生的思維從具體算理的感性認(rèn)識到抽象算法的概括理解過程。

3.數(shù)學(xué)表達(dá)力是用數(shù)學(xué)語言表征世界的方式

如何用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界？就是對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表征問題，用數(shù)學(xué)知識與方法構(gòu)建模型并解決生活實(shí)際問題[3]。換言之就是建構(gòu)一個數(shù)學(xué)模型。比如圓的周長，古人早就有“周三徑一”的表述，這一模型是古人經(jīng)歷長期的生活觀察形成的規(guī)律認(rèn)識。如何讓學(xué)生經(jīng)歷這樣的發(fā)現(xiàn)過程？筆者在教學(xué)中先組織學(xué)生實(shí)踐操作：用繞繩法或者滾圓法測量幾個大小不同的圓的周長與直徑，再分別計算出它們的比率。通過計算、比較，學(xué)生逐步發(fā)現(xiàn)并得出“圓的周長和直徑的比率總是三倍多一點(diǎn)” 這樣的規(guī)律。

4.數(shù)學(xué)表達(dá)力是理性思想和理性精神生長的促進(jìn)劑

通過數(shù)學(xué)表達(dá)，學(xué)生可以學(xué)會清晰地表達(dá)自己的數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)情感，而在表達(dá)的過程中，學(xué)生也逐漸感悟到數(shù)學(xué)語言的準(zhǔn)確、簡潔、抽象、嚴(yán)謹(jǐn)，這些就是數(shù)學(xué)思想與理性精神的深層觀照[4]。比如教學(xué)分?jǐn)?shù)的意義，在三年級時我們只能要求學(xué)生說出這樣的話：把一個物體平均分成幾份，表示這樣一份或者幾份的數(shù)就是分?jǐn)?shù)。而到了五年級，就可以要求學(xué)生把分?jǐn)?shù)意義的描述提升到較為抽象的表述：把單位“1”平均分成幾份，表示這樣一份或者幾份的數(shù)就是分?jǐn)?shù)。從“一個物體”“一個計量單位”和“一些物體組成的整體”到單位“1”，跳躍的不僅僅是知識的抽象，更是數(shù)學(xué)理性思維的適度提升。

二、數(shù)學(xué)表達(dá)力培養(yǎng)策略

1.營造學(xué)生敢于表達(dá)的氛圍

要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)力，首先要學(xué)生肯表達(dá)、愛表達(dá)。但不同的學(xué)生生活習(xí)性和性格氣質(zhì)都不相同。日常教學(xué)中，常常會遇到學(xué)生羞怯、不敢回答問題的情景，這時教師一方面要耐心等待、鼓勵和啟發(fā)，不要輕易代替或者否定其錯誤的表述，努力增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)的信心。另一方面要善于營造學(xué)生敢于表達(dá)的環(huán)境。比如，教師用幽默的教學(xué)語言吸引學(xué)生，創(chuàng)設(shè)學(xué)生感興趣的情境激活學(xué)生，提出挑戰(zhàn)性問題驅(qū)動學(xué)生，努力使學(xué)生處于一個身心放松、積極有趣的對話氛圍。

小學(xué)生基本處于具體運(yùn)算階段，他們的思維發(fā)展逐漸呈現(xiàn)從具體形象思維過渡到抽象邏輯思維，數(shù)學(xué)語言的表達(dá)往往呈現(xiàn)出不夠嚴(yán)謹(jǐn)、缺乏條理等特點(diǎn)，需要我們彈性地對學(xué)生提出適度的表達(dá)力目標(biāo)，引導(dǎo)學(xué)生從“照樣子說”到“說自己的話”，從“說一句話”到“說一段話”，把“淺說”變?yōu)椤吧钫f”，漸進(jìn)發(fā)展。比如：要求學(xué)生在一個正方形里面畫一個最大的圓，總有一部分孩子很隨意地在里面畫一個他認(rèn)為最大的圓，這個時候，需要教師正面干預(yù)：你怎么說明你畫的圓是最大的圓？逼迫學(xué)生主動運(yùn)用數(shù)學(xué)概念作出解釋。這時學(xué)生的思維就會從隨意的結(jié)果式畫圖轉(zhuǎn)變?yōu)槔硇缘倪^程性推理，主動糾正為：因?yàn)樽畲蟮膱A的直徑等于正方形的邊長，應(yīng)先畫出正方形的兩條對角線，將交點(diǎn)作為圓心，再量出正方形邊長的一半作為半徑，這樣畫出的圓面積最大。這一嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)表達(dá)過程，與數(shù)學(xué)操作的嚴(yán)謹(jǐn)推理相輔相成。值得注意的是，對數(shù)學(xué)表達(dá)的規(guī)范程度不應(yīng)該死板統(tǒng)一，應(yīng)考慮學(xué)生實(shí)際情況做到適度要求，逐步促使學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)表達(dá)力。

2.搭建學(xué)生樂于表達(dá)的平臺

良好的數(shù)學(xué)表達(dá)力的形成，不僅需要對話，更需要適時的反思。教學(xué)中教師要及時組織師生、生生展開交流討論和回顧反思，在反思中促進(jìn)對話、內(nèi)化思維，不斷增強(qiáng)數(shù)學(xué)表達(dá)力。這種對話與反思，可以是學(xué)生出現(xiàn)數(shù)學(xué)表達(dá)錯誤時，引導(dǎo)他們析錯辨錯主動建構(gòu);可以是對解題方法進(jìn)行重新剖析，將數(shù)學(xué)表達(dá)由個別推向一般;還可以是直觀活動之后引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光理解問題、解決問題、感悟基本數(shù)學(xué)思想[5]。

比如教學(xué)平行四邊形面積，一開始將一個平行四邊形通過拉動框架變形為長方形，提問：平行四邊形的面積有沒有改變？為什么？有人說面積變大了，因?yàn)楦咦兏吡?。有人說不變，因?yàn)樗臈l邊沒改變。這里教師鼓勵所有的學(xué)生參與討論，互相補(bǔ)充、積極表達(dá)不同的思想。學(xué)生在爭辯中逐漸學(xué)會數(shù)學(xué)表達(dá)要以理服人、條理清楚、觀點(diǎn)鮮明、論據(jù)充分。在學(xué)生通過多個平行四邊形的轉(zhuǎn)化操作與交流后，教師又及時組織反思：平行四邊形面積可以怎樣計算？通過剛才的學(xué)習(xí)有哪些收獲？使學(xué)生在特殊化歸為一般的深刻體會中逐步內(nèi)化自己的思維方式，將對數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識上升為數(shù)學(xué)思維策略，并反過來進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)力的提升[6]。

3.增強(qiáng)學(xué)生善于表達(dá)的能力

在日常數(shù)學(xué)知識的教學(xué)中，不僅要鼓勵學(xué)生說課題、說操作、說思路、說想法，還要說得有理有據(jù)、準(zhǔn)確規(guī)范，并使之成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方式和思維習(xí)慣。比如學(xué)生在學(xué)習(xí)平行概念時，常常有“兩條不相交的直線就是平行線”這樣不夠嚴(yán)謹(jǐn)?shù)谋磉_(dá)。如何讓學(xué)生意識到這種說法的錯誤呢？上課時教師出示一個長方體框架模型，讓學(xué)生在模型上找出幾組平行線，并說明它們?yōu)槭裁椿ハ嗥叫械牡览?。?dāng)有人說“因?yàn)樗鼈冇肋h(yuǎn)不相交”時，教師有意識指出上底面的一條長和下底面的一條寬，讓學(xué)生觀察后說說新的想法。這時有學(xué)生發(fā)現(xiàn)：盡管這樣的兩條直線沒有相交，但卻不是平行線。這又是為什么呢？這時教師將長方體的表面用六個長方形圍起來，再次引導(dǎo)觀察發(fā)現(xiàn)：原來上底面的長邊和下底面的寬邊不在同一個平面上，所以盡管沒有相交，但也不是平行線。教學(xué)到此為止，似乎已經(jīng)結(jié)束了。但教師又提出：上底面前面的長邊和下底面后面的長邊，好像也不再同一個平面上，它們是不是平行線?。繛槭裁矗拷處焼l(fā)學(xué)生想象一下：能不能找到一個面正好把兩條長邊放在上面？在教師啟發(fā)下，有學(xué)生終于想到可以做一個斜面插進(jìn)去，使得上底面前面的長邊和下底面后面的長邊都在同一個平面上。在這個活動中，學(xué)生對“在同一個平面內(nèi)”這一關(guān)鍵詞的表述印象特別深刻。數(shù)學(xué)中的嚴(yán)謹(jǐn)推理和準(zhǔn)確表達(dá)，使得每一個結(jié)論都是牢固的、不可動搖的。這種思想有助于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)。

4.拓寬學(xué)生有效表達(dá)的空間

提升數(shù)學(xué)表達(dá)力必然與數(shù)學(xué)閱讀、數(shù)學(xué)傾聽等密不可分。對數(shù)學(xué)傾聽力的培養(yǎng)，不僅要求學(xué)生耐心傾聽，更關(guān)鍵是指導(dǎo)學(xué)生注意傾聽對方的數(shù)學(xué)表達(dá)是否準(zhǔn)確、清楚、簡潔，數(shù)學(xué)推理是否有理有據(jù)。在傾聽其他同學(xué)發(fā)言時應(yīng)教育學(xué)生不要匆忙下結(jié)論、給建議，更不要因?yàn)榕c對方不同的見解而產(chǎn)生激烈的爭執(zhí)。對數(shù)學(xué)閱讀力的培養(yǎng)，應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會思考：書上講的什么、有什么樣的道理、為什么是這樣表述、有沒有不同的想法等問題，主動融入自己的數(shù)學(xué)思維，而不是人云亦云。

數(shù)學(xué)表達(dá)力除了口頭語言訓(xùn)練外，還有數(shù)學(xué)語言的符號化表達(dá)和數(shù)學(xué)寫作訓(xùn)練。關(guān)于數(shù)學(xué)語言的符號化表達(dá)，這方面的研究已有很多，本文暫不作討論。關(guān)于數(shù)學(xué)寫作，可以是課堂開展的實(shí)踐研究報告，也可以是學(xué)習(xí)心得體會，或者數(shù)學(xué)故事等等。筆者在訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)寫作時，常常指導(dǎo)學(xué)生結(jié)合親身經(jīng)歷的數(shù)學(xué)實(shí)踐活動，完成一篇數(shù)學(xué)實(shí)踐研究小報告。比如，教學(xué)三角形面積計算時，當(dāng)討論完書本方法之后，教師提出延學(xué)任務(wù)：書本用兩個同樣的三角形轉(zhuǎn)化為平行四邊形求得面積，我們能不能只用一個三角形就轉(zhuǎn)化為學(xué)過的圖形呢？希望大家課后動手做一做，并寫出你的實(shí)踐過程。在第二天的練習(xí)課上，教師邀請幾位寫得比較好的學(xué)生進(jìn)行現(xiàn)場展示和講解。因?yàn)閷W(xué)生親身經(jīng)歷了研究過程，對三角形的剪拼細(xì)節(jié)特別清楚，對三角形面積計算公式的獲得及其蘊(yùn)含的轉(zhuǎn)化思想的印象也更為深刻。

如何提升學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)力，需要我們進(jìn)一步轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念，積極創(chuàng)設(shè)學(xué)生敢于數(shù)學(xué)表達(dá)的氛圍，精心構(gòu)筑學(xué)生樂于表達(dá)交流的平臺，切實(shí)指導(dǎo)學(xué)生善于數(shù)學(xué)表達(dá)的方法，拓展有效數(shù)學(xué)表達(dá)的空間，努力增強(qiáng)學(xué)生的理性思維，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)表達(dá)習(xí)慣，逐步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)力。

參考文獻(xiàn)

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[責(zé)任編輯：陳國慶]