培養學生逆向思維 提升數學解題能力

李賀，1977年9月生，男，本科學歷，中共黨員，中小學高級教師，江蘇師范大學附屬學校副校長，徐州市珠算協會副秘書長，一直負責小學數學教學和珠心算教學，先后獲得徐州市“優秀教育工作者”、江蘇省“優秀輔導員”、江蘇省“優秀珠心算教練”等稱號，榮獲三等功一次。其多次承擔國家、省市級課題研究任務，所在學校被評為江蘇省珠心算實驗學校和江蘇省珠心算教育實驗研究基地，所教學生先后在世界、國家、省級珠心算比賽中獲獎。

初中數學課程是一門邏輯課程，也是一門思維課程。在日常授課過程中，為了貼合學生的思維模式，教師一般采用正向思維進行教學。但在實際解題過程中，學生發現有些問題不能用正向邏輯思維來解決，也就是說，采用慣性思維無法求解，需要借助逆向思維。

對大部分學生來說，使用逆向思維解題存在一定的困難，主要原因是他們對數學基礎知識掌握不牢固，應用不靈活。所以，教師要通過訓練使學生形成逆向思維，從而培養學生的數學技能，啟發學生的智力，提升學生的解題能力，發展學生的思維品質，提高學生的數學綜合素養。

一、反例法，糾正錯誤結論

在中學數學中，反例法是常用的逆向思維方法之一。初中生在學習數學的過程中，可能因為沒有真正掌握知識，也可能因為沒有全面理解問題，或者認識不到知識點之間的聯系，在做題過程中思緒模糊、邏輯混亂，從而導致解題錯誤。針對學生的錯誤思路，教師可以利用反例法指導學生論證結論，這不僅可以幫助學生找到錯誤的根源，還可以幫助學生填補自己的知識漏洞，提高學生的解題能力。

例如，求解方程式.

學生解答，方程兩邊同時乘以1-x2

得

移項得

解得，

解答結束。

該題解答錯誤的原因是在和方程式相乘時，學生默認（1-x2）因子是不為0的數，但在計算完成后，忘記驗證兩個結果對因子和方程式的影響。教師可以提醒學生，在求解方程式后，應將結果帶入原式進行驗算。學生在教師提醒后，通過計算發現，本題的結果只有一個值。所以，教師在教學中利用舉反例的方式，不僅能夠幫助學生發現錯誤，正確計算出結果，還能使學生養成良好的解題習慣，提升數學思維品質。

二、逆推法，形成新的結構

逆推法常用于運用正向思維無法直接計算，或者直接計算會消耗大量時間和精力的問題。解答這類問題的關鍵是感應未知的結果，從結果推向已知的條件，或者從問題的結論入手尋找條件，形成新的結構。所以，學生使用逆推法的前提是對相關知識點很熟悉，這樣才能根據題目條件聯想可能用到的定理、定義或公式。

例如，已知|a|<1，|b|<1，求證|a+b|<|1+ab|.

觀察該題目，條件是單向絕對值不等式，結論是雙向絕對值不等式。通過條件可知a和b兩個值的范圍，但無法獲知其真正的值。同時，該題目直接證明存在困難，不管從左到右還是從右到左，都無法進行絕對值的合并計算。所以，在證明題目時，學生要認真思考條件和結論的特點，既然從條件到結論無法直接推導，就可以嘗試從結論向條件推導，此時該題目就變成了，如果|a+b|<|1+ab|，那么|a|<1，|b|<1。

一般為了保證絕對值和不等式結果的恒定性，我們通常對非負不等式兩側進行平方運算，

即（a+b）2<（1+ab）2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （1）

展開得

a2+2ab+b2<1+2ab+a2b2? ? ? ? ? ?（2）

移項得

a2+b2-a2b2-1<0? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （3）

分解因式得

（1-b2）（a2-1）<0? ? ? ? ? ? ? ? ?（4）

由式（4）可以很容易推出該題目的條件。

需要注意的是，在實際解題過程中，學生很少簡單運用探究式的正向解題方法，也較少單純使用逆向思維解題方法，一般是兩者結合使用。由此可見，將正向和逆向思維訓練結合起來，更有助于提升學生的思維能力。所以，數學教師在日常授課過程中要注重講解和應用逆推法。學生只有理解了逆推法的使用場合和常見模式，才能在做題時靈活切換正向思維和逆向思維。

三、反證法，證明假設失敗

反證法也是初中數學學習中常用的逆向思維方法之一。反證法解題的原則是不直接從題設推出結論，而是從結論的反面出發，假設所要證明的結論不成立，在這個假定的條件下進行一系列的求證或計算，最終得出一個矛盾的結論，并以此為條件否定假設的條件，從而證明所要證明的結論是正確的。所以，用反證法解答數學題，既容易也困難，學生只要找到相應的命題就可以解答該數學題，但如果對相應的數學知識不熟悉，則無法解題。命題的尋找范圍比較廣，可以是定理、定義或公式，也可以是生活中相矛盾的事情，或者是與定理相矛盾的式子等。

例如，求證：三角形的三個角中至少有一個角不大于60°。

反證法的步驟如下：題目中結論為三角形的三個角中至少有一個角不大于60°，假設三角形的三個角都大于60°，進行內角和的加法運算，∠A+∠B+∠C>3×60°=180°。

三個內角的和大于180°，與內角和的定理矛盾，所以上述假設不成立，所以三角形中至少有一個角不大于60°。

反證法證明的要求較為嚴格，首先，必須理解“至多”“至少”概念，并能對其進行正確的否定;其次，必須有明確的推理特點，雖然否定結論的目的是得出矛盾，但是矛盾出現的時間和式樣是不確定的，所以使用反證法推理數學證明題，必須嚴格遵守推理的規則，進行有序和有據的推理，直到推出具體的矛盾，才能認為推理結束。

反證法推理的矛盾是多種多樣的，可以與題設全部矛盾，也可以部分矛盾，當然也可能是和已知的真命題矛盾等。相對其他逆推式算法，反證法具有更高的靈活性，對學生知識掌握程度提出了更高的要求。同時。反證法對學生思維的邏輯性和嚴謹性提出了更高的要求，學生只有完全掌握和熟悉定理、定義等內容，才能說理清楚、論證嚴謹，進而真正提高數學解題能力。

四、綜合法，學會執因索果

執因索果指的是從條件入手，逐步推導出所需要的結論，將其反映在解法上，通常稱為綜合法。這種方法的解題程序是從已知逐步推向未知，要求學生在實際計算分析過程中感受逆向思維的應用，逐步培養逆向思維，從而拓展學生的解題思路，提升學生的解題能力。

例如，已知有a和b兩個正數，a≠b且a+b=1，試證明>4.

從已知條件進行分析，條件包含三個內容，分別是①a>0，b>0;②a≠b;③ a+b=1。

對結論進行從左到右計算推導：

上式中等式成立的條件是，即a2=b2;

∵a和b都是正數，

∴a=b，此時.

但是題目要求a≠b，所以>4.

在該題目的論證計算過程中，學生既使用了正推法，又使用了逆推法，通過運用綜合性的解題方法完成題目的證明求解過程。

運用執因索果的逆向分析法，對學生的數學理解和應用能力提出了較高要求，不僅要求學生在解題過程中可以熟練利用題目中已知條件，還要求學生能夠靈活應用定理和公式等內容。

以上是筆者在日常教學中常用的四種數學解題方法，當然還有其他方法，如綜合例證法等。不管采用哪種解題方法，目的都是培養學生的逆向思維能力。在實際教學中，教師應要求學生在實際解題過程中靈活應用不同的方法，做到知其然并知其所以然，這樣才能使學生真正掌握多種解題方法，形成逆向思維，從而提升學生的思維品質，讓學生不僅能在數學解題中逆向思考，還能在其他課程中運用逆向思維進行深度學習，進而提高學生的綜合素養。

◎ 作者/李賀? 江蘇師范大學附屬學校