基于梯度下降法直接擬合光譜吸收信號的氣體濃度測量方法研究

邵國棟， 李崢輝， 郭松杰， 鄒麗昌， 鄧 瑤， 盧志民, 2, 3， 姚順春, 2, 3*

1. 華南理工大學電力學院， 廣東 廣州 510640 2. 廣東省能源高效清潔利用重點實驗室， 廣東 廣州 510640 3. 廣東省能源高效低污染轉化與工程技術研究中心， 廣東 廣州 510640

引 言

可調諧二極管激光吸收光譜(tunable diode laser absorption spectroscopy， TDLAS)技術由于選擇性強、 靈敏度高、 精確度高、 非侵入式測量等優點， 被廣泛應用于大氣環境監測、 燃燒流場診斷、 工業過程控制、 人體呼吸探測等領域[1]。 可調諧二極管激光器有兩種最廣泛使用的吸收光譜技術： 直接吸收光譜技術和波長調制光譜技術。

已有的基線擬合研究主要集中在對基線進行修正和對誤差進行校準兩個方面。 在此基礎上， 提出了一種新的濃度反演方法： 基于梯度下降法直接擬合光譜吸收信號， 即直接擬合法， 對透射激光強度進行擬合以提取光譜和濃度信息， 并通過測量不同濃度的CO2， 驗證該方法的可行性和準確性。

1 理論分析

1.1 Beer-Lambert定律

根據Beer-Lambert定律， 一束激光穿過氣體， 其透射信號與入射信號的關系可表示為[7]

It=I0e-PSLxφ(ν)

(1)

式中，It為透射激光強度，I0為入射激光強度；P[atm]為被測氣體的總壓強;S[cm-2·atm-1]為吸收譜線的線強， 可以通過分子光譜數據庫HITRAN確定[9]；L[cm]為光程長度；x是目標氣體的濃度， 用體積分數表示；φ(ν)為線型函數， 表示被測氣體吸收譜線的形狀， 本文以洛倫茲線型擬合吸收譜線。

(2)

(3)

式中，A是積分吸光度， 通常用式(3)計算目標氣體濃度， 即積分面積法， 也稱為吸光度曲線擬合法。

1.2 梯度下降法的基本原理

梯度下降法是一種經典的數值優化算法， 用來遞歸性地逼近最小偏差， 常作為機器學習領域訓練算法的核心內容被應用于人工神經網絡與邏輯斯諦回歸。 它的主要思想是： 首先對系數向量初始化， 然后逐步迭代更新系數向量值， 進行目標函數的極小化， 直到收斂。 由于負梯度方向是使函數值下降最快的方向， 所以在迭代的每一步以負梯度方向更新系數向量值， 從而達到減少函數值的目的[9]。

假設函數f(x)在xk附近連續可微， 且gk=▽f(xk)≠0， 對于求解f(x)極小值問題， 梯度下降法計算步驟如下[10]：

步驟1 給出x0∈R, 0≤ε≤1,k: =0;

步驟2 令dk=-gk； 如果‖gk‖≤ε， 則停止；

步驟3 由一維搜索步長因子α， 使得

步驟4 計算xk+1=xk+αdk；

步驟5k∶=k+1， 轉步驟2。

1.3 梯度下降法直接擬合光譜吸收信號過程

(4)

式(4)中，It=I0e-PSLxφ(ν)， 通常可以寫為關于時間的低階多項式， 可將其寫為三次多項式[11]， 如式(5)所示

I0=C0t3+C1t2+C2t+C3

(5)

眾所周知， 激光器的發射頻率受材料、 電流和溫度影響[12]。 對于分布反饋式激光器， 在溫度不變時， 可以認為線性變化的電流在一定掃描范圍內引起波長的線性變化[13]。 采用高精度鋸齒波可以實現波長的精確掃描， 波長隨時間的變化關系可以表示為式(6)

ν(t)=C4t+C5

(6)

(7)

損失函數L(θ)中， 向量θ包括了八個未知參量， 即C0，C1，C2，C3，C4，C5，C6和氣體濃度x。 在應用梯度下降法前， 需對八個參量分別求偏導。 最后， 根據2.2節所述的梯度下降法， 每次迭代更新參數

(8)

其中θj是未知參量， 每一次迭代對八個參量同時分別更新。

梯度下降法直接擬合光譜吸收信號過程的流程圖如圖1所示。

圖1 擬合流程圖

擬合過程在以下三個前提下進行： (1)激光器的發射信號可以用三階式來描述； (2)氣體對激光的吸收線型用洛倫茲線型描述； (3)在高精度鋸齒波掃描下， 出射激光頻率與電流呈線性關系。 當以上三個條件改變時， 需要對擬合的迭代公式做出相應調整。

2 實驗部分

為驗證基于梯度下降法直接擬合光譜吸收信號的氣體濃度測量方法的準確性， 本文采用TDLAS實驗系統進行CO2濃度測量[4]， 如圖2所示。 用流量控制儀(D08-2F， 七星華創)調節N2和CO2氣體流量以配置不同濃度的CO2氣體， 兩種氣體用混合器充分混合后通入氣體池。 選用中心波長為1 580 nm的分布反饋式激光器(Distributed-feedback， Nanoplus)作為光源， 由激光控制器(PCI-1DA， Port City Instruments)控制激光器的電流和溫度， 出射激光經過光纖準直器(F220FC-1550， Thorlabs)進入光程長度為2 000 cm的赫里奧特池， 經多次反射后由光電探測器(SM05PD5A， Thorlabs)將光信號轉變為電信號， 再經過前置放大器放大后返回激光控制器， 采集的信號由PC上控制器軟件讀取， 采集頻率為10 kHz。

圖2 實驗系統圖

通過查閱HITRAN光譜參數數據庫可知， 在波長1 580 nm附近有兩條CO2的強吸收線， 均在10-23量級， 其光譜參數如表1所示。 可見Line2的吸收線強比Line1的吸收線強更強， 故擬合時選擇Line2。 在溫度25 ℃， 壓力101.325 kPa的環境條件下， 用CO2和N2配置CO2濃度為10%， 12%， 14%， 16%， 18%和20%的六種混合氣體， 將混合氣分別通入氣體池， 測量CO2對激光的吸收。

表1 CO2在1 580 nm附近兩條吸收譜線的光譜參數(296 K)

3 結果與討論

根據2.2節所述的梯度下降法基本原理， 給定的初始值越接近真實值， 迭代的速度越快， 迭代也越不容易發散， 因此初始值的賦值至關重要， 有必要對初始值如何賦值做出說明。

對入射激光強度中的四個參數C0，C1，C2，C3賦值， 方法為： 在采集的數據中選取四個未吸收區域采樣點， 如圖3所示。 選取的分別是第一個(No.1)、 第十個(No.10)、 倒數第十個(No.-10)、 最后一個采樣點(No.-1)的數據， 將其代入式(5)計算。 根據四個未知數和四個公式， 可以得到一組C0，C1，C2，C3， 將這四個值作為C0，C1，C2，C3的初始值。

ν(t)中的C4和C5通常在實驗前對激光器的性能測試實驗中得到近似值作為迭代初始值， 但在本實驗中沒有使用標準具， 因此通過吸收光譜的兩個吸收峰來確定波長與采樣點之間的關系， 從而獲得C4和C5的值。

對洛倫茲線型下的碰撞展寬， 有： 2C6=Δνc=P∑xA2γB-A， 式中，P為總壓強，xA為組分A的體積分數，γB-A為組分A和B之間的展寬系數。 對于常溫常壓下的氣體， 2γ≈0.1 cm-1·atm-1[14]， 在未知Δνc的情況下， 可以取為0.1 cm-1， 故C6的初始值可以賦值為0.05。

圖3 入射激光強度參數初值計算選點

確定目標氣體濃度x的初始值， 有兩種方式， 一種是利用對被測量氣體的經驗給出一個接近的初始值； 另一種方式是對于被測氣體完全未知的情況下， 可以直接將其賦值為50%。 因為本研究的工況是模擬電廠煙道中CO2濃度， 在此應用場景下CO2濃度在10%～20%之間， 所以可以將迭代初始濃度設置為15%。

此外， 在迭代之前還需要確定步長因子， 采用CO2濃度10%的數據計算， 比較了五種步長因子迭代50次的擬合方差， 如圖4所示。 其中， 步長因子為0.1時收斂速度最快， 因此選擇0.1作為步長因子。 同時， 從圖4上還可以看出， 迭代開始階段， 擬合方差迅速降低， 說明所用方法收斂速度很快。

圖4 五種步長因子的收斂速度

確定步長因子后， 對實驗數據進行迭代計算。 采集了25 ℃下六種CO2濃度的吸收光譜信號， 為了提高吸收區域的擬合效果， 刪除了低吸收區域四分之三的采樣點之后再進行初始值賦值， 最后通過對數據的迭代獲得氣體的濃度信息。

迭代30步后， 得到如圖5所示的擬合效果圖， 其中圖5(a)—(f)分別是濃度為10%， 12%， 14%， 16%， 18%和20%的擬合結果。 采集的數據點、 擬合開始位置、 迭代之后的數據曲線在圖中標示， 藍色實線為采樣數據點， 綠色實線為擬合初始位置， 紅色虛線為擬合得到的數據點。 其中， 擬合的數據點和采集的數據點基本重合， 殘差在-0.035～0.015之間， 可以直觀地看出應用梯度下降法可以很好地對光譜吸收信號進行擬合。

圖5 不同濃度下擬合結果

由上述擬合結果得到直接擬合法更詳細的數據， 如表2所示。 可以看到， 擬合計算濃度的相對誤差在0.9%～4.4%之間， 同時六種濃度下擬合的方差均在1×10-4以下， 此時迭代時間在4 s以內。 以標準差的三倍來計算檢測限， 檢測限為0.39%。 利用積分面積法得到的CO2氣體濃度值和相對誤差也在表2中列出， 與直接擬合法進行對比， 積分面積法的平均相對誤差為5.74%， 直接擬合法的平均相對誤差為2.63%， 在本實驗條件下直接擬合法的結果優于積分面積法。

表2 直接擬合法與積分面積法分析結果

對以上直接擬合法分析性能優于積分面積法的原因進行分析， 繪制出了在常規基線擬合法下得到的不同濃度的吸光度， 如圖6所示。 可以看到， 積分面積法在做基線擬合時會出現吸光度小于0的情況， 這是積分面積法誤差的主要來源。

圖6 常規基線擬合得到的不同濃度下的吸光度

4 結 論

將基線、 氣體濃度、 吸收線型等作為未知量， 通過建立光譜吸收信號的數學模型， 結合梯度下降法， 分別對10%， 12%， 14%， 16%， 18%和20%濃度的CO2吸收后的激光透射信號進行了擬合。 結果顯示： 采用直接擬合法計算的濃度最小相對誤差僅為0.90%， 平均相對誤差為2.63%， 同時六種濃度下的擬合方差均小于1×10-4。 而積分面積法濃度反演的最小相對誤差為4.10%， 平均相對誤差為5.74%， 本工作所提出的基于梯度下降法直接擬合光譜吸收信號的氣體濃度測量方法優于積分面積法， 進一步表明了該方法在氣體濃度測量時的可行性與準確性。