利用數學課本思考題為學生思維生長賦能

江蘇省淮安市外國語實驗小學 孫春育

數學課本中編排的思考題思維難度相對較大、挑戰性較強，在培養學生思維方面具有十分重要的價值，是學生思維素養培育的重要載體。但經調查發現，大部分教師對思考題的重視程度不足，對如何利用思考題資源培養學生思維能力關注不夠，更鮮有教師去研究編者的編寫意圖及其背后蘊含的數學思想方法。鄭毓信在《新數學教育哲學》一書中指出，與單純強調“問題解決”相比，我們更應該明確提出如下主張：“求取解答并繼續前進。”發展學生的思維，教學不能止步于單一的問題解決，應該有更多的思考與嘗試。

下面，我將以蘇教版五年級數學下冊課本R101、R104兩道思考題的教學為例，談談如何培養學生的思維能力。

課本R101思考題（如圖1）：圖中正方形的面積是8平方厘米，你能算出涂色部分的面積嗎？

課本R104思考題（如圖2）：圖中正方形的面積是10平方厘米。圓的面積是多少平方厘米？

圖2

一、舊題復習

出示五年級數學上冊一道練習題：用35米長的籬笆，在靠墻的地方圍一塊菜地（如圖3），高是10米。這塊菜地的面積是多少平方米？

圖3

學生思考片刻給出答案：(35-10)×10÷2=125m2。筆者質疑：梯形的面積=（上底+下底）×高÷2，不知道上、下底分別是多少怎么計算面積？學生釋疑：知道上、下底的和可以直接求面積。

很顯然，學生們在解題中已經突破了思維定式，學會換角度整體思考解決問題了。

二、新題教學

出示課本R101思考題（如圖1）：圖中正方形的面積是8平方厘米，你能算出涂色部分的面積嗎？

涂色部分面積是圓面積的四分之三，要求涂色部分的面積就要先求圓的面積，怎樣求圓的面積？學生眉頭緊鎖，陷入沉思。我不慌不忙，請學生談談困惑。學生紛紛表示：一般情況下，求圓的面積必須知道圓的半徑，但這里只知道正方形的面積，不知道圓的半徑所以圓的面積不好求。筆者緊抓這一沖突點，進一步引導：“在剛才的準備題中，不知道梯形的上、下底，但是可以根據已知條件求出上、下底的和，想一想，這樣的思考方法能給你什么啟發？聯系已知條件，你有什么發現？”此時，一學生豁然開朗，思路泉涌：“老師，我知道了，因為圓的面積公式是S=πr2，而圓的半徑是正方形的邊長，所以正方形的面積就表示成r2，也就是說r2=8，那么圓的面積就是π×8=8π(cm2)。”

當學生思維的火花被點燃，盛放的那一刻一定是絢爛奪目的。我總結：“同學們，知道半徑的平方，可以直接代入計算圓的面積，這就是整體思考，當我們思考問題思路受阻時不妨換個方向，往往會收獲意想不到的精彩。”

三、變式練習

題1：已知陰影部分的面積等于8平方厘米，求圓環的面積（如圖4、圖5）。

題目出示后不少學生已經在草稿紙上快速地算起來，不一會兒，許多雙手齊齊地舉了起來。一學生：“受剛才那道思考題的啟發，這道題雖然不知道內外圓的半徑，但結合已知條件我想到，陰影部分的面積就是大正方形面積減去小正方形面積，而大正方形的邊長是外圓的半徑，小正方形的邊長是內圓的半徑，陰影部分的面積等于8平方厘米，也就是說R2-r2=8，那么S環=π（R2-r2）=8π（cm）2。”出示圖5后，我已經無須多做講解，學生就已能用舉一反三的類比遷移能力很好地解決問題。

題2：已知正方形的面積是10平方厘米，求圓的面積（如圖6）。

圖6

學生的想法基本一致，都是先將大正方形等分成四個小正方形，列式為10÷4×π=2.5π（cm）2，即先求出一個小正方形的面積，再乘π，就算出了圓的面積。在前兩題探究的基礎上，學生解答這個問題已經非常熟練，思維變得更加靈活。

四、探究規律

（一）歸納發現

提問：你能算出這個（圖6）圓的面積與它外面最小的正方形面積之間的關系嗎？學生很快給出答案：圓的面積是正方形面積的π/4。我繼續追問：如果正方形的面積是12平方厘米、15平方厘米呢？學生計算發現：圓的面積都是正方形面積的π/4。此時學生的好奇心被激發，竟主動探究起來，最后得出結論：“方中圓”圖形中圓的面積始終是正方形面積的π/4。在師生的共同研究下，運用分數的基本性質解釋了這一結論。

（二）適度延伸

出示課本P96第13題的三個圖，并做適當改編（如圖7）。

圖7

學生經引導比較發現：長方形與其內部最大的半圓以及正方形與里面最大的扇形面積之間的關系與“方中圓”圖形中的關系完全相同。

五、類比發散

出示課本R104思考題：圖中正方形的面積是10平方厘米。圓的面積是多少平方厘米（如圖2）？

學生觀察發現：這道思考題與變式題2比較，條件和問題完全相同，只是圖形中正方形與圓的位置發生了變化。我適時點撥：“在上題中，將大正方形等分成四個小正方形，是因為小正方形的邊長就是圓的半徑，那么這道題怎樣將正方形和圓的半徑建立聯系？是否可以換一種等分的方法？”在筆者的啟發下，學生通過小組討論，得到兩種方法：一是10÷4=2.5（cm）2先算出一個小三角形的面積，再乘2得到半徑的平方，最后乘π即可（如圖8①）；二是將相鄰的兩個小三角形拼成一個正方形，這樣就將它轉化成了與第一道思考題相同的圖形（如圖8②）。筆者繼續啟發：“在解決‘方中圓’問題時我們發現，圓的面積始終是正方形面積的π/4，那像這樣的‘圓中方’問題會不會也存在類似的規律？”

圖8①

圖8②

一石激起千層浪，學生的探究欲望被再次激起。伴隨著這個問題的解決，課堂被推向高潮，學生們不禁感嘆：“數學真好玩！數學真有意思！”

六、擴展規律

如果將“方中圓”和“圓中方”兩個圖形合并，會形成什么圖形？學生嘗試得出兩種圖形，即圖9①和圖9②，那么，這時候圖9①中的兩個正方形和圖9②中的兩個圓的面積又存在著怎樣的關系呢？在我的引導下，學生運用賦值法探究出了規律。

圖9①

圖9②

發展學生思維能力是數學教學的核心目標之一，也是發展學生數學核心素養的重要手段。以發展學生數學思維為核心組織課堂教學活動，培養學生良好的思維品質，不斷提升學生的思維能力，已成為數學教學的應然追求。

總之，教師應以數學課本思考題資源為載體，抓住本質，尋求變化，關注聯系，重視推廣，引發學生深度學習，促進學生的思維向下扎根、向上生長。