基于EKF的PMSM滑模控制策略研究*

苗敬利，于俊林，馬晨浩，孫立城，張書華

(河北工程大學 信息與電氣工程學院，河北 邯鄲 056038)

0 引言

得益于稀土永磁材料及電力電子技術的發展，永磁同步電機(PMSM)以其質量輕、效率高、體積小等優勢在各領域得到廣泛應用[1]，然而在應用中存在位置傳感器維護成本昂貴、安裝空間受限等問題。因此，在PMSM控制領域中關于無傳感器的研究一直受到國內外專家學者的重視。

現階段，研究人員針對無傳感器控制問題提出多種有效算法，以進行PMSM轉子位置和轉速的估計，如SMO(滑模觀測器)，其優點在于具有良好的魯棒性，便于實現，缺點是對電機相關參數估計不穩定[2]。MRAS(模型參考自適應系統)由自適應率、參考模型、可調模型組成控制策略，但難以適應參數，魯棒性較差[3]。神經網絡法有效地提高了電機控制系統的精度和穩定性，但其計算量大，實際應用尚不成熟[4]。EKF(擴展卡爾曼濾波)可實時跟蹤系統的狀態進行有效輸出，同時可減少干擾、抑制噪聲，即使當噪聲估算不準確時，依舊能夠讓觀測器收斂[5]。

滑模控制作為適用廣泛的自動控制系統的設計方法，它的主要功能是對趨近律進行設計以及滑模面的選取，并且與控制對象的參數、外界擾動無關[6]。二階超螺旋滑模控制(STSM)算法只需要滑模變量，并且具有很強的魯棒性，已成功應用于電機的驅動控制[7]。

本文以擴展卡爾曼濾波算法為基礎，建立基于EKF算法的估算轉子位置和轉速的數學模型，根據高階滑模控制理論，設計二階超螺旋滑模控制器取代PI控制器作為電流環調節器，并給出了收斂和穩定條件。

1 PMSM的數學建模

EKF算法可用于PMSM作為一種狀態觀測器，本文基于其電機模型選用靜止坐標系搭建數學模型以降低其計算時間和非線性程度，提高估算精度。

表貼式三相PMSM在靜止坐標系下的電壓方程為[8]：

(1)

其中：uα、uβ為定子電壓在α、β軸上的分量；iα、iβ為定子電流在α、β軸上的分量；R為定子電阻；Ls為定子電感；ωe為轉子角速度；φf為永磁轉子磁通；θe為轉子位置。

將式(1)變換為電流方程，可得:

(2)

考慮到式(3)所示的關系式：

(3)

可以獲得如下的狀態方程：

(4)

y=Cx.

(5)

其中：

(6)

(7)

(8)

式(4)和式(5)是非線性的，此非線性使得式(4)和式(5)必須采用EKF算法將其離散化，搭建整體的數學模型為：

x(k+1)=f[x(k)]+B(k)u(k)+V(k).

(9)

y(k)=C(k)x(k)+W(k).

(10)

其中：C(k)為觀測矩陣；V(k)為系統噪聲；W(k)為測量噪聲。

假設V(k)和W(k)均為白噪聲，即有:

E{V(k)}=0,E{W(k)}=0.

(11)

其中：E{ }表示數學期望值。

在EKF算法的遞推計算中，并不直接利用噪聲矢量V和W，而是需要利用V的協方差矩陣Q以及W的協方差矩陣R。協方差矩陣Q和R被定義為:

(12)

假設V(k)和W(k)兩者互不相關，初始時刻下的計算狀態x(0)是隨機矢量，與V(k)和W(k)也互不相關。

2 擴展卡爾曼濾波器的狀態估計

EKF的狀態估計大致分為預測階段和校正階段，具體步驟如下：

(13)

(14)

(3)計算誤差協方差矩陣，即：

(15)

其中：

(16)

結果為:

(17)

(4)計算EKF的增益矩陣K(k+1)，即有：

(18)

(19)

這一步驟稱為校正的狀態估計，即為“濾波”。

(6)為了下一次的估計，要預先計算出誤差協方差矩陣，即有：

(20)

3 Super-twisting滑模控制器設計

超螺旋(Super-twisting)滑模算法又稱為二階滑模控制算法，其自身對滑模抖振具有較強的抑制能力以及魯棒性強的特點。

對于一個動態系統[9]：

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(21)

其中：x為狀態變量；u為控制輸入量；y為輸出量；a、b、c均為未知函數。

u=-kP|s|rsgn(s)+u1.

(22)

且

(23)

其中：kP、kI、r為待設計參數，kP>0，kI>0。

Super-twisting滑模控制器不需要滑模變量的導數，在滑模面上收斂和穩定的充分必要條件[10]為：

(24)

其中：AM、BM、Bm為正整數，且滿足不等式AM≥|A|、BM≥B≥Bm，A、B為輸出量y的二階導數的上限和下限。

因此，Super-twisting電流滑模控制器設計如下：

(25)

圖1 Super-twisting滑模控制器框圖

圖2 基于EKF的PMSM矢量框圖

4 仿真分析與驗證

4.1 仿真模型搭建及參數設定

利用MATLAB軟件在Simulink環境下搭建兩電平空間矢量調制(SVPWM)的PMSM仿真模型。EKF算法采用s函數編寫設計。電機部分參數如表1所示。

表1 PMSM部分參數

永磁同步電機輸入量為靜止坐標下的定子電壓與定子電流，輸出量為電機轉速、轉子位置以及定子電流估計值。Simulink仿真采用定步長，采樣時間為10-6s。選用的協方差矩陣Q、R及誤差協方差陣初始值p0如下：

Super-twisting控制器分別設定參數kP=58和kI=3。

4.2 仿真結果分析

仿真時間為0.4 s，初始時刻的負載轉矩TL=0 N·m，PMSM給定零速以空載啟動上升到給定參考轉速1 000 r/min，到達0.2 s時突然負載轉矩變為TL=3 N·m，電機轉速估計值與實際值、電磁轉矩、三相電流和轉子位置的仿真結果如圖3所示。圖3(a)顯示從初始零速到達參考轉速，超調量很小，僅用0.015 s便達到穩態，在0.2 s時遇到負載轉矩突然的增大，轉速也能很快恢復。圖3(b)、圖3(c)分別顯示電磁轉矩和三相電流的變化情況，圖3(d)為轉子位置估計值與實際值的變化曲線，估算曲線與實際曲線偏差較小，擬合情況良好，波形往返有規律性。

圖3 仿真結果

當初始條件不變，0.2 s時負載轉矩改為TL=0，轉速突然降為800 r/min，仿真結果如圖4所示。圖4中顯示轉速能在突然降速時很快進入穩定狀態，平穩狀態波動范圍小，無超調，轉速跟蹤性能好，能夠滿足系統穩定性要求。

圖4 電機轉速估計值與實際值變化曲線

5 結論

在靜止坐標系下搭建了基于PMSM的EKF算法和超螺旋算法的數學模型，在MATLAB環境中構建仿真平臺，實現了EKF算法用于轉速與位置估計的無傳感器控制；并利用超螺旋算法設計的滑模控制器取代PI控制器，進一步削弱了系統的抖振和超調，縮短了動態響應時間、提高了抗擾動能力。經過仿真，結果驗證了該策略具有一定的實用性意義，能夠滿足實際電機的控制需求。然而該方法在估計精度和理論分析水平方面仍需進一步提高，以實現更高的控制精度。