需求與研發(fā)水平不確定下Stackelberg 博弈研發(fā)投資決策

謝祥添

(廣東金融學院科技金融重點實驗室，廣東廣州 510521)

隨著市場競爭的加劇，企業(yè)的競爭已經(jīng)從產(chǎn)品延伸至研發(fā)［1-2］。研發(fā)不僅能為企業(yè)提供新的收入增長點，還可以提升企業(yè)的競爭力，成為企業(yè)贏得競爭優(yōu)勢的重要手段，此外研發(fā)還有溢出效應，推動社會的進步。研發(fā)具有長期性、創(chuàng)造性和新穎性，需要企業(yè)持續(xù)投入大量的人力和物力。因而，研發(fā)投資成為企業(yè)戰(zhàn)略的重要組成部分。在競爭環(huán)境下，提前研發(fā)投資會失去未來不確定性的期權價值，特別是需求不確定性的期權價值［3-5］，推遲則會由于競爭者搶先研發(fā)投資而失去“先占優(yōu)勢”［6-8］，甚至是競爭者搶先研發(fā)投資的研發(fā)成果（如專利）排他性而失去整個市場［9-10］。研發(fā)投資時機成為企業(yè)要解決的問題，而解決這個問題的方法是期權博弈。期權博弈結合實物期權和博弈論的優(yōu)點，實物期權具有不可逆性、不確定性以及柔性的特點，解決期權價值問題，博弈論則充分考慮競爭的相互作用，解決策略選擇問題。因此，期權博弈適合在競爭環(huán)境下的研發(fā)投資［11］。

對于運用期權博弈研究研發(fā)投資問題，最近十幾年受到眾多學者的關注。最早建立期權博弈模型的是Smets［12］，他指出在雙寡頭壟斷條件下，非合作行為會導致不對稱的領先者與追隨者均衡。Dixit等［13］309，Huisman 等［14］6分別對Smets［12］模型進行了擴展。其中，Dixit 等［13］313-314討論了領先者與追隨者內(nèi)生（不指定誰是領先者，誰是追隨者）和外生（預先設定誰是領先者，誰是追隨者）兩種情況，提出在內(nèi)生情況下，每個企業(yè)都會搶先投資爭取成為領先者，而在外生情況下，在領先者投資之前，追隨者不應投資。Huisman 等［14］2指出雙寡頭競爭有3 種情景：搶先均衡，共同均衡，以及當不確定性較低，以搶先均衡為主；當不確定性較高，則以帕累托均衡為主。以上研究的是連續(xù)期權博弈，也有部分學者研究了離散期權博弈。如，Smit 等［15］建立一個離散期權博弈研發(fā)投資模型，指出在完全競爭下，由于競爭者進入導致項目價值損失，企業(yè)選擇提前研發(fā)投資；在完全壟斷下，企業(yè)傾向于推遲研發(fā)投資；而寡頭壟斷介于這兩個極端之間，當市場需求不確定時，企業(yè)推遲研發(fā)投資，當競爭激烈時，企業(yè)搶先研發(fā)投資。接著，Smit［16］基于Smit等［15］的研究分析了歐洲機場的擴建，提出擁有更好基礎設施和更小發(fā)展阻力的機場具有更好的增長期權，因而能從競爭中獲勝。

研發(fā)投資除了與普通投資需要面對市場不確定性外，還需要面對技術不確定性。最近關于這方面的研究逐漸增多。如，Cassimon 等［17］，Pennings 等［18］考慮市場與技術不確定性，采用歐式復合期權方法研究了藥物研發(fā)投資。Leung 等［19］考慮開發(fā)新產(chǎn)品時市場和技術不確定性，采用期權博弈研究了現(xiàn)有企業(yè)和進入企業(yè)的不對稱競爭戰(zhàn)略均衡，得到了3種馬爾可夫鏈均衡（序貫均衡，搶先均衡和同時均衡）。Nishihara［20］考慮市場、技術和搶先不確定性，建立了一個研發(fā)投資評估和優(yōu)化模型，通過對模型的敏感性分析得出：企業(yè)隨著自身研發(fā)水平提高而提前研發(fā)投資，研發(fā)時間不確定性會導致競爭者搶先研發(fā)投資。本研究除了分析自身研發(fā)水平對研發(fā)投資的影響外，還分析了競爭者研發(fā)水平對研發(fā)投資的影響，指出企業(yè)會隨著競爭者研發(fā)水平的提高而推遲研發(fā)投資。國內(nèi)關于技術不確定研發(fā)投資的文獻有雷星暉等［21］、孫艷梅等［22］以及曹博洋等［23］。其中，曹博洋等［23］利用歐式復合期權理論，建立研發(fā)項目投資決策數(shù)學模型，得到納什均衡下的最優(yōu)研發(fā)投資決策。雷星暉和李來俊［21］采用期權博弈分析了兩家實力均衡的企業(yè)在進行研發(fā)投資決策時采取的策略，給出了不同策略下最優(yōu)研發(fā)投資時機。孫艷梅等［22］在技術不確定環(huán)境下，構建研發(fā)水平和投資成本均不對稱的雙寡頭期權博弈模型，得到3 種投資均衡（序貫均衡，搶先均衡和同時均衡），提出企業(yè)隨著自身研發(fā)水平的提高將提前投資，隨著競爭者的研發(fā)水平增加而推遲投資。上述文獻測量研發(fā)技術不確定性，主要通過研發(fā)時間表示，但是在實踐中研發(fā)時間難以測算。因此，本研究通過研發(fā)成功率表示，同時假設研發(fā)成功率服從泊松分布，并且考慮競爭者研發(fā)成功對需求的影響，構建了需求服從帶隨機跳躍的幾何布朗運動。

以上文獻假設研發(fā)項目未來收益固定或服從一定的分布，博弈焦點為研發(fā)投資的時機。在實際中，有相當一部分行業(yè)（例如醫(yī)藥行業(yè)，兩家企業(yè)同時對某一治療功能相同的藥物進行研發(fā)，兩家企業(yè)相繼研發(fā)成功后，還需要把研發(fā)成果轉(zhuǎn)化為產(chǎn)品出售，其中生產(chǎn)多少也會博弈）的博弈還會延伸至研發(fā)產(chǎn)品的產(chǎn)量博弈。產(chǎn)量博弈主要有Cournot duopoly 博弈和Stackelberg 博弈。Smit 等［24］考慮市場需求不確定，研究了Cournot duopoly 博弈期權投資決策，給出了領先者與追隨者的投資閾值。與該文獻不同，本研究預先設定領先者與追隨者角色，所以采用Stackelberg 博弈，研究不僅給出了投資閾值，還給出了Stackelberg 博弈均衡。

綜上，本研究的貢獻在于將投資博弈延伸至研發(fā)產(chǎn)品產(chǎn)量博弈，運用Stackelberg 博弈理論構建了領先者與追隨者研發(fā)產(chǎn)品產(chǎn)量函數(shù)，在此基礎上，考慮需求與研發(fā)水平不確定性，以及研發(fā)競爭，運用期權博弈理論建立領先者與追隨者研發(fā)投資決策模型，通過模型的分析得出了搶先均衡和序貫均衡，同時，分析了需求波動、研發(fā)水平和競爭者研發(fā)成功致使自身需求下降對研發(fā)投資決策的影響，這些研究有助于企業(yè)在競爭環(huán)境下研發(fā)投資決策。

1 模型的建立

1.1 基本假設

假設1：考慮有兩家企業(yè)分別對同質(zhì)產(chǎn)品項目進行研發(fā)投資，投資成本為I，假設單位成本低的為領先者，該成本設為ci,單位成本高的為追隨者，該成本設為cj。（該假設符合大部分實際情況，領先者通常生產(chǎn)效率較高或者生產(chǎn)規(guī)模較大，最終表現(xiàn)為較低的單位成本）。

假設2：領先者與追隨者的平均研發(fā)成功率分別為λi和λj，它們都服從泊松分布。

假設3：領先者與追隨者之間的生產(chǎn)競爭為Stackelberg 博弈，領先者根據(jù)追隨者最優(yōu)產(chǎn)量反應函數(shù)決定產(chǎn)量Qi，追隨者根據(jù)領先者產(chǎn)出決定產(chǎn)量Qj。

假設4：考慮價格隨需求的增加而增加，隨產(chǎn)量的增加而減少，構建價格關于產(chǎn)量函數(shù)：

其中，Q為總產(chǎn)量，它等于Qi+Qj。η 為價格關于產(chǎn)量的敏感性系數(shù)。在不對研究結論產(chǎn)生影響前提下，為了簡便，設η=1。Y為需求，它服從帶跳躍的幾何布朗運動，其表達式為：

其中，(k=i,n=j)表示領先者需求波動，(k=j,n=i)為追隨者需求波動，等式右邊前兩項表示需求變化服從幾何布朗運動，α是需求增長率,σ是需求波動率,dz是服從均值為零，標準差為(dt)1/2 的標準維納運動。第3 項表示競爭者研發(fā)成功對自身需求的影響，φ是下降幅度，dqn是研發(fā)平均成功率為λn的泊松過程增量：

1.2 產(chǎn)量Stackelberg 博弈模型

當領先者與追隨者的產(chǎn)量分別為Qi和Qj時，領先者與追隨者的利潤函數(shù)為：

對式(4)求關于Qi一次導數(shù)為0，可得領先者的最優(yōu)產(chǎn)量反應函數(shù)：

同理，可得追隨者的最優(yōu)產(chǎn)量反應函數(shù)：

根據(jù)Stackelberg 博弈，把式（7）代入式（4）可求解出領先者的最優(yōu)產(chǎn)量和最優(yōu)利潤分別為：

因為領先者的研發(fā)平均成功率為λi，服從泊松分布，所以其最優(yōu)期望利潤為：

把Qi*代入式(5)可求解出追隨者的最優(yōu)產(chǎn)量和最優(yōu)利潤分別為：

同理，可得追隨者的最優(yōu)期望利潤為：

此外，若領先者先研發(fā)投資，那么將得到追隨者未投資的壟斷利潤為：Πi(Qi,Qj=0)=［Y/(Qi)-ci］Qi=Y-ciQi。假設至少生產(chǎn)一個產(chǎn)品，所以此時領先者的最優(yōu)期望利潤為：

1.3 追隨者投資決策模型

Stackelberg 博弈，采用逆向求解，假設領先者已投資，企業(yè)在風險中性環(huán)境下，設無風險利率r(r〉α)為貼現(xiàn)因子，設YF為追隨者投資臨界值。當Y≤YF時，追隨者價值滿足最優(yōu)貝爾曼方程：

根據(jù)式(2)，以及結合伊藤引理,可得：

解式（16）可得F(Y)的形式：

把式（17）代入式（16）可得β1j和β2j滿足以下方程：

因為Gj(0)=-r〈0，Gj(1)=α-r-λiφ〈0 和Gj(-∞)=∞，Gj(∞)=∞，所以存在一個小于0 的負根和一個大于1的正根。又因為F(0)=0，設β1j為正根，所以有：

當Y≥YF時，追隨者會立即投資，這時產(chǎn)生一個永續(xù)的期望現(xiàn)金流（式(13)）：λjY(2ci-cj)2/ (4ci2)，根據(jù)式（2）可知，追隨者期望需求變動率為E［dY］/(Yjdt)=α-λiφ，所以追隨者投資后的價值為：

當Y=YF時，存在值相等和一階平滑粘貼條件（式（20）兩邊同時對Y求導后，令Y=YF）：

根據(jù)式（21）和式（22）可求解出兩個未知數(shù)A1和YF，所以追隨者價值為：

其中，追隨者投資臨界值為：

1.4 領先者投資決策模型

當Y≥YF時，領先者已投資，項目產(chǎn)生一個永續(xù)的期望現(xiàn)金流（式(10)）：λiYcj/(4ci)，根據(jù)式(2)可知，領先者期望需求變動率為E［dYi］/(Yidt)=α-λjφ，所以領先者的價值為：

當Y≤YF時，假設領先者已投資，追隨者一直等待，直至Y=YF，所以領先者的價值由追隨者未投資的壟斷最優(yōu)期望利潤流λi(Y-ci)和追隨者投資后的最優(yōu)期望利潤流λiYFcj/(4ci)兩部分構成，所以有：

所以領先者價值為：

領先者雖然先投資可以取得壟斷收入，但要承受投資成本，當初始需求較小時，得到的利潤流很小，所以有L(Y)〈F(Y)，領先者一直等待，直至L(Y)=F(Y)才投資，設該點值為YL，當L(Y)〉F(Y)，領先者將會搶先投資。所以有：

設λi1為L(Y)與F(Y)的相切點對應的λi，則它滿足以下方程組：

若追隨者已知，則領先者的研發(fā)水平λi的投資決策為：

其中，λj1為L(Y)與F(Y)的相切點對應的λj。這時的博弈均衡為：當λj≥λj1時，序貫均衡；當λj〈λj1時，搶先均衡。博弈均衡分析與下文類似，略。

因為Y≤YF，L(Y)為凹函數(shù)，F(xiàn)(Y)為凸函數(shù)，所以當λi≤λi1時，L(Y)≤F(Y)，領先者不會搶先投資，其投資過程與追隨者相似。所以，當L(Y)≤F(Y)時，它的價值和投資臨界值為（與上文追隨者價值求解相似，略）：

2 均衡分析

根據(jù)上文領先者投資行為分析可知，領先者與追隨者之間的投資博弈存在兩種均衡：搶先均衡（包含同時均衡，部分文獻稱之為混合搶先均衡，本研究簡稱搶先均衡）和序貫均衡。

（1）序貫均衡。當λi≤λi1時，領先者的投資臨界值為YL1，追隨者的投資臨界值為YF。

（2）搶先均衡。在討論搶先均衡前，先確定搶先均衡區(qū)間以及對應的條件。因為在Y≤YF，L(Y)為凹函數(shù)，F(xiàn)(Y)為凸函數(shù)，所以當λi〉λi1時，L(Y)與F(Y)有兩個交點，設較大的點為YM。

當Y=YF時，L(YF)=λiYFcj/［4ci(r-α+λjφ)］，F(xiàn)(YF)=λjYF(2ci-cj)2/［4ci2(r-α+λiφ)］，那么L(YF) ≥F(YF)，YM≥YF，與Y〈YF矛盾，所以當λi〉λi2時的搶先均衡區(qū)域為［YL,YF)。根據(jù)L(YF)≥F(YF)可得λi≥λi2，λi2為以下二次方程的正根：

另外，當λi1〈λi〈λi2時，搶先均衡區(qū)間為［YL,YM］。所以，搶先均衡區(qū)域以及對應的條件為：

當λi1〈λi〈λi2時，搶先均衡區(qū)間為［YL,YM］；

當λi≥λi2時，搶先均衡區(qū)間為［YL,YF)。

在搶先均衡區(qū)間內(nèi)，領先者的價值大于追隨者價值，企業(yè)有動力成為領先者，所以存在兩個企業(yè)同時投資的同時均衡，根據(jù)文獻［14］15-16，在搶先均衡區(qū)間，某一企業(yè)投資的概率為：

其中，J(Y)=λiYcj/［4ci(r-α+λjφ)］-I。

那么，只有一個企業(yè)投資的概率滿足：Pr(one)=P(1-P)+(1-P)(1-P)Pr(one)，所以有：

兩個企業(yè)同時投資的概率為：

綜上，搶先均衡為：

1）當λi≥λi2時，Y在［YL,YF)范圍，領先者的價值大于等于追隨者價值，企業(yè)有動力成為領先者，企業(yè)以Pr(one)概率在［YL,YF)投資成為領先者，另一個企業(yè)則等待Y=YF才投資。同時，也存在兩個企業(yè)以Pr(two)概率在［YL,YF)同時投資，這時兩個企業(yè)得到的價值都是各自較低的價值，是“錯誤”的決策。另外，若需求在兩個企業(yè)沒有投資之前已經(jīng)大于等于YF，那么這兩個企業(yè)會以100%的概率立即投資。

2）當λi1〈λi〈λi2時，搶先均衡除了Y的范圍［YL,YM］與（a）的Y范圍不同外，其他相同，略。

以上兩種均衡可以通過圖1，圖2 和圖3 來示意。圖1 表明：領先者的研發(fā)平均成功率大于等于λi2，企業(yè)在［YL,YF)范圍有動力成為領先者。圖2表明：領先者的研發(fā)平均成功率在(λi1,λi2)范圍，L(Y)與F(Y)的兩個交點，企業(yè)在［YL,YM］范圍有動力成為領先者，以上兩種情景為搶先均衡。圖3 表明：領先者的研發(fā)平均成功率小于等于λi1，領先者應該在需求大于等于YL1才投資，追隨者應該在需求大于等于YF才投資，該情景為序貫均衡。

圖1 L(Y)，F(xiàn)(Y)與Y 關系（λi ≥λi2）

圖2 L(Y)，F(xiàn)(Y)與Y 關系（λi1＜λi＜λi2）

圖3 L(Y)，L1(Y)，F(xiàn)(Y)與Y 關系（λi ≤λi1）

3 敏感性分析

3.1 市場需求波動分析

設α=0.015，r=0.02，I=10，ci=0.12，cj=0.15，λi=0.9，λj=0.9，φ=1。

根據(jù)式(24)和式(29)作YF，YL與σ關系圖，如圖4 所示。從圖4 可知，YF和YL隨著σ的增加而增加，YF增加更明顯，這說明需求波動的增加會導致領先者和追隨者推遲研發(fā)投資，且需求波動對追隨者研發(fā)投資的影響更明顯。

圖4 YF，YL 與σ 關系

3.2 研發(fā)水平分析

設α=0.015，σ=0.2，r=0.02，I=10，ci=0.12，cj=0.15，φ=1。

（1）當λj=0.9 時，根 據(jù) 式(24)，式(29)，式(30) 和式(33)可作YF，YL1，YL與λi關系圖，如圖5 所示。從圖5 可知，YF隨著λi的增加而增加，當λi≤0.42，YL1隨著λi的增加而減少，當λi〉0.42，YL隨著λi的增加而減少。這說明隨著領先者研發(fā)水平的提高，追隨者推遲研發(fā)投資，領先者提前研發(fā)投資。

圖5 YF，YL1，YL 與λi 關系

（2）當λi=0.3 時，根據(jù)式(24)，式(29) 式(31)和式(33)可作YF，YL1，YL與λj關系圖，如圖6 所示。從圖6 可知，YF隨著λj的增加而減少，當λj≥0.62，YL1隨著λj的增加而增加，當λj〈0.62，YL隨著λj的增加而增加。這說明隨著追隨者研發(fā)水平的提高，追隨者提前研發(fā)投資，領先者推遲研發(fā)投資。

圖6 YF，YL1，YL 與λj 關系

3.3 競爭者研發(fā)成功致使自身需求下降分析

設α=0.015，σ=0.2，r=0.02，I=10，ci=0.12，cj=0.15，λi=0.5，λj=0.8。

根據(jù)式(24)和式(29)作YF，YL與φ關系圖，如圖7 所示。從圖7 可知，YF和YL隨著φ的增加而增加，這說明競爭者研發(fā)成功致使自身需求下降幅度的增加而推遲研發(fā)投資。

圖7 YF，YL 與φ 關系

綜上可知：領先者與追隨者隨著需求波動的增加，競爭者研發(fā)成功導致自身需求下降幅度的增加，競爭者研發(fā)水平的提高而推遲研發(fā)投資，隨著自身研發(fā)水平的提高而提前研發(fā)投資。

4 算例

某新材料股份有限公司A 是一家集研發(fā)、制造、銷售于一體的鋁型材制造商，它在“高、精、尖”特種鋁型材制造方面處于行業(yè)領先地位。現(xiàn)有一種設備，需要新型的特種鋁材，特種鋁材研發(fā)投資成本為1 千萬，預計需求服從增長率為0.015，波動率為0.2 為的幾何布朗運動。A 企業(yè)計劃對此進行研發(fā)投資，產(chǎn)品單位成本為12 萬/t。同時，其主要競爭者B 企業(yè)也計劃對此進行研發(fā)投資，B 企業(yè)的產(chǎn)品單位成本為15 萬/t，研發(fā)平均成功率為80%，服從泊松分布。

在風險中性環(huán)境下，當無風險利率為0.02，競爭者研發(fā)成功致使自身需求下降幅度為100%時。問：（1）若A 企業(yè)的研發(fā)平均成功率服從泊松分布，那么它大于多少，A 企業(yè)搶先研發(fā)投資？（2）若A 企業(yè)的研發(fā)平均成功率為50%，服從泊松分布，則A企業(yè)和B 企業(yè)應該如何研發(fā)投資？

依題意有：α=0.015，σ=0.2，r=0.02，I=10百萬，ci=0.12 百萬/t，cj=0.15 百萬/t，φ=1，λj=0.8。

（1）把相關數(shù)據(jù)代入方程組(30)可得切點為(40.90,0.30)，即λi1=0.30，所以只要A 企業(yè)的研發(fā)平均成功率大于0.30，那么A 企業(yè)搶先研發(fā)投資。

（2）因為λi=0.5〉0.30，把相關數(shù)據(jù)代入式(29)，可得YL=20.992t，因此，A 企業(yè)應該在需求等于20.992t 時研發(fā)投資。對于B 企業(yè)，把相關數(shù)據(jù)代入式(24)，可得YF=54.685t，所以，B 企業(yè)在需求等于54.685t 時研發(fā)投資。

為了進一步弄清A 企業(yè)和B 企業(yè)的研發(fā)投資決策過程，把相關數(shù)據(jù)代入式(23)和式(28)可得A 企業(yè)價值和B 企業(yè)價值與需求的關系，如圖8 所示。從圖8 可知，當Y在［0,20.975)時，A 企業(yè)價值小于0，當Y=YL=20.992t 時，A 企業(yè)應該研發(fā)投資，當Y=YF=54.685t 時，B 企業(yè)才研發(fā)投資。

圖8 L(Y)，F(xiàn)(Y)與Y 關系

5 結論與展望

5.1 結論

研發(fā)投資是企業(yè)戰(zhàn)略的重要組成部分。本研究考慮需求與研發(fā)水平不確定性，以及研發(fā)競爭，運用期權博弈建立研發(fā)投資決策模型，通過模型的分析得出：（1）當領先者的平均研發(fā)成功率高于兩者期權相切對應的成功率，搶先均衡；否則，序貫均衡；（2）企業(yè)隨著需求波動的增加，競爭者研發(fā)水平的提高或競爭者研發(fā)成功致使自身需求下降幅度的增加而推遲研發(fā)投資，隨著自身研發(fā)水平的提高而提前研發(fā)投資。此外，根據(jù)實際情況，本研究不僅考慮研發(fā)投資博弈，還進一步延伸至研發(fā)產(chǎn)品產(chǎn)量博弈，擴展了研發(fā)投資決策的視角。

5.2 啟示

本研究根據(jù)結論提出以下建議：（1）企業(yè)若想獲取搶先投資的壟斷利潤，可以通過提高研發(fā)成功率；（2）企業(yè)應該關注影響研發(fā)投資決策的兩個重要因素：需求的變化和研發(fā)水平。

5.3 不足和未來研究方向

本研究雖然以成本的高低預先設定領先者與追隨者的角色符合大部分情況，但是當領先者與追隨者實力相差不大時，領先者與追隨者的角色可能因其他一些細微的變化而發(fā)生改變。研究角色變動的研發(fā)投資問題需要運用動態(tài)博弈理論。因此，動態(tài)博弈研發(fā)投資是未來研究的方向。