二自由度并聯機構的逆解算法與性能優化

牛 彪，梁 全，單東升

(沈陽工業大學 機械工程學院，遼寧 沈陽 110870)

0 引言

并聯機構是個復雜的運動學和動力學系統，工作能力強、運動精度高、反應速度快，因此有廣闊的應用前景[1]。對于并聯機構運動學的研究分為正運動學和逆運動學兩種[2]，由于正運動學非常復雜難以解決，所以采用逆運動學對二自由度并聯機構進行研究。當給定上平臺目標位移或角度時通過運動學逆解算法求解出兩個液壓缸的伸縮位移，進而實現上平臺期望的位姿變換。由于并聯機構本身存在非線性特性以及不確定因素的擾動影響，使得上平臺運動時會出現動作遲緩和位姿精度不高的現象。為解決上述問題，本文對二自由度并聯機構采用極點配置進行性能優化，以得到良好的控制效果。

1 二自由度并聯機構設計

二自由度并聯機構由底座、平臺及兩組液壓系統組成，左液壓缸與上平臺和底座的連接均為旋轉副，右液壓缸與底座的鏈接為固定連接、與上平臺的鏈接為旋轉副，如圖1所示。

圖1 并聯系統結構圖

2 運動學分析

已知上平臺的位姿求解各個支腿的長度叫做位置姿態逆解[3]。為了對上平臺的運動進行描述，選取兩個坐標系，即底座的靜坐標系O-XY和上平臺的動坐標系O1-X1Y1[4]。

上平臺的運動位姿用廣義坐標d=[θ,y](θ為旋轉角度，y為位移)來描述，即d1=θ、d2=y。這兩個參數確定后，上平臺的位姿就能唯一確定。

上平臺沿OY軸方向平移y,得到的變換矩陣T1為：

(1)

上平臺在O-XY平面內轉動θ角，得到的變換矩陣T2為:

(2)

上平臺的鉸點坐標由動坐標系變換到靜坐標系下的齊次變換矩陣T為:

T=T2·T1.

(3)

上平臺運動時在靜坐標系中的速度vp和加速度ap分別為:

(4)

(5)

上平臺運動時在靜坐標系中的角速度ωp和角加速度εp分別為:

(6)

(7)

在動坐標系中用4×2階矩陣A表示上平臺的兩個鉸點坐標，齊次坐標描述為:

(8)

在靜坐標系中用4×2階矩陣B表示底座的兩個鉸點坐標，齊次坐標描述為:

(9)

初始位置時，上平臺的鉸點在動坐標系和靜坐標系下的坐標值不變；運動時，上平臺的鉸點在靜坐標系中的坐標值發生了改變。設上平臺的鉸點在靜坐標系中的坐標C為:

C=T·A.

(10)

兩組液壓缸活塞的伸縮位移由連接液壓缸上、下鉸點之間的距離Li(i=1,2)減去液壓缸初始長度L0來確定：

(11)

其中：cki為矩陣C的各個元素；bki為矩陣B的各個元素。

對式(11)求導可以求得液壓缸的速度：

(12)

(13)

對式(12)求導可以求出液壓缸的加速度：

(14)

(15)

3 極點配置

液壓系統是二自由度并聯機構的驅動器，對液壓系統進行極點配置控制，最終可實現機構的性能優化。

3.1 閥控缸的基本方程

(1)滑閥的流量方程：

qL=kqxv-kcpL.

(16)

其中：qL為負載流量；kq為流量增益；xv為閥芯位移；kc為流量壓力系數；pL為負載壓力。

(2)液壓缸流量連續性方程：

(17)

其中：Ap為液壓缸有效作用面積；xp為液壓缸活塞的位移；Ctp為液壓缸總泄漏系數；Vt為液壓缸總體積；βe為液壓缸體積彈性模量。

(3)液壓缸力平衡方程：

(18)

其中：mt為活塞及負載折算到活塞上的總質量；Bp為活塞及負載的黏性阻尼系數；KL為負載彈簧剛度；FL為作用在活塞上的外負載力。

液壓缸幾乎沒有泄漏，總泄漏系數Ctp=0；液壓缸體積彈性模量βe=7×108Pa；不給系統加外負載，因此KL=0、FL=0；液壓油密度為850 kg/m3；流量壓力系數kc=1.4×10-8；流量增益kq=2.385 5；活塞及負載折算到活塞上的總質量mt=1 000 kg；液壓缸腔體的有效長度L=1 m；液壓缸有效作用面積Ap=4.908 7×10-4m2；液壓缸總體積Vt=4.908 7×10-4m3；阻尼系數Bp=0.001。

(19)

對式(19)進行如下的能控性判定：

(20)

3.2 極點配置算法

其中：I為單位矩陣；a1，…，an為系數。

(2)求閉環系統的期望特征多項式：

(3)計算：

(4)計算：

(5)求P=Q-1。

4 Visual Studio與AMESim聯合仿真

應用Visual Studio與AMESim聯合仿真，用C語言對極點配置算法進行編程，在AMESim中搭建并聯機構仿真模型,如圖2所示。

圖2 AMESim中搭建的并聯機構仿真模型

用C語言編寫的極點配置算法程序與AMESim模型之間進行數值交換的程序如下：

setplace1 =output[6];

setplace2 =output[7];

dstatevalue1[0][0] =output[2];

dstatevalue1[1][0] =output[3];

dstatevalue2[0][0] =output[4];

dstatevalue2[1][0] =output[5];

input[2] =-(output[6] * L-k1[0][0] * dstatevalue1[0][0] -k1[0][1] * dstatevalue1[1][0]);

input[3] =-(output[7] * L-k0[0][0] * dstatevalue2[0][0] -k0[0][1]*

dstatevalue2[1][0]);

input[0] =output[0];

input[1] =output[1];

程序中：output[0]、output[1]為采樣時間，output[2]為左邊液壓缸的位移反饋值，output[3]為左邊液壓缸的速度反饋值，output[4]為右邊液壓缸的位移反饋值，output[5]右邊液壓缸的速度反饋值，output[6]為上平臺期望旋轉角度值，output[7]為上平臺期望位移值，input[2]為輸入左邊比例閥的值，input[3]為輸入右邊比例閥的值，dstatevalue1[0][0]、dstatevalue1[1][0]為左邊閥控缸系統的狀態變量，dstatevalue2[0][0]、dstatevalue2[1][0]為右邊閥控缸系統的狀態變量，K1、K0分別為左、右兩液壓缸的狀態反饋增益矩陣。

5 仿真分析

圖3 上平臺上升0.3 m時的位移曲線 圖4 上平臺旋轉5°時的角位移曲線 圖5 上平臺位移正弦信號

圖6 上平臺角度正弦信號

從圖3～圖6可以看出：運動學逆解實現了上平臺的期望位移和旋轉角度，運用極點配置可以使控制過程得到優化。由圖3和圖4可知：在實施極點配置后上平臺的旋轉角度和位移更加精確，而且可以更快到達指定位置。由圖5和圖6可知：在極點配置后并聯機構的跟蹤性能得到了加強。

6 結論

對二自由度并聯機構進行了運動學分析，得出了運動學逆解的算法，以及兩個液壓驅動器的伸縮位移、速度和加速度的算法。極點配置可以對系統的運動性能進行優化，不僅增強了系統的跟蹤性能，也使系統的工作效率得到提高。