基于螺線方程的MCR-WPT 系統線圈設計

吳 昕，何小斌，藍建宇，鄒小雨

（上海空間電源研究所空間電源技術國家重點實驗室，上海 200245）

2007 年6 月，美國麻省理工學院MIT（Massachusetts Institute of Technology）Marin Soljacic 團隊完成了在2 m 距離點亮60 W 燈泡的實驗，傳輸效率達到了40%[1]。自此，磁耦合諧振式無線電能傳輸MCR-WPT（magnetically-coupled resonant wireless power transfer）技術憑借其獨特的優(yōu)勢——高效、傳輸距離遠、傳輸功率大，廣泛應用于電動汽車、電動牙刷、智能手機等電子設備的充電，未來還將擴展到軍事、醫(yī)療、航天等更多領域[2]。

在MCR-WPT 系統中，耦合線圈的設計是系統設計的重要環(huán)節(jié)。合理地對線圈參數進行設計，在滿足不同應用場合尺寸外形需要的同時，保證較高的傳輸效率。目前，最常用的線圈結構為平面螺旋型與空間螺旋型。在線圈所用導線長度相同時，與空間螺旋型相比，平面螺旋型所占空間更小，故而采用的較多[3]。

文獻[4]將平面螺旋線圈近似看作是多匝圓環(huán)線圈之間的串聯，該模型求得的自感、互感公式在線圈匝間距較大時誤差較大；文獻[5]采用平均半徑的概念求得線圈的互感公式，該公式僅在線圈半徑遠小于傳輸距離時較為符合，而實際中線圈半徑與傳輸距離之比不能忽略不計，公式誤差較大；文獻[6]通過大量的仿真分析來求得最優(yōu)的線圈參數，但是沒有得到定量的計算方法；文獻[7]對線圈的品質因數Q 進行了優(yōu)化分析，但沒有考慮系統的傳輸效率。

本文通過阿基米德螺線方程，對平面螺旋線圈的互感、自感和電阻關于線圈內徑、匝間距、匝數、頻率、導線半徑的函數關系進行精確地公式推導，并分析各參數間的影響關系以及對傳輸效率的影響。在給定的限制條件下，通過Matlab 求得最優(yōu)的線圈參數，并用實驗證明所設計方法的正確性。

1 原理與設計

1.1 線圈參數定義

平面螺旋線圈的尺寸可由以下6 個參數確定：線圈內半徑Ra、導線匝間距h、線圈匝數n、導線半徑a、線圈外半徑Rb以及線圈外徑D。上述參數的定義如圖1 所示。

圖1 平面螺旋線圈參數示意Fig.1 Schematic of parameters of planar spiral coil

線圈外半徑Rb以及線圈外徑D 不是獨立的參數，可由參數Ra、h、n、a 表示為

因此，當Ra、h、n、a 確定時，平面螺旋線圈的幾何尺寸被唯一確定。

1.2 線圈互感、自感、電阻分析

1.2.1 線圈互感分析

目前，對于兩線圈之間互感的計算方法，采用較多的計算公式[8]為

式中：Ravg為線圈的平均半徑，Ravg=（Ra+Rb）/2；d 為兩線圈間的距離；n 為兩線圈的匝數；μ0為真空磁導率。

式（2）用圓環(huán)線圈互感的計算方法近似代替螺旋線圈，忽略了螺旋線圈自身的特點，且在d>>Ravg時精度較好，而在Ravg與d 相比不可忽略時精度較差，不利于對線圈互感進行設計。

通過阿基米德螺線方程，可建立空間柱坐標系，對兩平行共軸放置的平面螺旋線圈進行精確的互感公式推導。平面螺旋線圈柱坐標系模型如圖2所示。為了便于計算分析，在推導互感公式的時候，忽略導線的截面積，即看做螺旋線。

圖2 平面螺旋線圈柱坐標系模型Fig.2 Model of planar spiral coil under cylindrical coordinate system

圖2 中：C1、C2代表兩線圈的軌跡 曲線；dl1、dl2為線圈上的弧微元；ρ1、ρ2分別為dl1、dl2與各自中心的距離；θ1、θ2為dl1、dl2與x 軸的夾角；r 為dl1、dl2之間的距離；d 為兩線圈間的軸向距離。

曲線C1、C2滿足阿基米德螺線方程，即

弧微元dl1、dl2分別滿足

可求得dl1與dl2之間的距離為

應用Neumann 互感公式（8），求得互感M 為

從式（9）可以看出，互感M 是關于n、Ra、h 以及d 的四元函數。以下通過COMSOL 仿真驗證式（9）的正確性并分析互感M 與這4 個參數間的關系。

平面螺旋線圈互感M 與n、Ra、h、d 的關系如圖3 所示，圖中實線對應仿真值，虛線對應理論計算值。可以看出，在其他參數不變的情況下，增大n、Ra和h 可以增大線圈互感M，距離d 增大會導致互感M 迅速衰減。由于COMSOL 二維仿真是將平面螺旋線圈當做半徑不同的多匝圓形線圈進行仿真，當匝間距h 較大時，圓環(huán)與螺旋線的近似程度變差，誤差較大。在圖3（a）、（b）、（d）中，理論值與仿真值基本一致，證明了式（9）的正確性。

圖3 平面螺旋線圈互感M 與n、Ra、h、d 的關系Fig.3 Relationship between mutual inductance M of planar spiral coil and n,Ra,h,and d

1.2.2 線圈自感分析

平面螺旋線圈可看做n 個單匝螺旋線圈順序串聯而成，n 匝線圈電流流向相同，磁場相互增強。第k 匝線圈模型如圖4 所示。設第k 匝螺旋線圈中心線為C（k），內輪廓線為Ci（k）。C（k）上存在弧微元dla，Ci（k）上存在弧微元dlb，相應于中心點的距離分別為ρa和ρb，與水平線的夾角分別為θa和θb。單匝線圈自感由內自感Li與外自感Le組成。內自感反映電流在導體內部產生的磁通量，外自感反映電流在導體外部產生的磁通量。

圖4 平面螺旋線圈單匝模型Fig.4 Single-turn model of planar spiral coil

一段長為l、材料磁導率為μ 的長直導線的內自感為

故第k 匝線圈的內自感為

可由Neumann 公式求得第k 匝線圈的外自感為

第k 匝線圈總自感為

另外，可由Neumann 公式求得第i 匝與第j 匝線圈之間互感為

則總的線圈自感[9]為

從式（15）可以看出，線圈自感L 為n、h、Ra和a的四元函數，通過COMSOL 仿真得到自感L 與這4個參數間的關系。

平面螺旋線圈自感L 與n、Ra、h、a 的關系曲線如圖5 所示，圖中實線對應仿真值，虛線對應理論計算值。由圖5 可以看出，增加匝數n、增大線圈內半徑Ra可以增加線圈的自感L，導線半徑a 的增大減小了L，隨著匝間距h 的增大L 先增大后減小。h對理論值與仿真值之差影響較大。

圖5 平面螺旋線圈自感L 與n、Ra、h、a 的關系Fig.5 Relationship between self-inductance L of planar spiral coil and n,Ra,h,and a

1.2.3 線圈電阻分析

假設線圈電阻率為ρ，電導率為σ，導線半徑為a，導線長度為l，系統工作頻率為f，工作角頻率為ω，則可由電阻定律求得直流電阻Rdc為

對于交流電阻Rac，只考慮集膚效應，不考慮鄰近效應。集膚深度δ 為

可以等效地將導線的等效導電面積看做是一個圓環(huán)。等效導電截面積為

應用電阻定律求得交流電阻為

在無線傳能系統中，線圈通過的是交流電，因此只須考慮交流電阻Rac。從式（19）可以看出，隨著n、h、Ra、ω 的增大以及a 的減小，線圈交流電阻Rac增大。

1.3 線圈傳輸效率分析

MCR-WPT 系統等效電路如圖6 所示。圖6 中，Us為輸入電壓源，Rs為輸入電壓源內阻，R1為原邊等效電阻，C1為原邊補償電容，L1為發(fā)射線圈自感，L2為接收線圈自感，C2為副邊補償電容，R2為副邊等效電阻，M 為兩線圈間的互感，RL為負載電阻。設原邊電流為I1，副邊電流為I2，系統傳輸效率為η。

分別對2 個回路列寫基爾霍夫電壓方程KVL（Kirchhoff voltage law），即

求解得到I1與I2為

可以求得系統的傳輸效率η 為

令R1=R2=R，Rs=0，將式（23）代入式（22），求得系統的最優(yōu)效率為

式中：M=M（n，h，Ra，d）；R=Rac（n，h，Ra，a，ω）。故最優(yōu)效率ηmax為n、h、Ra、a、d、ω 的函數，通過對6 個參數進行合理地設計，可以獲得最優(yōu)的傳輸效率。

1.4 線圈參數設計

1.4.1 約束條件限定

經過以上的理論推導與分析可知，平面螺旋線圈的互感M（n，h，Ra，d）、自感L（n，h，Ra，a）、電阻Rac（n，h，Ra，a，ω）與線圈的匝數n、匝間距h、線圈內半徑Ra、導線半徑a、傳輸距離d、工作頻率ω這6 個參數有關。過多的參數對線圈設計造成了困難。為了達到降維的目的，作以下限制。

（1）鄰近效應。為了削弱鄰近效應對線圈電阻的影響，通常取h≥4a，使得相鄰導線間的磁場相互作用減弱。

（2）線圈外徑的限制。在設計線圈的時候，通常需要將線圈尺寸輪廓進行固定，進而平面螺旋線圈的外徑D 應滿足小于給定的最大外徑D*。

（3）給定傳輸距離。在特定的無線電能傳輸場合，可以保證發(fā)射接收線圈正對且距離不變。固定傳輸距離d=d*。

（4）確定導線半徑。根據系統的最大載流選擇合適的導線，導線過細會導致較大的電阻，導線較粗雖能保證較小的電阻但會使得線圈體積重量大幅增加。故取a=a*。

（5）給定工作頻率。通過線圈傳輸效率的公式推導可以看出，頻率越高，線圈傳輸效率均隨之提高。但實際將線圈接入功率變換電路中，功率開關管的開關損耗隨著工作頻率的升高而升高，因此，工作頻率不能無限制地增大，需要取較為合適的折中值，給定工作頻率f=f*。

綜上所述，可以得約束條件

由此，根據約束條件，將線圈傳輸效率作為優(yōu)化目標，可以求出最優(yōu)的（n，Ra）組合（h 可由n、Ra得出）。

1.4.2 最優(yōu)參數求解

取導線半徑a*為1.5 mm，線圈外徑D*為30 cm，交流頻率f*為150 kHz。通過MATLAB 繪制出線圈最優(yōu)傳輸效率ηmax與匝數n、線圈內半徑Ra的關系曲線，如圖7 所示。線圈最優(yōu)設計參數如表1所示，對應最優(yōu)效率為0.980 5。

圖7 線圈最優(yōu)效率ηmax 與n、Ra 關系Fig.7 Relationship among coil’s optimal efficiency ηmax,n,and Ra

表1 最優(yōu)線圈設計參數Tab.1 Optimal design parameters of coil

2 實驗驗證

根據第1.4.2 節(jié)中求得的參數進行線圈繞制，并搭建如圖8 所示的樣機，原邊采用全橋逆變，副邊采用二極管不控整流。電路原理如圖9 所示，設系統傳輸效率為ηs，線圈級效率（包括諧振電容）為ηc。

圖8 實驗樣機Fig.8 Experimental prototype

圖9 實驗系統結構Fig.9 Structure of experimental system

通過LCR 測試儀測得線圈參數如表2 所示。表2 中，L1、R1分別為發(fā)射線圈的自感及直流電阻，L2、R2分別為接收線圈的自感及直流電阻，M 為發(fā)射接收線圈之間的互感。比較理論值與實際值可以看出，理論與實際基本一致，自感誤差在0.84 μH 以內，互感誤差在1.3 μH 以內。

表2 線圈參數測量值Tab.2 Measurement values of coil parameters

將2 個10 nF/2 000 V 的無感吸收薄膜電容并聯作為諧振電容，實際諧振頻率為144 kHz 左右，測得系統原邊逆變輸出電壓電流及副邊整流輸入電壓電流波形如圖10 所示。

圖10 實驗波形Fig.10 Experimental waveforms

實驗測得線圈級（包括諧振電容）傳輸效率ηc與系統傳輸效率ηs隨負載RL變化關系曲線，如圖11 所示。在負載為7 Ω 時，ηc最高，為0.950 7；在負載為17 Ω 時，ηs最高，為0.904 0。考慮到諧振電容等效串聯電阻ESR（equivalent series resistance）相對于線圈本身電阻不可忽略，實際的線圈級效率要大于0.950 7。

圖11 線圈級（包括諧振電容）ηc、系統效率ηs 與負載RL 關系曲線Fig.11 Curves of coil-level（including resonant capacitor）efficiency ηc and system efficiency ηs versus load RL

3 結語

本文通過阿基米德螺線方程，對以往采用較多的線圈互感、自感、電阻計算方法進行了改進，得到了更為精確的計算方法，并通過COMSOL 對理論計算結果進行了仿真驗證。在匝間距較小的情況下，自感、互感的理論與仿真誤差在5%以內。給定相應的限定條件，通過Matlab 求得使線圈傳輸效率達到最優(yōu)值時的匝數及內半徑。最后，繞制最優(yōu)化設計的平面螺旋線圈，并通過實驗測得線圈的自感誤差在0.84 μH 以內，互感誤差在1.3 μH 以內，測得線圈級（包括諧振電容）最優(yōu)傳輸效率超過了95%。