中學數學教學中的質變與量變

高涵 趙華新

摘 要：文章首先就哲學與數學的關系進行討論，然后引入哲學中具體的質變量變進行研究，指出在中學數學中質變量變的體現以及如何更好地將質變量變方法融合應用到中學數學教學當中。

關鍵詞：哲學;量變質變;中學數學

基金項目：延安大學研究生教育教學改革項目（項目編號：YDYJG20190033）。

時代的飛速發展使得人們愈來愈看重知識的學習以及創新，數學中具有濃厚的哲學色彩，包含著豐富的哲學思想，如整體與部分、數形結合、抽象與具體、特殊與一般。數學與哲學密切相關，在中學的數學教學過程中，如何把握好數學和哲學的關系，對我們的教學顯得尤為重要。

很多時候，數學與哲學是密不可分的，很多數學著作中體現出了哲學思想，同時很多哲學著作中也體現出了數學的思想。從古至今，有很多著名的數學家同時也是當時很有影響力的哲學家，他們不光研究數學，也研究哲學。比如馬克思、恩格斯不僅確立了馬克思的哲學思想，而且他們對數學的研究和發展也起到了重要的指導和推動作用。他們也直接研究過數學，在辯證法的研究中，他們直接考察了無窮小量[1]。

恩格斯還說過：“數學，是辯證的輔助工具和表現形式。”[2]可見哲學和數學，它們自誕生之日起就結下了不解之緣。哲學是研究世界上一切事物（當然也包括數學）普遍規律的學科，當哲學的研究方向指向數學領域之時，往往會發現數學研究所不能發現的規律。當人們無法用數學實現對事物的本質理解的時候，哲學往往具有很強的預見效果。這種理解常常指導人們，使人們能夠正確地把握未來數學的發展方向。這里我們著重談論哲學中唯物辯證法里的質變與量變問題。

一、質量互變規律在中學教材中的體現

物質辯證法認為，在事物內部矛盾的影響下，事物的發展有兩種基本的變化形式：量變和質變。事物的發展始于量變，量變會導致質變。自然在變化，舊的事物變成新的事物 [3]，這是量變向質變的轉化，基于新的質量，新的量變已經開始。量變帶來質變，質變又帶來新的量變，周而復始，無限循環，形成事物無限發展的過程。在中學數學的教學中，我們要善于運用這一規律，發現數學所體現的概念和定理，然后在課堂上有意識地培養學生的這種辯證思維。

在數學中，在純量增加或減少到某個節點的情況下，就會出現從量變到質變的跳躍，這樣的事例在中學數學中有不少體現。例如，在同學們學習數軸時，我們可以把0看作一個節點，它是唯一的中性數，越過這一點，數的領域將成為它的對立域。不僅在代數中如此，在幾何中也是如此：圖形中某種數量關系的變化會導致某一點的質變。在幾何里，我們給定一個正方形，我們把正方形本身的性質看成一個節點，只要將其一組對邊的長增加（或減少）一個任意小的長度，它的許多獨特的性質立即被破壞或喪失，即也就是圖形的性質起了質的變化。

我們在學習幾何的時候，從二維向量到三維向量，甚至更多維向量，由于維數的增加，導致由量變引起了質變，使得平面變成了空間，甚至變成了更為抽象的“體”的概念，從而也就有了我們在認識立體圖形的時候，在空間里要學會畫出的圖形的主視圖、左視圖和俯視圖。

正如自然界中的變化是一個量變與質變不斷積累的過程，量從量變到質變的轉變是對變化過程本身的繼承，在質變之后，又開始了新一輪的量變。在這種情況下，每次在某個時間點的所有更改都是基于先前的更改而開發的。像我們在中學數學解題時，我們最先講解一道題簡單的解法，隨著知識層面的增加，到了一定的質點我們就可以引申出更加簡單快捷高效的解題方法來進行求解，而往往這些解題方法也是大多數學生在求解數學問題時所要進行學習的。

二、質量互變規律在數學教學中的作用

量變質變規律我們最終都要在中學數學教學的課堂上實戰應用，而此哲學規律又起著引導學生思維的重要作用。

（一）有利于形成清晰的數學概念

實際上，數學理論的教育過程是從量變到質變的過程，學生的學習過程也是從量變到質變的積累過程，相較于中學數學來說，學生容易對一些概念定理理解不清楚。比如從認識正數到逐步認識正分數、認識零，再逐步認識復數，在這一概念的認識過程中，數的大小變化就是量變。作為對數字、數學接觸多的成人來說，數的大小變化很自然，而作為中學生從認識直觀可數的數，到認識“看不見”“不存在”的數，再到逐步認識負數的意義，認識負數的性質，是質變。這整個過程，也正是由質變到量變的過程。

（二）有利于提升學生的數學解題能力

人們常說，實際上學習數學的目的就是“解決問題”，而解決問題的關鍵就是要找到合適的解決問題的思路。數學思維方法就是幫助構建解決問題思路的指導原則，對此，讓學生掌握一些基本的思維方法，提高他們的元認知水平，是培養學生分析問題能力和解決問題能力的重要途徑。例如在學習“角度”這一章節時，我們可以把90。的角度看成一個變化的節點，構造了這一思路之后，我們在學習銳角與鈍角時，我們就說小于90。的角為銳角，大于90。的角為鈍角。同學們把握清楚90。的角的概念之后，再進行引申學習銳角和鈍角的概念。

再者我們在學習多邊形的內角和這一節內容時，我們最開始學習的是三角形內角和，有了三角形內角和的知識之后，我們再對圖形進行變化，把最開始三角形內角和為180。看成一個質的節點，對于多邊形按照節點進行分割，看可以分成幾個三角形，然后再乘以180。就是多邊形的內角和了。

（三）有利于培養學生的數學思維能力

在學習“經過一點可以做多少條直線”這一節，定義是經過一點可以作無數條直線，而經過兩點，卻只能作唯一的一條直線。我們可以引申：經過三個點，甚至更多的點呢？這樣可以鍛煉同學們的數學思維，即它可能作出唯一的一條直線，也可能作不出任何一條直線。再有圓規作圖時，我們說經過一點或兩點，可以作出無數個圓，而經過不共線的三點，卻只能作出唯一的一個圓。這里，點的個數變化就是量變，而能否作出唯一的一個圓卻是質變。也就是說，可以以在數學課程中慢慢滲透質量互變的理念，讓學生的分析和解決問題的基本能力有一個質的飛躍。

（四）有助于激發學生數學學習的濃厚興趣

大多數學生學習數學時，總感覺數學枯燥乏味，這大大降低了他們對于數學學習的興趣，而質量互變在于引導學生發現其中質和量的點，能夠變枯燥為有趣，從而讓學生發現數學的魅力，增加他們對數學知識探索的興趣，化抽象為簡單，這樣也可以大大提高學生們的成績。質變量變方法進行教學的關鍵在于從最簡單的節點出發，然后進行引申擴展，從一個點到多個點，從一種解題方法到另一種解題方法，激發學生對數學的探索求知精神，從而更加喜歡數學。

當然，在數學課中引入哲學思想時，教師應該首先要精心設計和有機結合知識，更重要的是有意識地、巧妙地啟發學生理解數學的各種定理和哲學思想，不要只是機械地使用它，比如一些數學解題思路學生習慣死記硬背，稍微改變一下題目形式學生往往容易出錯。數學思想方法的教學不僅體現在教材中，也體現在教師教學的課堂上，希望在此基礎上，教師繼續對數學思想的有效教學進行不斷探索，能靈活運用哲學思想于我們的教學中才是我們的最終目的。

參考文獻

[1]董毅.淺論數學與哲學的緊密聯系[J].合肥教育學院學報，2002，18（02）：15-16.

[2]張景中.數學與哲學[M].大連：大連理工大學出版社，2008.

[3]趙冬，丁黎明.哲學思想在數學教學中的應用[J].淮北職業技術學院學報，2014，13（6）：61-62.