亥姆霍茲線圈磁場的均勻范圍研究和可視化

周群益，莫云飛，周麗麗，侯兆陽

（1.廣州理工學院通識教育學院，廣東 廣州 510540；2.長沙學院電子信息與電氣工程學院，湖南 長沙 410022；3.贛南醫學院醫學信息工程學院，江西 贛州 341000；4.長安大學理學院，陜西 西安 710064）

亥姆霍茲線圈是由兩個半徑相同、電流大小和方向相同的共軸圓環組成，不少文獻研究了亥姆霍茲線圈均勻磁場區域的問題。環電流磁場的計算涉及兩類完全橢圓積分，早期的學者通過橢圓積分表手工計算兩類橢圓積分，效率低、精度差［1-4］。后來有學者利用電子計算機計算，效率和精度有所提高，還能畫出曲線圖［5-6］。近年來，有學者利用Mathematica計算兩類完全橢圓積分，并繪制曲線和曲面，效率和精度大大提高［7-11］。也有一些學者利用MATLAB計算兩類完全橢圓積分，并繪制曲線和曲面，效果也不錯［12-14］。有的學者設計了Mathematica和MATLAB的程序，繪制了均勻區域圖［15-18］。不過，這些學者沒有將公式無量綱化，畫出的圖形不夠規范。莫云飛等用MATLAB精確地繪制了亥姆霍茲線圈的均勻區域，但是還不夠系統和全面［19］。文章畫出了亥姆霍茲線圈在臨界條件下磁感應強度分量和合磁場以及方向曲面，增加磁感應線說明了兩環之間的距離對均勻區域大小和形狀的影響。文后附有兩個主程序和函數文件，其中主程序用參數調用函數文件，第一個函數文件說明了磁感應強度分量與合磁場以及方向曲面的畫法，第二個函數文件說明了磁感應線和均勻區域的畫法。這兩個函數文件使用了一定的編程技巧，有一定的參考價值。

1 亥姆霍茲線圈的磁場

如圖1所示，取x軸為縱軸，z軸為橫軸，兩環共z軸。設兩個圓環的半徑為a，通有同方向的電流I，兩環之間的距離為2L。

圖1 亥姆霍茲線圈

如果將左環或右環移到原點，環電流產生的磁感應強度的兩個分量分別為［20-22］：

其中k稱為模數，其平方為：

K（k）、E（k）分別為第一類完全橢圓積分和第二類完全橢圓積分：

當x= 0時，必 有k= 0。而K（0）= E（0）= π/2。對式（1a）的第一個等式求x→0時的極限，可得：

對式（1b）的第一個等式求x→0時極限，可得：

這是軸線上的磁感應強度，與電磁學教材中的公式相同。當z= 0時，可得：

這是環心處的磁感應強度，用B0表示。

將式（1a）（1b）中的z換為z-L，即可得右環O1產生的磁場的兩個分量B1x（x，z）和B1z（x，z）；將式（1a）（1b）中的z換為z+L，即可得左環O2產生的磁場的兩個分量B2x（x，z）和B2z（x，z）。兩個線圈產生的合磁場的兩個分量在左右兩環產生的分量之和分別為Bx（x，z）和Bz（x，z），由此可以計算合磁場的大小和方向。

當z= 0時，可得原點的磁感應強度：

這是一個鞍點，其磁感應強度用BS表示。

在z= 0處，令，可得a2= 4L2，所以2L=a，這是臨界距離。z= 0處的臨界磁場為：

2 磁感應強度的可視化

取半徑a為長度單位，則無量綱的坐標和長度為：

取B0=μ0I/2a為磁感應強度單位，即可將磁感應強度的公式無量綱化。注意，L*是可調節的參數，當L*= 1/2時，它就是臨界無量綱距離。

根據磁感應強度的無量綱公式，利用ellipke函數可以計算橢圓積分，利用surf指令可以繪制曲面（見附錄1）［23］49-52。

（1）亥姆霍茲線圈的臨界磁感應強度的z分量Bz的曲面如圖2所示，點（±a，±L）是奇點，表示環所在的位置，奇點處出現4個“背靠背的峰”和4個“面對面的谷”。

圖2 臨界磁感應強度z分量的分布面

（2）磁感應強度的x分量Bx的曲面如圖3所示，奇點處出現4個“面朝背的峰”和4個“面朝背的谷”。

圖3 臨界磁感應強度x分量的分布面

（3）合磁場B的曲面如圖4所示，中心處比較平坦，說明此處接近于勻強磁場，圓環處是4個很高的峰，外面磁場比較弱。

圖4 臨界合磁場的分布面

（4）合磁場B的方向角α的曲面如圖5所示，在x= 0的z軸上，α= 0；在兩環之間，α隨著極角θ的增加變化較小，說明磁場比較均勻；在兩環之外，α隨著θ的增加而增加；當θ取某些值的時候，α發生從π到-π的躍變。

圖5 臨界合磁場方向的分布面

3 磁場均勻區域的可視化

利用三維等高線指令contour3可畫等值線，利用流線指令streamline可以繪制磁感應線（見附錄2）［23］。

取|B–BS| ≤ 0.01BS為線圈的均勻范圍，即0.99BS≤B≤ 1.01BS。

（1）當L=LC= 0.5a時，亥姆霍茲線圈臨界截面和磁場的均勻區域以及磁感應線如圖6所示。兩個電流從下面流入，從上面流出。磁感應線在原點附近是平行的，因而是勻強磁場。磁場BS=BC= 1.431 1B0的等值線恰好經過原點并包圍4個電流；B= 1.01BC的4條等值線分別包圍了4個電流，4條曲線并不連接；B= 0.99BC的等值線是一條曲線，同時包圍了4個電流，曲線如同“X”形狀。B= 1.01BC的等值線與B= 0.99BC的等值線之間的區域就是線圈臨界磁場的均勻范圍。均勻區域呈現“八爪”形狀，一對“爪”包圍一個電流。

圖6 臨界磁場的均勻范圍和磁感應線（L=0.5a）

（2）當L=0.45a時，兩環距離比較近，線圈磁場的均勻范圍和磁感應線如圖7所示。鞍點磁場增加為BS=1.516 7B0，磁場的均勻范圍左右收縮而上下拉長。B=BS的左右曲線經過原點，B=1.01BS的等值線與B=0.99BS的等值線分別向上下移動而不經過原點，均勻區域仍然呈現“八爪”形狀，范圍稍微縮小。

圖7 磁場的均勻范圍和磁感應線（L=0.45a）

（3）當L=0.4a時，兩環距離更加小，磁場的均勻范圍和磁感應線如圖8所示。鞍點磁場增加為BS=1.600 8B0，B=1.01BS的曲線合并成上下兩條曲線，分別包圍上面兩個電流和下面兩個電流，上下各有一個小小的均勻區域，中間均勻區域呈“四爪”形狀，上下一對“爪”分別包圍上下兩個電流。雖然鞍點的磁場增強了，但是均勻區域變得更小了。如果距離繼續變小，磁場均勻區域會變得更小而形狀不變（圖略）。

圖8 磁場的均勻范圍和磁感應線（L=0.4a）

（4）當L=0.55a時，兩環距離比較大，線圈磁場的均勻范圍和磁感應線如圖9所示。鞍點磁場減小為BS=1.3454B0，磁場的均勻范圍上下收縮而左右拉長。B=BS的上下曲線經過原點，但是左右部分曲線分別向左右移動而不經過原點，均勻區域仍然呈現“八爪”形狀，范圍稍微縮小。

圖9 磁場的均勻范圍和磁感應線（L=0.55a）

（5）當L=0.6a時，兩環距離更大，磁場的均勻范圍和磁感應線如圖10所示。鞍點磁場減小為BS=1.261B0，B=1.01BS的曲線合并成右邊兩條曲線，分別包圍左邊兩個電流和右邊兩個電流，左右各有一個小小的均勻區域，中間均勻區域呈“四爪”形狀，左右一對“爪”分別包圍左右兩個電流。鞍點的磁場減弱了，均勻區域也變得更小了。如果距離繼續變大，磁場均勻區域會變得更小而形狀不變（圖略）。

圖10 磁場的均勻范圍和磁感應線（L= 0.6a）

4 結束語

文章說明了亥姆霍茲線圈在直角坐標系中磁感應強度的解析式，將公式無量綱化，繪制出了亥姆霍茲線圈磁場的分量和合磁場的分布曲面。文章精確地繪制了亥姆霍茲線圈均勻磁場的分布范圍和磁感應強度分布線，說明了兩環之間的距離對均勻范圍的影響。為了提高讀者應用MATLAB解決問題的能力，文章附錄提供兩個完整的主程序和函數文件供讀者參考。

附錄1

ring2B1main.m

%亥姆霍茲線圈磁場的主程序

clear，l=0.5；%清除變量，距離

ring2B1fun（l）%調用函數文件

ring2B1fun（0.25）%調用函數文件

ring2B1fun（1）%調用函數文件

ring2B1fun.m

%亥姆霍茲線圈的磁場的函數文件

function fun（l）

rm=2；r=linspace（-rm，rm，40）；%最大坐標，坐標向量（繞過奇點）

［X，Z］=meshgrid（r）；R1=sqrt（（Z-l）.^2+（abs（X）+1）.^2）；%坐標矩陣，最大距離

KK1=4*abs（X）./R1.^2；［K1，E1］=ellipke（KK1）；%模數，兩個完全橢圓積分

Bx1=（（1+X.^2+（Z-l）.^2）./（（abs（X）-1）.^2+（Z-l）.^2）.*E1-K1）.*（Z-l）./X/pi./R1；%B的x分量

Bz1=（（1-X.^2-（Z-l）.^2）./（（abs（X）-1）.^2+（Z-l）.^2）.*E1+K1）/pi./R1；%B的z分量

R2=sqrt（（Z+l）.^2+（abs（X）+1）.^2）；%最大距離

KK2=4*abs（X）./R2.^2；［K2，E2］=ellipke（KK2）；%模數，兩個完全橢圓積分

Bx2=（（1+X.^2+（Z+l）.^2）./（（abs（X）-1）.^2+（Z+l）.^2）.*E2-K2）.*（Z+l）./X/pi./R2；%B的x分量

Bz2=（（1-X.^2-（Z+l）.^2）./（（abs（X）-1）.^2+（Z+l）.^2）.*E2+K2）/pi./R2；%B的z分量

Bx=Bx1+Bx2；Bz=Bz1+Bz2；%合磁場的x分量，z分量

B=sqrt（Bz.^2+Bx.^2）；A=atan2（Bx，Bz）；%合磁場，磁場角度

BC={Bz，Bx，B，A}；%數據元胞

zc={’itB_z/B m_0’，’itB_x/B m_0’，...

’itB/B m_0’，’italpha m’}；%豎坐標元胞

tc={’itz m分量’，’itx m分量’，’總量itB m’，’方向’}；%標題的一部分

txt=’itB m_0=itmu m_0itI m/2ita’；%磁感應強度單位文本

t=’亥姆霍茲線圈’；%標題

if l==0.5，t=［t，’臨界’］；end，fs=16；%如果距離為0.5，修改標題，結束循環，字體大小

for i=1：4，figure%循環，創建圖形窗口

surf（Z，X，BC{i}），box on%畫曲面，加框

title（［t，’磁感應強度的’，tc{i}，’的分布面（itL m=’，...

num2str（l），’ita m）’］，’FontSize’，fs）%顯示標題

xlabel（’itz/a’，’FontSize’，fs）%顯示x坐標

ylabel（’itx/a’，’FontSize’，fs）%顯示y坐標

zlabel（zc{i}，’FontSize’，fs）%顯示z坐標

end，view（-45，60）%結束循環，設置角度曲面的視角

附錄2

ring2B2main.m

%亥姆霍茲線圈均勻區域的主程序

clear，l=0.5；%ring2B2fun（l）%清除變量，距離，調用函數文件

ring2B2fun（0.45）%調用函數文件

ring2B2fun（0.4）%調用函數文件

ring2B2fun（0.55）%調用函數文件

ring2B2fun（0.6）%調用函數文件

ring2B2fun.m

%亥姆霍茲線圈的磁場均勻區域的范圍的函數文件

function fun（l）

rm=2；r=linspace（-rm，rm，200）；%最大坐標，坐標向量（繞過奇點）

［Z，X］=meshgrid（r）；R1=sqrt（（Z-l）.^2+（abs（X）+1）.^2）；%坐標矩陣，最大距離

KK1=4*abs（X）./R1.^2；［K1，E1］=ellipke（KK1）；%模數，兩個完全橢圓積分

Bx1=（（1+X.^2+（Z-l）.^2）./（（abs（X）-1）.^2+（Z-l）.^2）.*E1-K1）.*（Z-l）./X/pi./R1；%B的x分量

Bz1=（（1-X.^2-（Z-l）.^2）./（（abs（X）-1）.^2+（Z-l）.^2）.*E1+K1）/pi./R1；%B的z分量

R2=sqrt（（Z+l）.^2+（abs（X）+1）.^2）；%最大距離

KK2=4*abs（X）./R2.^2；［K2，E2］=ellipke（KK2）；%模數，兩個完全橢圓積分

Bx2=（（1+X.^2+（Z+l）.^2）./（（abs（X）-1）.^2+（Z+l）.^2）.*E2-K2）.*（Z+l）./X/pi./R2；%B的x分量

Bz2=（（1-X.^2-（Z+l）.^2）./（（abs（X）-1）.^2+（Z+l）.^2）.*E2+K2）/pi./R2；%B的z分量

Bx=Bx1+Bx2；Bz=Bz1+Bz2；B=sqrt（Bz.^2+Bx.^2）；%合磁場的x分量，z分量，合磁場

m=3；B（B>m）=m；fs=16；%截斷磁場，大于截斷磁場者取截斷磁場，字體大小

t=’亥姆霍茲線圈’；%標題

if l==0.5，t=［t，’臨界’］；end %如果距離為0.5，修改標題，結束循環

figure，surf（Z，X，B）%開創圖形窗口，畫B解析解的網格曲線

shading interp，alpha（0.8）%染色，半透明

bs=2/（1+l^2）^（3/2）；hold on%原點磁場，保持屬性

contour3（Z，X，B，［1，1］*bs，’b’）%畫中等值線

C1=contour3（Z，X，B，［0.99，0.99］*bs，’r’）；%畫下等值線取坐標

C2=contour3（Z，X，B，［1.01，1.01］*bs，’k’）；%畫上等值線取坐標

title（［t，’的合磁場（itL m=’，num2str（l），’ita m）’］，’FontSize’，fs）%顯示標題

xlabel（’itz/a’，’FontSize’，fs）%顯示x坐標

ylabel（’itx/a’，’FontSize’，fs）%顯示y坐標

zlabel（’itB/B m_0’，’FontSize’，fs）%顯示z坐標

view（-45，45），box on%設置視角，加框

plot3（0，0，bs，’r.’，’MarkerSize’，10）%畫原點磁場

txt=［’itL m=’，num2str（l），’ita m’］；%距離字符串

text（0，0，m，txt，’FontSize’，fs）%顯示距離

x1=C1（1，2：end）；y1=C1（2，2：end）；%取下線橫，縱坐標

n=C2（2，1）；x2=C2（1，2：1+n）；y2=C2（2，2：1+n）；%上線坐標對數，取上線坐標

figure，fill（x1，y1，’r’）%開創圖形窗口，畫下線填色圖

alpha（0.5），hold on%平面半透明，保持屬性

fill（x2，y2，’w’），fill（x2，-y2，’w’）%畫左下方上線，左上方上線白色圖

fill（-x2，-y2，’w’），fill（-x2，y2，’w’）%畫右上方上線，右下方上線白色圖

contour（Z，X，B，［1，1］*bs，’b’）%畫等值線

plot（［0；0］，［-rm；rm］），plot（［-rm；rm］，［0；0］）%畫豎直軸線，畫水平軸線

ms=10；%符號大小

plot（l，1，’ro’，l，1，’r.’，’MarkerSize’，ms）%畫右邊流出屏幕的電流

plot（l，-1，’ro’，l，-1，’rx’，’MarkerSize’，ms）%畫右邊流進屏幕的電流

plot（-l，1，’ro’，-l，1，’r.’，’MarkerSize’，ms）%畫左邊流出屏幕的電流

plot（-l，-1，’ro’，-l，-1，’rx’，’MarkerSize’，ms）%畫左邊流進屏幕的電流

plot（［l，l］，［-1+0.05；1-0.05］，’r’，’LineWidth’，4）%畫右環的剖面

plot（［-l，-l］，［-1+0.05；1-0.05］，’r’，’LineWidth’，4）%畫左環的剖面

sx=0.1：0.1：1.2；sz=0*sx+0.01；%磁感應線的起點縱，橫坐標

Bx（Z<=-0.1）=NaN；%左邊Bx值改為非數

streamline（Z，X，Bz，Bx，sz，sx）%畫第一象限磁感應線

streamline（-Z，X，-Bz，Bx，-sz，sx）%畫第二象限磁感應線

streamline（Z，-X，Bz，-Bx，sz，-sx）%畫第三象限磁感應線

streamline（-Z，-X，-Bz，-Bx，-sz，-sx）%畫第四象限磁感應線

plot（0，0，’r.’，’MarkerSize’，10）%畫原點

title（［t，’合磁場的均勻范圍’］，’FontSize’，fs）%顯示標題

xlabel（’itz/a’，’FontSize’，fs）%顯示x坐標

ylabel（’itx/a’，’FontSize’，fs）%顯示y坐標

grid on，axis equal%加網格，使坐標刻度相等

text（0，1.5，txt，’FontSize’，fs）%顯示距離

if l==0.5%如果距離為0.5

text（0，0，［’itB m_C=’，num2str（bs），’itB m_0’］，’FontSize’，fs）%顯示鞍點磁場值

else%否則

text（0，0，［’itB m_S=’，num2str（bs），’itB m_0’］，’FontSize’，fs）%顯示鞍點磁場值

end%結束循環