2021年高考數學文化試題統計與分析

摘 ? 要：2021年高考數學真題中有很多數學文化試題，這類試題很好地考查了考生的閱讀理解能力，也很好地考查了數學運算、邏輯推理、數據分析、直觀想象、數學抽象和數學建模的數學學科核心素養，落實了《中國高考評價體系》“一核四層四翼”的考查要求，凸顯了綜合性、應用性和創新性。賞析2021年高考數學文化真題，以更好地梳理數學文化問題所涉及的知識和方法，引導學生經歷深度學習，提升學習能力。

關鍵詞：數學文化試題;試題特征與分析;備考建議

中圖分類號：G633.6 ? ?文獻標識碼：A ? ?文章編號：1009-010X（2021）26-0004-05

一、引言

教育部印發的《完善中華優秀傳統文化教育指導綱要》指出，“高中階段，以增強學生對中華優秀傳統文化的理性認識為重點，引導學生感悟中華優秀傳統文化的精神內涵，增強學生對中華優秀傳統文化的自信心”。

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂本）》（以下簡稱《課標》）在課程結構章節給出的數學文化的內涵是“數學文化是指數學的思想、精神、語言、方法、觀點，以及他們的形成和發展;還包括數學在人類生活、科學技術、社會發展中的貢獻和意義，以及與數學相關的人文活動?！边€提出了在數學課程中融入數學文化。

《中國高考評價體系》一書在“一核——高考核心功能”的“立德樹人”部分指出“弘揚中華優秀傳統文化”。

2021年高考數學真題中有很多數學文化試題，這類試題很好地考查了考生的閱讀理解能力，同時很好地考查了數學運算、邏輯推理、數據分析、直觀想象、數學抽象和數學建模的數學學科核心素養。2021年高考數學試卷中出現的數學文化試題成為一道亮麗的風景線，落實了《中國高考評價體系》和《課標》中提出的對數學文化的考查要求，凸顯了綜合性、應用性和創新性。以下，筆者對2021年高考數學文化真題進行賞析，并談談2022年高考數學文化試題備考策略。

二、2021年高考數學文化試題特征統計與分析

2021年高考數學文化試題中，全國卷Ⅱ理科第21題是沒有給出背景的隱性數學文化試題，其他都是給出背景的顯性數學文化試題。老高考試卷全國Ⅱ卷中數學文化試題只出現在理科試卷中，一道是源自中國傳統文化中經典著作的顯性文化試題，一道是源自外國數學文化的隱性數學文化試題。實行新高考的浙江卷和新高考Ⅰ卷中的數學文化試題都源自中國傳統文化。從類別來看，主要為數學史料類。總的來說，數學文化試題主要出現在選擇題和填空題中，解答題中很少。這些數學文化試題主要考查考生的閱讀理解能力、運算求解能力和推理論證能力，主要貫徹了理性精神、人文價值、科學價值、應用價值和美學價值，主要滲透了勞育、德育和美育。

三、2021年高考數學文化試題賞析

全國Ⅱ卷理科第9題：魏晉時期劉徽撰寫的《海島算經》是關于測量的數學著作，其中第一題是測量海島的高。如圖，點E、F、G在水平線AC上，DE和FG是兩個垂直于水平面且等高的測量標桿的高度，稱為“表高”，EG稱為“表距”，GC與EH都稱為“表目距”，GC與EH的差稱為“表目距的差”.則海島的高AB=（ ? ）

A.+表高 B.-表高

C.+表距 D.-表距

【解析】解法1：連接DF交AB于M，則AB=AM+BM，設∠BDM=α，∠BFM=β，則-=MF-MD=DF，

而tanβ=，tanα=，所以

-=MB（-）

=MB（-）=MB·

所以MB==，

所以高AB=+表高.

解法2：設表高DE=FG=m，表距EG=n，表目距：GC=p，EH=q， 表目距的差為p-q，

因為Rt△EDH∽Rt△ABH，

所以-，設AE=x，

則=，①

因為Rt△GFC∽Rt△ABC，

所以=，

則=，②

所以=，解得x=，代入①，

AB===+m，

所以AB=+表高，故選答案A.

【賞析】劉徽是我國古代魏晉時期偉大的數學家，在中國數學史上做出了巨大貢獻，他的經典著作有《海島算經》和《九章算術注》。《海島算經》是我國歷史上最早的關于測量數學的一部專著，劉徽在《海島算經》一書中選編了九個測量問題，是中國古代高度發達的地圖學的數學基礎。本題源自《海島算經》中的第一個關于測量海島的高和遠的數學名題“望海島”：“今有望海島（AB），立兩表（DE，FG）齊高三丈，前后相去（EG）千步，令后表與前表參相直.從前表卻行（EH）一百二十三步，人目著地（H）取望島峰（A），與表末（D）參合.從后表（FG）卻行（GI）一百二十七步，人目著地（I）取望島峰（A），亦與表末（F）參合.問島高（AB）及去表（BE）各幾何？”本題考查了解三角形的應用;考查了考生綜合運用知識解決問題的能力;考查了考生的推理論證能力;考查了邏輯推理、直觀想象、數學抽象和數學建模的數學學科核心素養;考查了數學應用、數學探索和數學文化素養。雖然試題難度不大，但在設計上比較新穎，取材經典古名著，以關于測量海島的高度的探索創新情境為載體，做到了將中國傳統文化滲透進高考數學試題，讓考生充分感悟我國古代數學家的聰明才智和勇攀數學高峰的理性精神。數學名題是數學史的呈現內容之一，可以提升學生的學習興趣，有利于學生理解數學的本質，體會我國古代著名數學家探究數學知識的過程。對培養學生的愛國情操和認識中華傳統文化有著深刻的教育意義，對實施高中數學新課改和落實立德樹人根本任務具有積極的導向作用。

全國Ⅱ卷理科第21題：已知拋物線C：x2=2py（p>0）的焦點為F，且F與圓M：x2+（y+4）2=1上點的距離的最小值為4.

（1）求p;

（2）若點P在M上，PA，PB是C的兩條切線，A，B是切點，求△PAB面積的最大值.

【解析】（1）問，由已知可得，焦點F（0，）到x2+（y+4）2=1的最短距離為+3=4，所以p=2.

（2）問，拋物線x2=4y，所以y=x2，設A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），所以y=x，因為點P在M上，所以x02=-y02-8y0-15，

切線PA的方程y-y1=x1（x-x1），

即y=x1x-x12=x1x-y1，

同理切線PB的方程為y=x2x-y2，

因為直線PA、PB都過點P（x0，y0），

所以y0=

x1x0-y1

y0=

x2x0-y2，所以直線AB的方程為

y0=x0x-y，即y=x0x-y0，

聯立y=

x0x-y0

x=4y，得x2-2x0x+4y0=0，

△=4x02-16y0，由弦長公式，

AB=·

=，

點P到直線AB的距離d=，所以

S△PAB=ABd=x02-4y0

=（x02-4y0） ?=（-y02-12y0-15） ?，

因為y0∈[-5，-3]，故當y0=-5時，S△PAB達到最大值，最大值為20.

【賞析】本題第（2）問以拋物線的阿基米德三角形為背景，阿基米德是古希臘數學家和力學家，被后人譽為數學之神，他的著作有《論球與圓柱》《圓的度量》《論劈錐曲面體與橢圓體》《論螺線》《拋物弓形求積》等10部。阿基米德三角形的定義：拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形常被稱為阿基米德三角形。阿基米德三角形具有很多美麗的性質，本題以阿基米德三角形的性質“已知拋物線 ：x2=2py（p>0），P為拋物線C一點，過點P作C的兩條切線，切點分別為A（x1，y1）、B（x2，y2），則△PAB的面積為S=”為素材，形式優美，結構簡單，主要考查了拋物線的簡單幾何性質、直線與拋物線的位置關系，也考查了數形結合的思想和化歸與轉化的思想。

2021年浙江卷第11題：我國古代數學家趙爽用弦圖給出了勾股定理的證明，弦圖是由四個全等的直角三角形和中間的一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖所示）。若直角三角形直角邊的長分別為3、4，記大正方形的面積為S1，小正方形的面積為S2，則 ? ? ? ? .

【解析】S1=（）2=25，

S2=4××3×4=1所以=25.

【賞析】趙爽是我國東漢末至三國時代的著名數學家，“趙爽弦圖”是趙爽為了采用“出入相補”證明勾股定理時繪制的圖形，本題以歷史名圖“趙爽弦圖”為依托，考查了三角形面積公式。本題難度不大，通過簡單的計算就可以得出答案，體現了高考試題的基礎性。

新高考Ⅰ卷第16題：某校學生在研究民間剪紙藝術時，發現剪紙時經常會沿紙的某條對稱軸把紙對折.規格為20dm×12dm的長方形紙，對折1次共可以得到10dm×12dm，20dm×6dm兩種規格的圖形，它們的面積之和S1=240dm2，對折2次共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm， 20dm×3dm三種規格的圖形，它們的面積之和S2=180dm2，以此類推，則對折4次共可以得到不同規格圖形的種數為_______;如果對折n次，那么=Sk=______dm2.

【解析】（1）易知有20dm×dm，10dm×dm，10dm×3dm，dm×6dm，dm×12dm，共5種規格;

由題可知對折k次共有k+1種規格，且面積為，故Sk=，

則Sk=240，記Tn=，

則Tn=，

故Tn=-

=1+（-）-，

=1+-=-

則Tn=3-，

故Sk=240（3-）=720-.

【賞析】本題考查了等比數列的定義和錯位相減法，同時考查了推理論證能力和運算求解能力。本題以我國傳統文化剪紙藝術為背景，重點考查考生靈活運用數學知識分析問題的能力，也讓考生體會了中華優秀傳統剪紙文化的勞動實踐過程。

2021年新高考Ⅱ卷第4題：衛星導航系統中，地球靜止同步軌道衛星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為36000km（軌道高度指衛星到地球表面的最短距離），把地球看成一個球心為O，半徑為6400km的球，其上點A的緯度是指OA與赤道所在平面所成角的度數，地球表面能直接觀測到的一顆地球靜止同步軌道衛星的點的緯度的最大值記為α，該衛星信號覆蓋的地球表面面積S= 2πr2（1-cosα）（單位km2），則S占地球表面積的百分比為（ ? ）.

A.26%

B.34%

C.42%

D.50%

【解析】

如上圖，作出過地球靜止同步軌道衛星軌道左右端點的豎直平面，則OB=36000+6400=42400，cosα==，S占地球表面積的百分比為=≈42%，故選答案C.

【試題評價】新高考Ⅱ卷第4題是以北斗全球衛星導航系統為試題情境設計的立體幾何問題，在考查學生數學基礎知識的同時，展現了我國航天等高科技事業取得的輝煌成就。題目取材真實的科學研究情境，貼近新時代，在試題之中貫穿了立德樹人和愛國敬業的理念，展現了社會主義核心價值觀。本題涉及到高中數學立體幾何中的球的表面積和平面幾何中直線與圓相切的相關知識，體現了數學內部知識之間的交匯考查，同時涉及到地理學的緯度知識，體現了地理和數學這兩個不同學科的交匯考查，體現了數學與其他學科的聯系，體現出高考試題基礎性和綜合性，反映了數學的應用價值。

四、2022年高考數學文化試題備考建議

總結2021年高考數學文化真題的命題規律，在2022年高三的高考數學備考復習中，建議在每個知識塊的復習中設置數學文化微專題，具體見下表。設置高考數學文化微專題時，一線教師可以通過網絡收集整理歷年高考真題和近幾年模考試題中的典型數學文化試題，制成導學案的形式，要求學生課前做完，教師在課堂上選擇性講解并簡單介紹一些相關的數學史料，既落實了高考數學文化試題的備考，又可以激發學生的學習興趣。數學文化試題題目普遍較長，通過做這類題目可以提升學生的閱讀理解能力，培養學生的理性思維、數學應用、數學探索和數學文化等學科素養。

數學文化微專題復習具有較小的切入點、新穎的角度和較強的針對性，可以做到數學文化知識和數學方法的交匯，切合高考試題注重在知識交匯處命題的特色，對學生更好地梳理數學文化問題所涉及的知識和方法具有重要作用，真正做到引導學生經歷深度學習，提升學習能力。

參考文獻：

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