選學內容也有趣

吳涵

初學一元二次方程，你是否會認為一元二次方程只是復雜的計算題？這只是面對系數為具體數值的時候。當需要我們抽象分析，尤其是在學到選學內容——一元二次方程根與系數的關系時，就感到束手無策。很難嗎？但是非常有趣。

例1 設m、n分別為一元二次方程x2+2x-2018=0的兩個實數根，則m2+3m+n的值是多少？

你是不是上來就求解這個一元二次方程，想要把兩個實數根分別代進去？我們先稍微預想下，求解不易，代入計算更繁，更何況還要考慮m、n分別如何取值。有沒有更簡便的方法呢？我們再聯想與一元二次方程的根的情況有關的知識，就是我們教材選學部分的內容——兩根和（積）與系數的關系。

解：∵m、n分別為一元二次方程x2+2x-2018=0的兩個實數根，

∴m2+2m=2018，m+n=-2，

∴m2+3m+n=m2+2m+（m+n）=2018+（-2）=2016。

這里，分別運用了根的概念、兩根和（積）與系數的關系的知識，運用了消除差異、整體代入的思想。這可比單純的求解一元二次方程有趣得多，你們說呢？

例2 若關于x的一元二次方程x2+mx+m2-3m+3=0的兩根互為倒數，求m的值。

這里，方程的兩個根求不出來啊，如果用求根公式表達，又太過繁瑣。因此，我們需要抓住“兩根互為倒數”這一關鍵條件，聚焦思維、深入思考。這個條件的等價表達是“兩根乘積為1”，這又可以聯想到“兩根和（積）與系數的關系”。

解：設方程兩根為x1、x2，則x1·x2=1，即m2-3m+3=1，

解得m1=1，m2=2。

又∵方程有兩個實數根，

∴b2-4ac≥0，即m2-4（m2-3m+3）≥0，

∴（m-2）2≤0，

∴m=2。

比起例1，例2更多了一些嚴謹。我們可能會在最后一步忽視了“根與系數關系”成立的前提——存在實數根。這就要求我們不僅要善于展開聯想，還要養成嚴密的思維習慣。當我們意識到自己思維習慣上的問題的時候，是不是很有收獲感呢？

例3 已知x1、x2是關于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1=0的兩個不相等的實數根，且滿足（x1-1）（x2-1）=8k2，求k的值。

相比前兩例，系數更復雜了，條件也更多了。給的條件讓人感到異常陌生，有的同學甚至感覺無從下手。然而，當我們靜下心來仔細觀察、嘗試、思考之后，就會發現，在復雜的外衣下，例3有著和例1一樣的本質。“兩個不相等的實數根”這一關鍵條件，正是本題的“題眼”——問題解決的關鍵第一步，接下來，先前不知如何運用的條件“（x1-1）（x2-1）=8k2”就有了用武之地。

解：∵x1、x2是關于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1=0的兩個不相等實數根，

∴x1+x2=-（3k+1），x1·x2=2k2+1。

于是（x1-1）（x2-1）=8k2可以整理為x1·x2-（x1+x2）+1=8k2，

即2k2+1+3k+1+1=8k2，

∴6k2-3k-3=0，

∴2k2-k-1=0，

解得k1=-0.5，k2=1。

是不是感覺原本復雜的題目變得簡單了，眼前頓時豁然開朗了？然而，別忘了思維的嚴密性哦。題目可不是“兩個實數根”，而是“兩個不相等的實數根”。由例2，我們知道，這里還需考慮b2-4ac>0，所以應舍去k1=-0.5，取k2=1。至此，解答完整。

綜上，萬變不離其宗，找到關鍵條件，展開自然的聯想，運用所學知識，逐步嘗試推理，一步一步把陌生的式子轉化為熟悉的公式，這樣的過程不論是對必學內容還是對選學內容都是非常有趣的思維過程。讓我們一起養成良好的思維習慣，感受數學思維的魅力，增強數學學習的興趣吧。

教師點評

小作者能夠在選學內容中享受思維的樂趣，并在其中領悟到“不論是對必學內容還是對選學內容”，其思維過程都是“萬變不離其宗”，這才是相對于知識學習更為重要的思維學習。數學學習就是要像小作者一樣，在掌握“基礎知識、基本技能”的基礎上，領悟“基本思想方法”，積累“基本活動經驗”，提高“發現、提出、分析、解決”問題的能力，學會有邏輯、嚴密地思考，形成數學思維方式，養成良好的思維習慣，享受數學學習樂趣，培育科學精神，最終越學越會學、越學越智慧。

（指導教師：鐘 鳴）