GeoGebra與高中數學教學深度融合的思考與探索

陳麗萍

[摘 ? 要]GeoGebra軟件具有強大的幾何和代數功能。以高中數學“為什么截口曲線是橢圓”問題鏈驅動式的教學設計為例，將GeoGebra的運用與教材深度融合，對于有效增強學生學習數學的興趣、提升學生直觀想象和邏輯推理學科核心素養、深化數學審美價值的認識具有積極的意義。

[關鍵詞]GeoGebra;高中;直觀想象;邏輯推理;審美價值

《普通高中數學課程標準（2017年版）》明確提出，數學課程目標的集中體現是形成和發展學生的數學學科核心素養[1]。數學教學活動是達成這一目標的重要載體[2]。在數學教學中，融合信息技術創設豐富的教學情境和教學活動，可以使學生經歷鮮活的學習過程，更加直觀地感悟數學發生、發展的過程和數學的本質，自主探究和解決相關問題。GeoGebra（以下簡稱GGB）是一款動態數學教育軟件，由“Geo”加“Gebra”組成，從字面上看，具有幾何與代數兩大功能，實際上，它是一個多功能的動態數學軟件[3]。GGB與高中數學教學的深度融合，將對教師的教和學生的學產生強大的輔助功能。以下將結合“為什么截口曲線是橢圓”課例，討論如何將GGB深度融合于教學設計，旨在探索和拓寬在課堂上進一步發展學生數學核心素養的有效途徑。

一、教材與學情分析

“為什么截口曲線是橢圓”是人教A版數學教材（選修2-1）“橢圓及其標準方程”之后的一個專題，設置在“探究與發現”欄目，是數學學科內容的延伸與拓展。由于不是必考內容，所以教師往往不太重視這一欄目的教學。實際上，將信息技術深度融合于“探究與發現”欄目，可以更好地體現數學學科核心素養的價值。

從知識水平上看，學生通過對橢圓的定義和標準方程的學習，對橢圓的性質有了一定的了解和掌握;通過對立體幾何的學習，認識和理解了基本圖形的位置關系及性質。從思想方法上看，學生已經歷了用坐標法解決一些與橢圓有關的簡單幾何問題的完整過程，再次感悟了“數形結合”的基本思想。從探究能力上看，學生從數學角度發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力在逐步提高。

二、教學目標與教學重難點

這一專題的教學目標如下：一是結合GGB動態圖形，運用數學家丹德林（G·P·Dandelin）的方法，理解截口曲線是橢圓的證明過程;二是結合橢圓及其標準方程，了解橢圓與其方程的對應關系，進一步體會“數形結合”的基本思想;三是增強學習數學的興趣，提升直觀想象和邏輯推理核心素養，深化對數學審美價值的認識。其中，教學的重難點是：結合GGB動態圖形，運用數學家丹德林的方法，利用定義證明截口曲線是橢圓。

三、教學過程

用一個平面去截圓錐，當截面與圓錐軸線夾角不同時，可以得到不同的截口曲線。教師依次提出問題，逐步引導學生觀察與思考。

【問題1】請觀察下圖中平面截圓錐得到的截口曲線，你能猜想出截口曲線的類型嗎？（見圖1）

教師操作：在GGB文件中先后勾選復選框“圓錐”和“平面”，出現平面截圓錐的圖形。然后勾選復選框“截口曲線”，則平面截圓錐后得到的截口曲線可呈現。平面e視圖（見圖4）中的圖形也同時出現。學生通過GGB直觀感知圖形，猜想截口曲線的類型。

問題1的設計意圖是：通過GGB圖形幫助學生將文字語言問題轉化成幾何圖形語言問題，以增強學生探究截口曲線的興趣，提升學生直觀想象和邏輯推理素養。

【問題2】能否先通過GGB動態圖形驗證截口曲線上的任意一點都滿足橢圓的定義呢？（見圖2）

教師介紹及操作：在歷史的長河中，很多人對截口曲線的類型問題從純幾何角度進行了深入研究。其中，數學家丹德林采用一個非常巧妙的方法證明了截口曲線是橢圓。教師在GGB文件中勾選復選框“球O1”和“球O2”，將兩個大小不同的球先后嵌入圓錐內截面的兩側，上、下球分別為O1和O2，并且使它們與截面和圓錐的側面均相切，其中與截面的切點分別為F1和F2。 然后勾選復選框“M”，在截口曲線上任取一點M，平面e視圖（見圖4）中的點M也同時出現。 接著勾選復選框“MF1”和“MF2”，連接MF1和MF2，平面e視圖中也做了相應連接。教師拖動點M，使其在截口曲線上運動，通過觀察繪圖區2中的數據變化，發現此時截口曲線上的任意一點M都有|MF1|+ |MF2|=1.86，且有|F1F2|=0.72，|MF1|+|MF2| >|F1F2|，即截口曲線上的任意一點都滿足橢圓的定義，這說明“截口曲線是橢圓”的猜想是合理的。 教師還可以改變參數的滑動條，在截口曲線仍是橢圓的情形下，引導學生觀察圖形和數據的特點。如果時間允許，也可請學生上臺親自操作GGB進行演示。學生們觀察圖形和數據，完成驗證問題。

問題2的設計意圖是：通過數形結合肯定猜想的合理性，提升學生直觀想象和邏輯推理素養，為進一步的嚴謹證明做好鋪墊。

【問題3】為什么截口曲線是橢圓呢？你能根據橢圓的定義和相關幾何知識證明嗎？（見圖3）

教師操作及說明：接下來我們通過定義證明截口曲線是橢圓。勾選復選框“AB”，即過點M做圓錐的母線，分別與兩個球相切于點A、B。這樣可容易知道，直線MF1和MA都是球O1的切線，根據“同點發出的球的切線段長度相等”，因此有|MF1|=|MA|。同理，對球O2，有|MF2|=|MB|。于是|MF1|+|MF2|=|MA|+|MB|=|AB|。依據在整個作圖過程中切點A、B的產生方法，可以得到兩切點之間的距離|AB|是一個定值的結論。這樣，截口曲線上的任意一點M到兩個定點F1和F2的距離之和為常數。由橢圓的定義可以知道，此時平面截圓錐得到的截口曲線是橢圓。學生在教師的引導下經歷以上證明過程。

問題3的設計意圖是：借助GGB圖形，使學生從理論層面認識截口曲線是橢圓，提升學生直觀想象和邏輯推理素養。

【問題4】你能根據繪圖區2中的數據，求出在這種情形下平面e視圖中橢圓的標準方程嗎？（見圖4）

教師引導學生建立適當的平面直角坐標系，使焦點F1、F2落在x軸上。共同觀察并分析繪圖區2中的相關數據可知，|MF1| +|MF2| =2a=1.86，|F1F2|=2c=0.72。最后根據橢圓的定義求出此時平面e視圖中橢圓的標準方程。學生在教師的引導下求出焦點在x軸上的橢圓的標準方程。

問題4的設計意圖是：充分利用GGB提供的“附加視圖”功能，多元關聯，幫助學生重溫橢圓的定義和標準方程，提升學生直觀想象和邏輯推理素養。

【問題5】將圓錐換成圓柱，用平面斜截圓柱，得到一條截口曲線。你能類比這種極具創造性的方法，經過猜想和驗證，最終證明截口曲線也是橢圓嗎？你能根據繪圖區中的相關數據，求出平面p視圖中橢圓的標準方程嗎？（見圖5）

教師讓學生先自行畫圖，然后演示GGB動態圖，再引導學生完成證明，求出標準方程。學生通過小組討論完成證明，求出標準方程，匯報展示成果。

問題5的設計意圖是：引導學生自主探究和解決平面斜截圓柱生成截口曲線是橢圓的問題，從而提升學生直觀想象和邏輯推理素養。

四、教學反思與感悟

1. GGB可以增強學習數學的興趣

在必修階段學習平面解析幾何的基礎上，學生將在人教版A版（選修2-1）第二章中學習圓錐曲線與方程，用坐標法探究的第一類圓錐曲線即是橢圓。通過橢圓及其標準方程的學習，有些學生產生了畏難情緒，對于課后探究與發現“為什么截口曲線是橢圓”更沒有什么興趣。本課例摒棄了傳統的靜態教學，設計了層層遞進、邏輯連貫的五個問題，并將GGB的動態演示巧妙融入每一個問題，使學生經歷了豐富多彩的數學活動，產生了情感和視覺的充分體驗。這樣，不僅可以引導學生循序漸進地思考“為什么截口曲線是橢圓”，還可以增強學生學習圓錐曲線的興趣。

2.GGB有助于提升直觀想象素養

充分利用GGB強大的動態幾何功能，借助圖形描述問題，使平面斜截圓錐和圓柱生成截口曲線為橢圓這一問題變得直觀可視。學生看到橢圓的動態生成，發展了幾何直觀和空間想象能力。教師引導學生緊跟數學家丹德林的腳步，利用對圖形的理解，在變化中證明了不變的本質，完美解決截口曲線是橢圓的問題，增強了學生運用幾何直觀和空間想象思考問題的意識。另外，繪圖區和視圖區多元關聯，通過讓學生用代數語言描述截口曲線的特征，即建立特定位置時平面視圖區橢圓的標準方程，由此感悟數形相融動態變化中的聯系和本質，從而提升了直觀想象學科核心素養。

3.GGB有助于提升邏輯推理素養

學生已經學習了立體幾何中點、直線、平面的位置關系和數量關系，橢圓的定義和標準方程，證明“截口曲線是橢圓”是一個嚴謹理性的邏輯推理過程。通過在GGB動態課件中設置復選框，使3D圖形動態演示與猜想、驗證和證明過程相匹配，可以引導學生更好地發現和提出問題，探索和表述合乎邏輯的論證過程。如在平面斜截圓柱得到截口曲線是橢圓的問題中，結合GGB動態圖形，引導學生采用類比推理的方法參與探究活動。GGB輔助學生有邏輯地思考問題，在復雜空間圖形中把握橢圓的本質，進行嚴密的邏輯推理，助力學生進一步提升邏輯推理學科核心素養。

4.GGB可以深化對審美價值的認識

普洛克拉斯（Proclus）曾說過，哪里有數學，哪里就有美！GGB的融入有助于培養學生的審美能力。 在這一課例中，GGB呈現了三維立體平面截圓錐和圓柱的圖形，可以通過拖動滑條、勾選復選框、360°旋轉圖形，使圓錐和圓柱、平面和丹德林球動起來，成為一個動態圖形，便于學生從中體驗動靜之美。在圖形色彩方面，圓錐、平面和丹德林球各具鮮明的不同顏色，呈現出色彩之美。此外，橢圓標準方程的結構形式也非常簡潔漂亮。雖然本課主要是探究和證明截口曲線是橢圓，但是基于GGB強大的幾何和代數功能，在教學設計中追加了一個求橢圓標準方程的問題，讓學生進一步使用坐標法，將“數”與“形”完美地結合起來，使學生感受到了橢圓標準方程結構形式的美。事實上，GGB帶來的美，不僅能夠提升學生的審美情趣和審美能力，還使學生在形象思維的基礎上增強理性思維能力。

五、結語

與教材的章節引言一樣，“探究與發現”欄目也是經過教材編寫者精心設計的。編者挑選了一些有益的拓展性材料置于章節之后，發揮著承前啟后的重要作用，它們既是對教材資源在內容上的補充和拓展，也是對學生能力層面上的更高要求，為廣大教師的教學實踐活動提供了較強的靈活性和廣闊的探究空間。基于GGB強大的幾何和代數功能，將其同“探究與發現”深度融合，在教學活動的開展與推進過程中，適時引導學生學習、發現和探究，可以幫助學生更好地認識和理解數學，為數學課堂的教與學注入新的活力。實踐證明，該教學軟件對于有效增強學生學習數學的興趣、提升學生直觀想象和邏輯推理學科核心素養、深化學生對數學審美價值的認識具有積極意義。

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[2]史寧中，王尚志.普通高中數學課程標準（2017年版）解讀[M].北京：高等教育出版社，2018.

[3]郭衍，曹一鳴.動態數學軟件GeoGebra使用指南[J].中學數學教學參考，2012（1）：129-131.

（責任編輯 郭向和 ? 校對 姚力寧）