基于三次多項式的磁彈性傳感器非線性誤差修正

劉曉蒙，張懷鎖

(上海工業自動化儀表研究院有限公司，上海 200233)

0 引言

鐵磁性物質發生變形或在應力的作用下，其磁導率會發生變化。這是磁致伸縮的逆效應[1]。利用此效應制成的測力傳感器稱為磁彈性傳感器[2-4]。與電阻應變式傳感器不同，磁彈性傳感器在受力時產生微小應變。一般來說，在額定載荷下，磁彈性傳感器內部的應力約為60 MPa，受力方向的變形量約為30 μm[5]。磁彈性傳感器承受額定負載時的應力遠小于其制造材料的屈服強度。因此，磁彈性傳感器具有較高的過載能力，非常適用于測量金屬板材的軋制力和橋梁支撐柱的壓力。

磁彈性傳感器測量的是力，輸出的是電壓或電流信號。理論上，傳感器輸出和輸入之間是線性關系。實際上，傳感器的輸入輸出特性都是非線性的，存在非線性誤差[6-7]。為使傳感器的輸出達到理想狀態，可以從軟件上進行修正。本文將探討使用三次多項式修正數據的方法。

1 非線性誤差的定義

傳感器的非線性誤差(線性度)、重復性、回差(或稱遲滯、遲后)和靈敏度是衡量傳感器靜態特性的重要指標。國標GB/T 18459—2001《傳感器主要靜態性能指標計算方法》中，對非線性誤差的定義為:正、反行程實際平均特性曲線相對于參比直線(理論直線)的最大偏差。參比直線可以用傳感器空載時輸出的零點值和額定負載的輸出值這2個端點連線擬合。非線性誤差δl的計算方法如下:

(1)

式中:ri為被試試驗點上3次正行程實際輸出信號值的算術平均值;Ui為被試試驗點上理論輸出信號值；UN為理論輸出信號量程。

非線性誤差由所有試驗點中最大的δl確定，UN和Ui分別由式(2)、式(3)確定。

UN=UM-U0

(2)

(3)

式中：UM為載荷為上限時3次正行程實際輸出信號的算術平均值；U0為載荷為下限時3次正行程實際輸出信號的算術平均值；i為被試試驗點序數；k為被試試驗點總數。

2 非線性誤差的修正方法

2.1 三次多項式曲線擬合

對于磁彈性傳感器的非線性誤差，可以通過軟件進行修正，使傳感器的輸出曲線逼近理想直線。常用的修正方法有神經網絡修正、自適應補償和多項式曲線擬合修正[8-11]。曲線擬合修正的基本思想是設計一個以傳感器直接輸出為變量的多項式，使經過多項式計算后的輸出數據逼近理想直線[12]。

修正非線性誤差的多項式可以表示為：

W(r)=a0+a1r+a2r2+...+anrn

(4)

式中：W(r)為修正后的數據；r為傳感器的輸出；n為階次，由于三次多項式修正的方法更實用[13]，此處n取3；a0～a3為4個系數。

2.2 三次多項式系數的計算方法

求解三次多項式，就是求解三次多項式系數。通過算法使多項式與傳感器理論值的均方誤差為最小值，就可以確定多項式的系數。由式(4)計算得到的W(ri)與理論值Ui之間必然存在誤差Δi。其方差為：

(5)

式中：i為被試試驗點序數，i=1,2...k，k為被試試驗點總數。

誤差Δi的均方誤差R可以表示為：

R(a0,a1,a2,a3)

(6)

為使均方誤差為最小值，對其四個變量求偏導，并使其等于0。

(7)

整理后得出方程組:

(8)

通過試驗確定試驗點的測量值和傳感器的輸出數值后，求解非齊次線性方程組(8)就可以得出a0～a3這4個系數。一般來說，方程組(8)中，方程的個數和未知量的個數相等，并且系數行列式D不為零，因此方程組有唯一解，可以使用克萊姆法則求解[14-16]。

(9)

(10)

式中：Di為把D中第i列的各元素換成常數項[V,X,Y,Z]T的行列式，i=1,2,3,4。

例如，D2為:

(11)

2.3 單片機求解三次多項式系數

磁彈性傳感器系統包括傳感器本體和與其配套的二次儀表。二次儀表主要包括勵磁電源和信號處理兩部分，一般運用單片機處理，很容易實現非線性誤差校正。用單片機求解三次多項式4個系數的流程如圖1所示。

圖1 求解三次多項式4個系數的流程圖

3 試驗驗證

3.1 原始數據分析

當傳感器的回差和重復性誤差較小時，可以采用軟件修正的方法提高非線性誤差。為驗證三次多項式修正傳感器非線性誤差的效果，使用上海工業自動化儀表研究院生產的400 t磁彈性軋制力傳感器進行驗證。此類傳感器安裝在軋機支撐座上，直接承受軋制力。傳感器為圓盤形，外徑為280 mm，高度為74 mm。磁彈性傳感器和二次儀表如圖2所示。測試試驗在福建省科學計量院進行。測試設備是500 t的標準力試驗機。

圖2 磁彈性傳感器和二次儀表

測試試驗范圍為0～400 t，加載間隔為40 t。測試數據和非線性誤差如表1所示。表1中：L、ri、Ui、δl1、W(ri)和δl2分別代表加載力(t)、傳感器原始輸出電壓(mV)、傳感器理論輸出電壓(mV)、傳感器原始輸出的非線性誤差(%)、修正后的輸出電壓數據(mV)和修正后的非線性誤差(%)。理論輸出電壓由三次行程的算術平均值的端點連線擬合法計算得出。對比表1可以看出，傳感器原始輸出的非線性誤差為2.75%，誤差較大。

表1 測試數據和非線性誤差

3.2 修正數據

為提高傳感器的非線性誤差，按照第2節中的公式計算三次多項式的4個系數:a0=-0.083 5;a1=0.839 4;a2=3.5×10-3;a3=-1.86×10-5。

再次對傳感器進行試驗，各個測試點加載的質量與之前相同。傳感器的非線性誤差從2.75%減小到0.35%，大大降低了非線性誤差。傳感器原始輸出數據和修正后的數據對比如圖3所示。

圖3 傳感器原始輸出數據和修正后的數據對比

4 結論

非線性誤差是傳感器的關鍵指標，直接影響產品的定級。對于重復性好和回差小的傳感器，可以用軟件修正其非線性誤差。三次多項式修正方法簡單實用，使用單片機的儀表在現場即可修正非線性誤差。本文在磁彈性傳感器上驗證了三次多項式曲線擬合修正的方法。對于電阻應變式傳感器和其他線性儀表，此法同樣適用。