向量值亞純函數(shù)修正的虧量和

李 琛，趙 靜

(商丘師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 商丘 476000)

引言

20世紀(jì)20年代初,芬蘭數(shù)學(xué)家R.Nevanlinna[1]引進(jìn)了亞純函數(shù)的特征函數(shù)并以此建立了Nevanlinna理論(即復(fù)平面上的亞純函數(shù)值分布理論).它是復(fù)分析理論研究的重要工具,也是二十世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)成就之一.近百年來, Nevanlinna理論不斷發(fā)展,并廣泛應(yīng)用于亞純函數(shù)唯一性理論研究等各個方面.它不僅奠定了現(xiàn)代亞純函數(shù)理論的基礎(chǔ),也對其他許多數(shù)學(xué)分支的交叉和融合產(chǎn)生了重要的影響.上世紀(jì)末,著名數(shù)學(xué)家E.Picard和E.Borel先后獲得了比較突出的研究成果.在這之后，很多學(xué)者從事這方面的研究,因而逐漸形成了整函數(shù)與亞純函數(shù)值分布理論.

Nevanlinna理論不斷發(fā)展.其中一個重要的方面是引進(jìn)了導(dǎo)數(shù),通常把導(dǎo)數(shù)與函數(shù)本身結(jié)合起來考慮值分布問題.起初是建立相應(yīng)的結(jié)果,例如Milloux不等式、熊慶來不等式、Miranda定則等.之后則進(jìn)一步考慮引進(jìn)導(dǎo)數(shù)后特有的問題,例如莊圻泰關(guān)于亞純函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)的特征函數(shù)的比較、Hayman不等式以及最近顧永興獲得的正規(guī)定則等[2-7].涉及虧量和的亞純函數(shù)的值分布理論問題是近年來復(fù)分析專家關(guān)注的熱點(diǎn)課題[8-10].

本文中如未進(jìn)行特殊說明, 所涉及到的亞純函數(shù)均是指在開復(fù)平面C上.

C={z:|z|<∞}

擴(kuò)充復(fù)平面表示為：

1 預(yù)備知識

為了方便，我們先介紹一些基本的概念和符號.

設(shè)f(z)是定義在CR={|z|

假設(shè)讀者熟悉Nevanlinna理論的基本概念和結(jié)果及其標(biāo)準(zhǔn)記號[11-13]，例如m(r,f),T(r,f),m(r,a),T(r,a),S(r,f)，等等.

Toda在1970年給出如下定義.

定義1[14]如果α表示任意小于ρ的非負(fù)數(shù)(ρ>0)(特別地，當(dāng)ρ=0時(shí)，α=0).對任意正數(shù)r0，記：

這里ψ(t)是關(guān)于T(r,f)的輔助函數(shù).

結(jié)合Nevanlinna理論中的相關(guān)定義記號，得到推廣的相關(guān)記號如下.

定義2[15]設(shè)f(z)是在|z|<∞上的亞純函數(shù)，記：

其中Tα(r,r0,f)叫做關(guān)于f(z)推廣的α特征函數(shù).

P.K.Jain在R.Nevanlinna對虧量的定義的基礎(chǔ)上，對其定義做出進(jìn)一步推廣并給出推廣的虧量定義如下.

Tα(r,f)=mα(r,f)+Nα(r,f)=mα(r,a)+Nα(r,a)+ε(r)

在定義3中，結(jié)合上述推廣的第一基本定理可得到如下定義.

定義4設(shè)f(z)是在|z|<∞上的亞純函數(shù)，對任意復(fù)數(shù)a,記：

2 相關(guān)引理及證明

為了證明本文中的結(jié)論，我們先引入以下幾個引理.

引理1[16]如果f(z)是超越的向量值亞純函數(shù)，對任意的α，有：

引理2[16]如果f(z)是超越的向量值亞純函數(shù)，對任意的α，有：

證明令

其中：

mα(r,Ff′)+(l-1)Sα(r,f)

3 定理及證明

本文在推廣的虧量定義的基礎(chǔ)上，把虧量的定義從亞純函數(shù)推廣到向量值亞純函數(shù)上，并給出了向量值亞純函數(shù)修正的虧量和的一個不等式結(jié)論，下面是定理內(nèi)容及相關(guān)證明.

定理2如果f(z)是在E上的超越的向量值亞純函數(shù)，則對任意的整數(shù)l有：

證明令ai(i=1,2,…)是無窮序列C上的不同元素，則對任意a∈C,δα(a,f)>0有：

(1)

令q>2，由引理3得：

令q→∞，結(jié)合式(1)式可得：

左半不等式得證，下面證明右半不等式.

得：

進(jìn)一步變形可得：

右半不等式得證.

4 結(jié)語

本文在Nevanlinna基本理論的基礎(chǔ)上對亞純函數(shù)及向量值亞純函數(shù)的虧量定義進(jìn)行了推廣，得到推廣的虧量形式.并將亞純函數(shù)虧量和的相關(guān)結(jié)論推廣到向量值亞純函數(shù)上，給出了向量值亞純函數(shù)修正的虧量和的一個結(jié)論并給出了相關(guān)證明過程.