探尋本質 靜觀其變

許燕

同學們在學習“一元二次方程”這一章時，還記得一元二次方程的求根公式是怎樣得到的嗎？在得到求根公式的過程中有沒有發現哪些問題是值得我們思考的呢？為什么一元二次方程根的情況取決于式子b2-4ac的符號呢？讓我們帶著這些問題，先來探尋本質，再來靜觀其變。

一、探尋本質

用配方法解方程ax2+bx+c=0（a≠0）。

解：∵a≠0，∴在方程兩邊同時除以a，得x2+[bax]+[ca]=0。移項，得x2+[bax]=[-ca]。

配方，得x2+[bax]+[b24a2]=[-ca]+[b24a2]，即（x+[b2a]）2=[b2-4ac4a2]。

對于上述方程，同學們覺得能直接開方嗎？通過觀察，我們不難發現，等式的左邊是一個關于x的完全平方式，只有當等式的右邊是一個非負常數時才可以運用直接開平方法來解這個方程;反之，當等式的右邊是一個負常數時，該方程在實數范圍內將無實數根。因此，解此方程就需要對等式右邊的式子（[b2-4ac4a2]）的符號進行討論。由于a≠0，所以分母4a2恒為正，所以方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的情況與分子b2-4ac的符號有關，稱之為“根的判別式”，具體有以下幾種可能的情形：（1）當b2-4ac>0時，方程有兩個不相等的實數根;（2）當b2-4ac=0時，方程有兩個相等的實數根;（3）當b2-4ac<0時，方程沒有實數根。

通過上述回顧，相信同學們不僅知道什么是“根的判別式”，更明白一元二次方程根的情況為何由式子b2-4ac的符號來確定。根的判別式作為初中階段的一個重要的知識點，在各地的考查中常有出現。下面圍繞這個知識點介紹幾組典型問題，同學們不妨自己感受一下。

二、靜觀其變

例1 若關于x的一元二次方程（a-1）·x2-2x+2=0有兩個不相等的實數根，則實數a的取值范圍是。

【分析】一元二次方程有兩個不相等的實數根，結合題目條件可知[a-1≠0，（-2）2-4（a-1）×2>0，]從而列出關于a的不等式組加以求解即可。

解：∵一元二次方程有兩個不相等的實數根，∴[a-1≠0，（-2）2-4（a-1）×2>0，]解得a<[32]且a≠1。故答案為a<[32]且a≠1。

變式1 若關于x的方程（a-1）x2-2x+2=0有兩個實數根，則實數a的取值范圍是。

【分析】題目雖然沒說方程為一元二次方程，但因為方程有兩個實數根，所以方程必為一元二次方程。由于兩實數根可能相等或不等，因此根的判別式大于或等于0。結合題目條件可知[a-1≠0，（-2）2-4（a-1）×2≥0，]求解關于a的不等式組即可。

解：∵方程有兩個實數根，

∴[a-1≠0，（-2）2-4（a-1）×2≥0，]

解得a≤[32]且a≠1。

故答案為a≤[32]且a≠1。

變式2 若關于x的方程（a-1）x2-2x+2=0有實數根，則實數a的取值范圍是。

【分析】由于題目既沒說方程為一元二次方程，也沒說方程有幾個實數根，所以需分兩種情況討論：（1）方程為一元一次方程且有實數根;（2）方程為一元二次方程且有實數根。

解：（1）當方程為一元一次方程時，則a-1=0，a=1，此時方程變形為-2x+2=0，x=1，即當a=1時，方程有一個實數根為x=1;

（2）當方程為一元二次方程時，∵方程有實數根，

∴[a-1≠0，（-2）2-4（a-1）×2≥0，]

解得a≤[32]且a≠1。

綜上所述：當a≤[32]時，方程有實數根。

【歸納總結】以上一組問題考查的是根據已知方程根的情況，去確定字母系數的值或范圍，解題時同學們要抓住以下兩個要點：1.使用根的判別式之前一定要先把方程化為一般形式，正確找出a、b、c的值;2.注意題目中的關鍵詞“有兩個不相等的實數根”“有兩個實數根”以及“有實數根”的區別，并注意“一元二次方程”這個隱含條件。

例2 已知關于x的一元二次方程x2-（k-1）x+k-3=0，不解方程，請判別當k分別取-1、0、1時一元二次方程根的情況。

【分析】題目要求不解方程判別根的情況，根據本文前面的講解可知，將k的值分別代入，依次求出對應的b2-4ac的值，再結合它的符號便可確定。

解：（1）當k=-1時，方程變形為x2+2x-4=0。

∵a=1，b=2，c=-4，∴b2-4ac=20>0，

∴方程有兩個不相等的實數根。

（2）當k=0時，方程變形為x2+x-3=0。

∵a=1，b=1，c=-3，∴b2-4ac=13>0，

∴方程有兩個不相等的實數根。

（3）當k=1時，方程變形為x2-2=0。

∵a=1，b=0，c=-2，∴b2-4ac=8>0，

∴方程有兩個不相等的實數根。

變式 對于任意實數k，試證明關于x的一元二次方程x2-（k-1）x+k-3=0恒有兩個不相等的實數根。

【分析】此變式是例2的延伸，體現由特殊到一般的數學思想。對于任意的實數k，要證明該方程恒有兩個不相等的實數根，只要證明根的判別式的值恒大于0即可。此時可以通過配方法，利用完全平方式的非負性加以證明。

證明：∵a=1，b=-（k-1）=1-k，c=k-3，

∴b2-4ac=（1-k）2-4×1×（k-3）=k2-6k+13=（k-3）2+4。

∵（k-3）2≥0，

∴（k-3）2+4>0，即b2-4ac>0，

∴對于任意實數k，方程恒有兩個不相等的實數根。

【歸納總結】以上一組問題反映的是“由特殊到一般”的數學思想方法，考查了在不解方程的基礎上，如何利用根的判別式去判別一元二次方程根的情況。解題時需先正確找出a、b、c的值，再求出b2-4ac的具體值或利用配方法得出b2-4ac的符號，最后對根的情況進行判別。

例3 已知等腰三角形的一條邊長為7，它的另外兩條邊的邊長是關于x的一元二次方程x2-2（m+1）x+m2+5=0的兩個實數根，求這個三角形的周長。

【分析】當讀到“等腰三角形的一邊長為7”，我們就要進行分類討論，即長為7的邊可能為等腰三角形的底，也可能為它的腰。當長為7的邊為底時，則另外兩邊為腰，而另外兩邊恰好是方程的根，則意味著方程有兩個相等的實數根;當長為7的邊為腰時，則另一腰的長度也為7，即方程必有一根為7，利用方程根的概念求出字母系數的值。

解：（1）當7為底邊長時，此時方程x2-2（m+1）x+m2+5=0有兩個相等的實數根，

∴b2-4ac=8m-16=0，解得m=2，

∴方程為x2-6x+9=0，

解得x1=x2=3。

∵3+3<7，

∴不能構成三角形。

（2）當7為腰長時，不妨設另一腰為x1，則x1=7，代入方程得49-14（m+1）+m2+5=0，解得m1=10，m2=4。

當m=10時，方程為x2-22x+105=0，解得x1=7，x2=15，

∵7+7<15，

∴不能構成三角形，應舍去;

當m=4時，方程為x2-10x+21=0，解得x1=7，x2=3，此時三角形的周長為7+7+3=17。

綜上所述，這個等腰三角形的周長為17。

【歸納總結】這道題考查的是根的判別式與其他知識的綜合應用，解答時注意挖掘隱含條件，體會轉化思想以及分類討論的數學思想，同時要注意“三角形三邊關系”這一隱含條件，養成嚴謹的思維習慣。

我們通過以上幾組典型問題的解析不難明白，在平時的學習和運用知識的過程中，不能把知識降低為機械性的記憶，更應該重視知識的形成過程，要有自己獨立的思考，要學會全面的分析和判斷。盡管問題的外在形式豐富多樣，但內在本質是統一的。希望同學們能通過自己的理解和思考，抓住問題的本質進而有效地解決相關問題。

（作者單位：江蘇省無錫市新吳區第一實驗學校）