一個(gè)特殊四維左對(duì)稱代數(shù)上的Rota睟axter算子

丁夢(mèng)菲 侯冬平 李黎明

摘?要：RotaBaxter算子的產(chǎn)生源于對(duì)某一類分析和組合問(wèn)題的研究，后來(lái)被廣泛用于數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)物理的許多領(lǐng)域。本文對(duì)一類四維復(fù)的冪零左對(duì)稱代數(shù)上的RotaBaxter算子進(jìn)行了研究，給出了這類代數(shù)上的所有權(quán)為零的RotaBaxter算子，并以這些算子為基礎(chǔ)構(gòu)造出一系列的左對(duì)稱代數(shù)結(jié)構(gòu)。

關(guān)鍵詞：RotaBaxter算子;左對(duì)稱代數(shù);李代數(shù)

中圖分類號(hào)：0152??文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

RotaBaxter?Operators?on?a?Four?Dimensional?Leftsymmetric?Algebra

Ding?Mengfei?Hou?Dongping?Li?Liming

College?of?Mathematics?Yunnan?Normal?University?YunnanKunming?650500

Abstract：RotaBaxter?algebras?were?introduced?to?solve?some?analytic?and?combinatorial?problems?and?have?appeared?in?many?fields?in?mathematics?and?mathematical?physics.In?this?paper，we?give?all?RotaBaxter?operators?of?weight?zero?on?a?four?dimensional?leftsymmetric?algebra.Moreover，interesting?leftsymmetric?algebra?series?are?obtained?from?the?RotaBaxter?operators.

Keywords：RotaBaxter?operators;Leftsymmetric?algebras;Lie?algebras

1?緒論

RotaBaxter算子最早是由G.Baxter在解決一個(gè)分析問(wèn)題的過(guò)程中提出來(lái)的[1]。此后，很快被應(yīng)用到其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域，如組合數(shù)學(xué)[23]，標(biāo)準(zhǔn)shuffle關(guān)系的一種推廣[4]。在最初的一段時(shí)間里，人們主要研究結(jié)合代數(shù)上的RotaBaxter算子，即RotaBaxter代數(shù)。隨著研究的深入，RotaBaxter算子很快被推廣到其他代數(shù)體系上，如李代數(shù)，左對(duì)稱代數(shù)[5]。李代數(shù)上的權(quán)為0的RotaBaxter算子恰好給出經(jīng)典YangBaxter方程的變形的算子形式[5]。

左對(duì)稱代數(shù)（也稱為預(yù)李代數(shù)），是一類非常重要的非結(jié)合代數(shù)。左對(duì)稱代數(shù)與很多數(shù)學(xué)學(xué)科和數(shù)學(xué)物理的許多領(lǐng)域都有密切的關(guān)系，如仿射流形[6]、李群上的仿射結(jié)構(gòu)[7]、李代數(shù)[8]、經(jīng)典和量子的YangBaxter方程[910]、量子場(chǎng)論[11]等。文獻(xiàn)[12]中，給出所有復(fù)數(shù)域上的2維左對(duì)稱代數(shù)和部分3維的左對(duì)稱代數(shù)上的權(quán)為0的RotaBaxter算子。然而，對(duì)于更高維數(shù)的左對(duì)稱代數(shù)上的RotaBaxter算子，還知之甚少。

在文獻(xiàn)[13]中，給出了四維偽黎曼左對(duì)稱代數(shù)的分類，本文其中一類4維非對(duì)稱無(wú)平移的冪零左對(duì)稱代數(shù)A0，設(shè)e1，e2，e3，e4為它的一組基，則：

A0=0000000000000e10-e3

其中矩陣的i，j元為ei與ej的乘積。

本篇論文中，我們主要給出四維復(fù)左對(duì)稱代數(shù)A0上的所有權(quán)為0的RotaBaxter算子。并且以這些得到的RotaBaxter算子為基礎(chǔ)，構(gòu)造出一系列左對(duì)稱代數(shù)結(jié)構(gòu)。

2?基本概念

定義2.1?設(shè)g是數(shù)域F上的一個(gè)線性空間，在g中定義雙線性乘法：（x，y）→[x，y]，滿足等式：

[x，y]=-[y，x]（2.1）

[[x，y]，z]+[[y，z]，x]+[[z，x]，y]=0（2.2）

其中x，y，z∈g，則稱g是一個(gè)李代數(shù)。

定義2.2?設(shè)A是數(shù)域F上的一個(gè)線性空間，在A中定義雙線性乘法：

（x，y）→x·y

滿足等式：

（x，y，z）=（y，x，z），x，y，z∈A（2.3）

其中（x，y，z）=（x·y）·z-x·（y·z），也稱為結(jié)合子，則稱A是一個(gè)左對(duì)稱代數(shù)或預(yù)李代數(shù)。此時(shí)，定義李括號(hào)：

[x，y]=xy-yx，x，y∈A（2.4）