例說典型分類 提升解題能力

命題人常通過設(shè)置綜合性問題，考查同學(xué)們對一元二次方程的靈活運(yùn)用，突出方程思想。下面就以2021年中考題為例進(jìn)行歸納剖析，以期對同學(xué)們的學(xué)習(xí)有所幫助。

一、方程概念的綜合運(yùn)用

例1 （2021·四川廣安）關(guān)于x的一元二次方程（a+2）x2-3x+1=0有實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是（）。

A.a≤[14]且a≠-2B.a≤[14]

C.a<[14]且a≠-2D.a<[14]

【分析】根據(jù)“一元二次方程”得到a+2≠0;由“有實(shí)數(shù)根”得到Δ=（-3）2-4（a+2）×1≥0。

【答案】A。

【點(diǎn)評】本題考查一元二次方程的根的判別式和一元二次方程根的概念。本題的易錯點(diǎn)有：當(dāng)一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)含有字母時，要注意二次項(xiàng)系數(shù)不等于0;有實(shí)數(shù)根包含兩層含義，一是方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，二是方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，兩種情況都屬于有實(shí)數(shù)根，所以Δ≥0。

例2 （2021·江蘇宿遷）方程[2x2-4]-[xx-2]=1的解是。

【分析】第一步是先兩邊同時乘x2-4，將分式方程去分母化為整式方程;第二步去分母后整理為x2+x-3=0，解一元二次方程;第三步對分式方程的解進(jìn)行檢驗(yàn)。

【答案】x1=[-1+132]，x2=[-1-132]。

【點(diǎn)評】本題考查解分式方程和一元二次方程。本題的易錯點(diǎn)有：去分母時，漏乘常數(shù)項(xiàng)1;分式方程忘記檢驗(yàn)解是否增根。

例3 （2021·湖北黃石）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m=0有實(shí)數(shù)根。

（1）求m的取值范圍;

（2）若該方程的兩個實(shí)數(shù)根分別為x1、x2，且x12+x22=12，求m的值。

【分析】根據(jù)“有實(shí)數(shù)根”得到Δ≥0，即（2m）2-4（m2+m）≥0;由“x12+x22=12”聯(lián)想到完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2和韋達(dá)定理x1+x2=[-ba]，x1x2=[ca]，得到（x1+x2）2-2x1x2=12，又∵x1+x2=-2m，x1x2=m2+m，由一元二次方程解得m=3或m=-2;根據(jù)m的取值范圍得到m=-2。

【答案】（1）m≤0;（2）m=-2。

【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系和完全平方公式的應(yīng)用。本題的易錯點(diǎn)有：完全平方公式的應(yīng)用;在使用根與系數(shù)的關(guān)系時，忘記前提條件Δ≥0，而沒有檢驗(yàn)所求出的解。

二、新定義中的一元二次方程

例4 （2021·浙江杭州）已知y1和y2均是以x為自變量的函數(shù)，當(dāng)x=m時，函數(shù)值分別是M1和M2，若存在實(shí)數(shù)m，使得M1+M2=0，則稱函數(shù)y1和y2具有性質(zhì)P。以下函數(shù)y1和y2具有性質(zhì)P的是（）。

A.y1=x2+2x和y2=-x-1

B.y1=x2+2x和y2=-x+1

C.y1=[-1x]和y2=-x-1

D.y1=[-1x]和y2=-x+1

【分析】根據(jù)條件梳理得到以下信息：y1和y2是用x表示的函數(shù);當(dāng)x=m時，y1=M1，y2=M2，M1+M2=0，則稱函數(shù)y1和y2具有性質(zhì)P。具有性質(zhì)P要滿足兩個條件：存在實(shí)數(shù)m;滿足M1+M2=y1+y2=0。對照題目要求要滿足：存在x使得y1+y2=0，即將兩個函數(shù)相加和為零且所得到的方程有解即可。

【答案】A。

【點(diǎn)評】本題屬于新定義類問題，根據(jù)給出的定義構(gòu)造方程，利用方程思想解決問題是常見思路。本題也可利用函數(shù)圖像快速解答。本題的易錯點(diǎn)有：沒有理解函數(shù)y1和y2具有性質(zhì)P的含義（對于新定義題型，最關(guān)鍵的就是理解定義）;根據(jù)根的判別式判斷一元二次方程是否有解。

三、一元二次方程與圖形的結(jié)合

例5 （2021·浙江溫州）如圖1，在平行四邊形ABCD中，E、F是對角線BD上的兩點(diǎn)（點(diǎn)E在點(diǎn)F左側(cè)），且∠AEB=∠CFD=90°。

圖1

（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形;

（2）當(dāng)AB=5，tan∠ABE=[34]，∠CBE=∠EAF時，求BD的長。

【分析】易證AE∥CF，再證△ABE≌△CDF

（AAS），得AE=CF，即可得出結(jié)論。

根據(jù)AB=5，tan∠ABE=[34]，在Rt△ABE中由銳角三角函數(shù)定義和勾股定理求出AE=3，BE=4;由∠CBE=∠EAF，得到tan∠CBE=tan∠ECF，得[CFBF]=[EFCF]，求出EF=[13]-2，進(jìn)而得出答案。

【答案】（1）略;（2）BD=6+[13]。

【點(diǎn)評】本題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)（九年級下冊學(xué)習(xí)）、解一元二次方程。本題的易錯點(diǎn)有：平行四邊形識別方法不夠簡潔，導(dǎo)致浪費(fèi)時間;不會使用條件AB=5，tan∠ABE=[34]，在直角三角形中只要有一邊一角或兩邊就可求這個直角三角形中所有量。

四、一元二次方程和函數(shù)、圖形的結(jié)合

例6 （2021·浙江溫州）如圖2，點(diǎn)A、B在反比例函數(shù)y=[kx]（k>0，x>0）的圖像上，AC⊥x軸于點(diǎn)C，BD⊥x軸于點(diǎn)D，BE⊥y軸于點(diǎn)E，連接AE。若OE=1，OC=[23]OD，AC=AE，則k的值為（）。

圖2

A.2B.[322]C.[94]D.2[2]

【分析】根據(jù)BE⊥y軸于點(diǎn)E，OE=1，得到B（k，1），BE=OD=k;根據(jù)AC⊥x軸于點(diǎn)C，OC=[23]OD，得到A（[23]k，[32]），AC=[32]=AE;設(shè)BE與AC交于點(diǎn)F，則EF=OC=[23]k;在Rt△AEF中，AF2+EF2=AE2，得到（[23]k）2+（[12]）2=（[32]）2，進(jìn)而得出答案。

【答案】B。

【點(diǎn)評】本題考查反比例函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用和解一元二次方程。本題的易錯點(diǎn)有：線段和點(diǎn)的坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系，以及線段和點(diǎn)的坐標(biāo)的相互表示;點(diǎn)的坐標(biāo)有正負(fù)，而線段永遠(yuǎn)是正數(shù);有垂直就有直角三角形，則有勾股定理這個等量關(guān)系;重視圖像這個隱含條件，反比例函數(shù)圖像在第一象限，則k>0，即一元二次方程求解時，注意解的實(shí)際意義。

（作者單位：江蘇省無錫市后宅中學(xué)）