比較教學法在“矢量分析與場論”課程教學中的應用研究

李建平 丁仁偉 趙俐紅 李桂花

摘要：“矢量分析與場論”是我?？辈榧夹g與工程專業本科生的專業基礎課，該專業的多門后續課程中都要用到該課的內容，但該課程中中含有眾多相近的概念和知識點，使學生易于混淆， 帶來了學習上的困難。筆者在該課程多年教學的基礎上，將比較教學法引入教學中，取得了較好的效果，提高了教學質量。

關鍵詞： 矢量分析與場論;比較教學法;教學

1、引言

“比較教學法”是大學各專業教學中廣泛使用的一種教學方法，其本質特征在于“比較”、“對照”、“對比”，即按一定的標準把彼此之間相近的教學內容放在一起，加以對比分析，以確定其異同關系，認識其本質差異。比較教學法的運用，有助于培養學生獨立思考、觸類旁通和從事物表面現象找出本質差異的能力[1-5]。

2、課程和教材內容簡介

“矢量分析與場論”是我?？辈榧夹g與工程專業本科生的專業基礎課，該課程在學生學完“高等數學”和“線性代數”后開設，是對“高等數學”和“線性代數”所學知識的進一步延伸和拓展，同時該專業后續的等多門專業基礎課和專業課中都要用到該課程的內容，所以該課程具有承上啟下的重要作用。“矢量分析與場論”課程所用教材為高等教育出版社出版的由謝樹藝主編的經典教材《工程數學—矢量分析與場論（第四版）》，該教材由四章組成，第一章為矢量分析，具體包括矢性函數、矢性函數的導數與微分、矢性函數的積分這三節內容，該部分內容為全書的基礎;第二章為場論，具體包括場、數量場的方向導數和梯度、矢量場的通量和散度、矢量場的環量與旋度、有勢場、管形場、調和場等內容，為該書的主體部分;第三章為哈密頓算子，該章的實質是引入一個哈密頓算子，從而可以將第二章的相關內容用此算子表示，使一些表達式和公式更加簡潔明了;第四章為梯度、散度、旋度與調和量在正交曲線坐標系中的表示式，該教材第二章已對這些量在直角坐標系中的表示式進行了介紹，但某些情況下直角坐標系中的計算會很繁瑣，但在正交曲線坐標系中的表示式卻相對簡單，故本章對此加以講解[6]。這些內容之間有很多相近和易混淆的知識點，對學生的學習帶來了很大的困難，下面結合該課程的教學內容，談一談筆者如何將比較教學法應用到教學實踐中。

3、比較教學法在課程中的應用實踐

“矢量分析與場論”課程中的核心內容包括方向導數、梯度、通量、散度、環量、環量面密度、旋度以及直角坐標系和曲線坐標系，這些量之間即具有相同點，也具有不同點，使學生容易混淆，所以筆者從多個方面利用比較教學法對以上內容進行教學。

首先，按照基本特征將以上的量分為數量和矢量兩大類，其中數量有方向導數、通量、散度、環量以及環量面密度，它們的特征是只有大小而沒有方向;矢量有梯度和旋度，它們的特征是同時具有大小和方向。此外，方向導數和梯度是由數量場推導得出的，而通量、散度、環量、環量面密度、旋度是由矢量場推導得出的。

其次，從內在聯系做進一步分析，可以把以上量分為三組，即數量場的方向導數與梯度，矢量場的通量與散度，矢量場的環量、環量面密度與旋度，之所以這么分類，是因為它們之間有著緊密的內在聯系，如方向導數和梯度之間的關系是過數量場中的一個點引一條射線，則沿該射線的方向可以求出一個方向導數;由于過一點可以引無數條射線，所以該點處的方向導數也是無數個，而梯度的模就是無數個方向導數中最大的那個方向導數，梯度的方向就是最大方向導數所沿的射線的方向。通量和散度的關系是單位體積的通量或通量與體積之比的極限值為散度。環量、環量面密度和旋度之間的關系如下：環量指的是沿矢量場中某一封閉有向曲線的積分;環量面密度則為過矢量場中的某個點引一條射線，再過該點作一個微小曲面，要求射線為曲面上該點的法矢量，此時沿微小曲面的環量與曲面面積之比的極限值，稱為環量面密度;同理，由于過一點可以引無數條射線，沿每條射線都有一個環量面密度，故矢量場的環量面密度有無數個，而旋度的模就是無數個環量面密度中最大的那個，旋度的方向就是最大環量面密度所對應的射線方向。這些量中，筆者認為最特殊就是矢量場的環量面密度與旋度，它與另外的兩組量都有相似之處，筆者分別將環量面密度與方向導數（表1）、旋度與梯度（表2）、環量面密度與散度（表3）進行了比較，結果如下表所示。

4、結語

比較教學法在大學各專業教學中都有著廣泛的應用，其關鍵在于如何找到用于比較的知識點，本文根據筆者“矢量分析與場論”課程多年的教學經驗，將課程中相似而又不同的知識點用比較法進行了講解，突破了課程難點，顯著提高了教學質量。

參考文獻

[1] 龍國存， 吳榮耕.比較教學法在《中國近現代史綱要》教學中的運用[J].中國校外教育（理論），2009，（1）：79-80.

[2] 張寶梅. 試論比較教學法在“概論”課教學中的運用[J].思想政治教育研 究，2015，（1）：66-69.

[3] 陳樹良，尹秀梅.比較教學法在應用統計學教學中的應用[J].遼寧工學院學報，2005，（5）：116-118.

[4] 孫智慧.當前國內外四種主流英語寫作教學法的比較與實驗檢驗[J].廣東外語外貿大學學報，2014（5）：72-75.

[5] 陳 玉 驥.“比較教學法”在力學課程教學中的運用實踐[J].大學教育，2014（7）：121-123.

[6] 謝樹藝.矢量分析與場論（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2012.

*基金項目：本文受山東科技大學虛擬仿真實驗教學項目“地震波傳播虛擬仿真教學系統”（項目編號：XNFZ2020Y02），山東科技大學2020年研究生教育質量提升計劃項目“地球探測理論與方法”（項目編號：SKD2020YZK05），山東科技大學2020年研究生課程思政示范課程項目“地球探測理論與方法”（項目編號：SKD2020SZK06）資助。