厘清要點(diǎn) 逐個(gè)擊破

進(jìn)入九年級(jí)，方程家族再添一員——一元二次方程。回顧一元一次方程、二（三）元一次方程（組）、可化為一元一次方程的分式方程等知識(shí)的探究過(guò)程，我們發(fā)現(xiàn)，方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型，其研究路徑一般是“概念—解法—應(yīng)用”。本章主要是從一元二次方程的概念、解法、根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系和應(yīng)用等方面來(lái)研究，對(duì)數(shù)學(xué)后續(xù)的學(xué)習(xí)和其他學(xué)科的學(xué)習(xí)也有著重要意義，讓我們一起來(lái)厘清要點(diǎn)，逐個(gè)擊破吧。

知識(shí)點(diǎn)1：一元二次方程的概念

一元二次方程必須同時(shí)滿足三個(gè)條件：①整式方程，即等號(hào)兩邊都是整式;②只含有一個(gè)未知數(shù);③未知數(shù)的最高次數(shù)是2。一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0，特別要注意二次項(xiàng)系數(shù)a不為0。

例1 （2021·湖北荊門）x=2是關(guān)于x的一元二次方程kx2+（k2-2）x+2k+4=0的一個(gè)根，那么k的值為 。

【分析】本題根據(jù)一元二次方程及其解的概念列出關(guān)于k的方程，再解這個(gè)方程求得k的值即可（特別注意二次項(xiàng)系數(shù)不為0）。

【解答】把x=2代入kx2+（k2-2）x+2k+4=0，得4k+2k2-4+2k+4=0，整理，得k2+3k=0，解得k1=0，k2=-3。因?yàn)閗≠0，所以k的值為-3。故答案為-3。

知識(shí)點(diǎn)2：一元二次方程的解法

一元二次方程的解法主要包括：直接開(kāi)平方法、配方法、公式法和因式分解法等。解決問(wèn)題的基本策略就是降次，利用轉(zhuǎn)化的思想方法，通過(guò)直接開(kāi)平方、配方、因式分解等，將一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程來(lái)求解。解一元二次方程主要有四種基本方法，我們要根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活選用，以簡(jiǎn)化解題過(guò)程。下面我們一起通過(guò)實(shí)踐來(lái)觀察幾種解法的相互聯(lián)系和差別。

例2 解方程：

（1）（2021·江蘇無(wú)錫）（x+1）2-4=0;

（2）（x-2）2=（2x+5）2;

（3）x2-4x-3=0;

（4）（2021·黑龍江齊齊哈爾）x（x-7）=

8（7-x）。

【分析】先觀察這幾個(gè)方程的結(jié)構(gòu)：（1）（2）兩題我們可以用直接開(kāi)平方法，或選擇因式分解法（平方差公式）來(lái)求解，這兩種方法是首選方法;（3）可以用配方法或公式法求解;（4）的等號(hào)兩邊有（x-7）和（7-x）這個(gè)互為相反數(shù)的因式，可以用因式分解法（提取公因式）來(lái)求解，同樣也可以化成一般式后再用合適的方法求解。

【解答】（1）（直接開(kāi)平方法）移項(xiàng)，得（x+1）2=4。兩邊直接開(kāi)平方，得x+1=±2，解得x1=1，x2=-3。

（因式分解法）利用平方差公式，得（x+1+2）（x+1-2）=0，解得x1=1，x2=-3。

（2）這題與（1）利用相同的方法可以解得x1=-1，x2=-7。

（3）（配方法）移項(xiàng)，得x2-4x=3。配方，得x2-4x+22=3+22，即（x-2）2=7。解這個(gè)方程，得x-2=±7，即x1=2+[7]，x2=2-[7]。

（公式法）因?yàn)閍=1，b=-4，c=-3，

所以b2-4ac=（-4）2-4×1×（-3）=28>0，

代入公式x=[-b±b2-4ac2a]

=[-（-4）±282×1]

=[4±272]

=2±[7]，

所以x1=2+[7]，x2=2-[7]。

（如果這題改為x2-4x+3=0，還能用因式分解法，同學(xué)們可以試一下哦！）

（4）（因式分解法）移項(xiàng)，得x（x-7）-8（7-x）=0。提公因式，得（x-7）（x+8）=0，解得x1=7，x2=-8。

知識(shí)點(diǎn)3：一元二次方程的根的判別式

根的判別式是b2-4ac，我們通過(guò)它的符號(hào)來(lái)判斷ax2+bx+c=0（a≠0）是否有實(shí)數(shù)根或者有幾個(gè)實(shí)數(shù)根，具體方法如下：（1）當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;（2）當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;（3）當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。反之也成立。

例3 （2021·湖北黃岡）若關(guān)于x的一元二次方程x2-2x+m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的值可以是 。（寫出一個(gè)即可）

【分析】由“方程x2-2x+m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”可知：當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。因?yàn)閎2-4ac=（-2）2-4×1×m=4-4m>0，得m<1，所以只要寫出一個(gè)滿足m<1的m的值即可。

【答案】比如0或-1等。

知識(shí)點(diǎn)4：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是著名的韋達(dá)定理，雖然在教材里它是選學(xué)內(nèi)容，但這部分內(nèi)容可以幫我們進(jìn)一步加深對(duì)一元二次方程及其根的認(rèn)識(shí)，它的應(yīng)用非常廣泛。先簡(jiǎn)單了解下這個(gè)定理：若方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個(gè)根是x1、x2，那么有x1+x2=[-ba]，x1·x2=[ca]。

例4 （2021·江蘇鹽城）設(shè)x1、x2是一元二次方程x2-2x-3=0的兩個(gè)根，則x1+x2的值為（ ）。

A.-2 B.-3 C.2 D.3

【分析】解決此類問(wèn)題我們可以不求出方程的根，觀察得出a=1，b=-2，c=-3，由韋達(dá)定理可知x1+x2=[-ba]=[--21]=2。故選C。

知識(shí)點(diǎn)5：用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題

利用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題，就是要把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，難點(diǎn)是數(shù)量關(guān)系的確定。我們可以借助適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)直觀工具（如表格、線形示意圖等），找出問(wèn)題中的各種量的相等關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型（一元二次方程），解決實(shí)際問(wèn)題。此外，還需要根據(jù)具體問(wèn)題的實(shí)際意義，檢驗(yàn)方程的解是否合理。

例5 在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=5cm，BC=6cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿邊AB向終點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，與此同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿邊BC向終點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)。如果P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)。設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t>0）。

（1）填空：BQ= ，PB= （用含t的代數(shù)式表示）;

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，PQ的長(zhǎng)度等于5cm？

（3）是否存在t的值，使得五邊形APQCD的面積等于26cm2？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)t的值;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

【分析】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，表示出BQ、PB的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵。

（1）根據(jù)P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度可得BQ、PB的長(zhǎng)度;

（2）根據(jù)勾股定理可得PB2+BQ2=QP2，代入相應(yīng)數(shù)據(jù)解方程即可;

（3）根據(jù)題意可得△PBQ的面積為長(zhǎng)方形ABCD的面積減去五邊形APQCD的面積，再根據(jù)三角形的面積公式代入相應(yīng)線段的長(zhǎng)，即可得到方程，解方程即可。

【解答】（1）∵P從點(diǎn)A開(kāi)始沿邊AB向終點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，∴AP=t（cm）。

∵AB=5（cm），∴PB=（5-t）cm。

∵點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿邊BC向終點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)，

∴BQ=2t（cm）。

（2）由題意得（5-t）2+（2t）2=52，

解得t1=0（不合題意，舍去），t2=2。

∴當(dāng)t=2秒時(shí)，PQ的長(zhǎng)度等于5cm。

（3）當(dāng)t=1秒時(shí)，五邊形APQCD的面積等于26cm2。理由如下：

長(zhǎng)方形ABCD的面積是5×6=30（cm2），

要使得五邊形APQCD的面積等于26cm2，

則△PBQ的面積為30-26=4（cm2），

∴[12]×（5-t）×2t=4，

解得t1=4（不合題意，舍去），t2=1。

∴當(dāng)t=1秒時(shí)，五邊形APQCD的面積等于26cm2。

（作者單位：江蘇省無(wú)錫市新吳區(qū)泰伯實(shí)驗(yàn)中學(xué)）