追“根”溯源，與“系數”共舞

徐莉

一元二次方程根與系數的關系，深化了兩根的和與積同系數之間的關系，是我們解決一元二次方程根的問題的重要工具。

具體內容如下：一元二次方程x2+px+q=0（p、q為常數，p2-4q≥0）的兩個實數根為x1、x2，那么x1+x2=-p，x1x2=q;對于一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個實數根為x1、x2，那么x1+x2=[-ba]，x1x2=[ca]。

一元二次方程根與系數的關系在應用時要注意以下幾點：

1.使用一元二次方程根與系數的關系時，要先把方程化為一般式，并注意隱含條件a≠0;

2.一元二次方程根與系數的關系應用的前提是方程有實數根，因此在應用時，一定要記住根的判別式b2-4ac≥0這一隱含條件;

3.只適合于一元二次方程，其他的方程不適用。

一元二次方程根與系數的關系主要有如下幾方面的應用：

1.不解方程，求與方程根有關的代數式的值;

2.已知方程的一個根，求方程的另一個根及待定字母的值;

3.與根的判別式相結合，解決一些綜合問題;

4.常見的涉及代數式的一些重要變形：

x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2，

（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2，

[1x1]+[1x2]=[x1+x2x1x2]，

（x1+a）（x2+a）=x1x2+（x1+x2）a+a2。

蘇科版數學教材九年級上冊第22頁有這樣一道題：

例題 小明在一本課外讀物中讀到如下一段文字：

一元二次方程x2-x=0的兩根是2+[3]和2-[3]，你能寫出這個方程中被墨跡污染的一次項系數和常數項嗎？

【解析】設一次項系數為b，則（2+[3]）+（2-[3]）=-b，可得一次項系數b為-4;設常數項為c，則（2+[3]）×（2-[3]）=c，可得常數項c為1。

【小結】本題是有關一元二次方程根的計算問題。當根是無理數時，運算將十分煩瑣，這時，如果方程的系數是有理數，利用根與系數的關系解題可起到化難為易，化繁為簡的作用。

變式1 （2021·湖南永州）已知關于x的一元二次方程px2+2x+q=0的兩根分別為m、n。

（1）若m=2、n=-4，求p、q的值;

（2）若p=3、q=-1，求m+mn+n的值。

【解析】（1）方法一：把m=2、n=-4代入方程，得[4p+4+q=0，16p-8+q=0，]

解得p=1，q=-8。

方法二：利用根與系數的關系可知m+n=[-2p]，mn=[qp]。將m=2、n=-4代入，得[-2p]=-2，[qp]=-8，

解得p=1，q=-8。

（2）將p=3、q=-1代入方程px2+2x+q=0得3x2+2x-1=0。

方法一：利用因式分解變形得到方程（x+1）（3x-1）=0，

解方程，得m=-1，n=[13]，

所以m+mn+n=-1-[13]+[13]=-1。

方法二：利用根與系數的關系可知m+n=[-2p]=[-23]，mn=[qp]=[-13]，

整體代入，得m+mn+n=（m+n）+mn=[-23][-13]=-1。

【小結】本題在解法上靈活多變，式子的變形具有創造性，重在考查變式的能力。利用根與系數的關系可以減少運算量，降低出錯率。

變式2 （2020·湖北仙桃、潛江、天門、江漢油田）關于x的一元二次方程x2+2（m-1）x+m2-m=0有兩個實根α、β，且α2+β2=12，那么m的值為（）。

A.-1 B.-4

C.-4或1D.-1或4

【解析】因為α、β是關于x的一元二次方程x2+2（m-1）x+m2-m=0的兩個實根，

所以α+β=-2（m-1）=-2m+2，αβ=m2-m。

因為α2+β2=（α+β）2-2αβ=12，

所以（-2m+2）2-2（m2-m）=12，

整理得m2-3m-4=0，利用因式分解變形得（m-4）（m+1）=0，

解得m=4或m=-1。

又因為關于x的一元二次方程x2+2·（m-1）x+m2-m=0有兩個實根，

所以b2-4ac=[2（m-1）]2-4（m2-m）≥0，

解得m≤1，

所以m=-1。

故選A。

【小結】本題有兩個實數根α、β滿足α2+β2=12，可聯想到根與系數的關系，利用變形α2+β2=（α+β）2-2αβ得到關于參數m的方程。但是同學們要注意，運用根與系數關系的前提是一元二次方程有解，即滿足根的判別式b2-4ac≥0，這往往是容易忽略的隱含條件，解題時要特別留意。

變式3 （2021·北京）已知關于x的一元二次方程x2-4mx+3m2=0。

（1）求證：該方程總有兩個實數根;

（2）若m>0，且該方程的兩個實數根的差為2，求m的值。

【解析】（1）證明：根據題意，得a=1，b=-4m，c=3m2，

所以Δ=b2-4ac=（-4m）2-4×1×3m2=4m2。

又因為無論m取何值時，4m2≥0，即Δ≥0，

所以原方程總有兩個實數根。

（2）因為x2-4mx+3m2=0，即（x-m）·（x-3m）=0，所以x1=m，x2=3m。

又因為m>0，且該方程的兩個實數根的差為2，所以3m-m=2，

解得m=1。

【小結】本題綜合考查了一元二次方程根的判別式、根與系數的關系。一般地，如果題目中的兩根滿足等式（或不等式），可以將此關系式進行恒等變形，然后利用根與系數的關系，建立含參的方程（或不等式），從而求出參數的值（或不等式的范圍）。

變式4 （2019·內蒙古包頭）已知等腰三角形的三邊長分別為a、b、4，且a、b是關于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0的兩根，則m的值是（）。

A.34B.30

C.30或34 D.30或36

【解析】分三種情況：（1）當a=4時，b<8。由a、b是關于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0的兩根，可得4+b=12，則b=8，不符合題意。

（2）當b=4時，a<8。由a、b是關于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0的兩根，可得4+a=12，則a=8，不符合題意。

（3）當a=b時，由a、b是關于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0的兩根，可得a+b=12，ab=m+2，則a=b=6，m+2=36，所以m=34。

故選A。

【小結】本題首先要對a、b分類討論，其次求出的a、b的值還要滿足三角形的三邊關系。根據題意，可分以下三種情況：（1）當a=4時，b<8;（2）當b=4時，a<8;（3）當a=b時，a>2。同學們在解題時一定要注意取舍。

一元二次方程根與系數的關系深刻揭示了一元二次方程中根與系數的內在聯系，是解決有關一元二次方程根的問題的重要工具。相關知識的運用方法靈活多樣，是設計考查創新能力試題的載體，在中考中與此有聯系的試題出現的頻率很高，應是同學們重點關注的內容。通過以上內容的學習，同學們能大致了解考查根與系數這個知識點的題目類型了吧？希望同學們既要熟悉問題的常規解法，也要靈活使用特殊的簡捷解法，提高自身的解題能力。

（作者單位：江蘇省無錫市新吳區新城中學）