考慮攻擊角約束和輸入飽和的制導控制一體化設計

張寬橋,劉連照,馬 暉,徐 宙,王小臻

(電子信息系統復雜電磁環境效應國家重點實驗室,河南 洛陽 471003)

傳統的導彈制導控制系統是將制導回路和控制回路分開設計,未考慮兩回路間的耦合關系。若目標的速度較快且機動性較強,該設計方法容易導致系統不穩定和較大的脫靶量[1]。制導控制一體化設計[2]是將制導系統和控制系統一起設計,考慮二者間的耦合關系,并充分利用視線角、姿態、過載等綜合信息,能有效提高導彈制導控制性能。

針對制導控制一體化設計問題,國內外學者進行了深入研究,采用不同的理論完成了制導控制一體化設計,如小增益理論[3]、θ-D方法[4]、滑模控制[5]、自適應控制[6]等。由于制導控制一體化模型具有嚴格反饋形式,反演設計方法被廣泛用于制導控制一體化設計中[7-8]。反演設計方法需要對虛擬控制量多次求導,存在“指數膨脹”的問題。動態面控制通過引入一階濾波器來解決對虛擬控制量多次求導的問題,被用于制導控制一體化設計中[9-10]。

為增加戰斗部的毀傷效能,諸如反坦克導彈、反艦導彈、防空導彈等,需要以一定的攻擊角度命中目標[11]。因此,在制導控制一體化設計中也需要考慮攻擊角度約束的問題。文獻[12]基于滑模控制和動態逆控制,完成了帶攻擊角度約束的三維制導控制一體化設計,采用連續近似函數替代符號函數抑制滑模控制的抖振問題。傳統的基于動態面控制的制導控制一體化設計,只能保證系統狀態漸進收斂至期望值,且引入一階濾波器導致其快速性降低。

若存在目標大機動、系統內部擾動及外界干擾等因素,控制量幅值會增大,可能會達到執行機構物理約束上限,從而導致控制量飽和。飽和問題的出現可能會導致控制性能下降甚至出現一些不可預測的結果[13]。因此,在制導控制一體化設計中,有必要考慮輸入飽和的問題。文獻[14]采用改進的飽和函數和一個輔助系統來處理飽和問題,將輔助系統狀態用于一體化控制律的設計和穩定性分析。

制導控制一體化設計相關研究很多,但同時考慮攻擊角度約束、輸入飽和問題的制導控制一體化設計的研究較少,同時由于目標機動、氣動系數的攝動以及通道之間耦合的影響,制導控制系統存在建模不確定性,在進行一體化設計時需要加以考慮。本文針對攻擊角度約束、輸入飽和和模型不確定性等問題,提出了一種有限時間收斂制導控制一體化設計方法。通過導彈六自由度仿真驗證了算法的有效性。

1 問題描述

1.1 制導控制一體化設計模型

構建制導控制一體化設計模型前,做如下假設:

①導彈在末制導段無動力飛行,且速度vm變化不大。

②導彈的速度傾斜角γv在末制導段為小角度,且sinγv≈0,cosγv≈1。

建立如圖1所示的三維慣性坐標系下導彈與目標的相對運動模型。圖中,Oxyz為慣性坐標系,Ox4y4z4為彈目視線坐標系,M和T分別表示導彈和目標的位置,ε和η分別為彈目視線傾角和偏角,R為彈目相對距離,r為R在慣性坐標系水平面上的投影,即r=Rcosε。

圖1 彈目三維運動關系

導彈和目標的相對運動方程可以描述為[15]

(1)

式中:at,y4,am,y4和at,z4,am,z4分別為目標和導彈的加速度在視線坐標系Oy4軸和Oz4軸上的分量。

根據假設①和假設②以及導彈質心運動的動力學方程,可得導彈加速度在速度坐標系下的分量:

(2)

式中:m為導彈質量,g為重力加速度,θm為導彈彈道傾角,Fy和Fz分別為升力和側向力。

(3)

導彈在飛行中舵偏角對升力和側向力的貢獻相比攻角和側滑角較小,因此可將其視為小量[16]。

結合式(1)和式(2),建立彈目相對運動方程:

(4)

式中:

(5)

根據導彈動力學方程,考慮主要因素,將次要因素視為不確定性的原則,構建導彈動力學模型為

(6)

(7)

以縱向平面為例,制導末端導彈和目標速度矢量間的夾角為導彈攻擊角度θd,θd與終端視線角ε(tf)成一一對應關系,即

(8)

式中:θt為目標航跡傾角。

因此,攻擊角度約束問題可以轉化為終端視線角約束問題。

(9)

導彈在飛行過程中,目標大幅機動、導彈自身的不確定性以及外界干擾等因素可能導致控制幅值變大,達到執行機構約束上限,出現控制量飽和的現象,飽和問題會使系統的動態品質變差,導致控制性能下降甚至破壞系統穩定性,進而導致系統崩潰,因此在制導控制一體化設計中有必要考慮執行機構飽和的問題。考慮輸入飽和問題,制導控制一體化俯仰通道設計模型(9)可重寫為

(10)

式中:sat(δz)為俯仰舵實際舵偏角,其定義為

(11)

式中:δz,max為δz的已知上界,即最大舵偏角。

實際控制律sat(δz)與控制指令δz存在突變的尖角|δz|=δz,max,為使反演設計方法能夠應用于制導控制指令的設計,對飽和函數光滑處理[17]:

(12)

令dz=sat(δz)-g(δz),則:

sat(δz)=dz+g(δz)

(13)

|dz|≤δz,max[1-tanh(δz/δz,max)]=0.238δz,max

(14)

因此dz是有界的。結合式(10)、式(13),可得考慮輸入飽和的制導控制一體化俯仰通道設計模型:

(15)

參考俯仰通道設計模型,結合式(4)和式(6),建立制導控制一體化偏航通道設計模型:

(16)

根據式(6)建立制導控制一體化滾轉通道模型:

(17)

1.2 相關定義與引理

為后文公式推導和分析方便,引入如下相關定義和引理。

定義1為書寫簡便,定義符號[x]a=|x|asgn(x),其中,sgn(*)為符號函數,且sgn(0)=0,a為實數。

(18)

(19)

式中:θ1∈(0,β1),θ2∈(0,β2)。收斂域滿足:

Ω={x|θ1Vα1-α2(x)+θ2V1-α1(x)<β3}

(20)

引理3[20]對任意實數xi,i=1,2,…,n,存在實數a(0

(21)

成立。

引理4[21]假定V(*)和χ(*)為定義在[0,tf)的光滑函數,且V(t)≥0,N(χ)是一個Nussbaum增益函數,若滿足不等式:

式中:K>0,P>0,M>0,ψ(t)>0,則V(*)和χ(*)在[0,tf)是有界的。

2 制導控制一體化設計

2.1 俯仰通道控制器設計與穩定性分析

制導控制一體化俯仰通道設計模型(15)中含有建模誤差和不確定性。現有文獻一般采用滑模控制的魯棒性來應對模型的不確定性,或設計自適應律來估計模型的不確定性,但這些方法會引起控制量的抖振現象,且參數選取需已知不確定性上界。針對該問題,采用文獻[22]提出的有限時間收斂干擾觀測器對模型中的不確定項進行估計:

(22)

針對非線性飽和問題,引入輔助系統:

(23)

式中:δz,c為俯仰通道舵偏角控制指令,μ1>0。則俯仰通道一體化設計模型可寫為

(24)

制導控制一體化設計模型(24)具有嚴格的反饋結構,因此,可以采用反演控制結合終端滑模控制進行設計。具體設計過程如下。

①定義帶攻擊角度約束項的非奇異終端滑模面:

s11=x12+ρ1x11+ρ2φ(x11)

(25)

式中:ρ1>0,ρ2>0。

(26)

對式(25)微分得:

(27)

式中:

結合式(24)和式(27),可得:

(28)

設計虛擬控制律:

(29)

式中:00,l12>0。

為避免對控制律求導產生微分膨脹問題,同時保證系統有限時間快速收斂性,設計如下一階非線性濾波器:

(30)

式中:y11=x13,d-x13,c,x13,d(0)=x13,c(0),τ為濾波器時間常數。

②定義滑模面:

s12=x13-x13,d

(31)

設計虛擬控制律:

(32)

設計一階非線性濾波器:

(33)

式中:y12=x14,d-x14,c,x14,d(0)=x14,c(0)。

③定義滑模面:

s13=x14-x14,d

(34)

設計虛擬控制律:

(35)

設計一階非線性濾波器:

(36)

式中:y13=x15,d-x15,c,x15,d(0)=x15,c(0)。

④定義滑模面:

s14=g(δz)-x15,d

(37)

對s14求時間導數,得:

(38)

式中:

(39)

設計控制律δz,c:

(40)

定理1對于系統(24),設計如式(40)所示的一體化制導控制律,使俯仰通道閉環系統狀態x11和x12在有限時間內收斂至原點的一個較小鄰域內。

證明由式(25)～式(40)可得:

(41)

(42)

(43)

(44)

(45)

(46)

(47)

構造Lyapunov函數:

(48)

微分得:

(49)

基于Young不等式可得:

(50)

式中:

(51)

式(50)可寫為

(52)

結合引理3可得:

(53)

式中:ζ=ζ1+ζ2。

由于V1≥0,因此式(53)可寫為

(54)

對式(54)兩邊同時積分可得:

(55)

由引理4可知,V1和χ1是有界的,更進一步s1,s2,s3,s4,y1,y2,y3均有界。由式(53)可以得到如下2種形式:

(56)

(57)

對于式(56),若k-(ζ/V1)>0,則根據引理1可知,V1是有限時間收斂的,收斂域為

(58)

對于式(57),與式(56)分析類似,V1可有限時間收斂至區域:

(59)

①|x1|≥δ,式(25)可寫為

(60)

定義Lyapunov函數:

(61)

對式(61)求導并將式(60)代入,得:

(62)

合理選取參數k1,k2,使?1≤δ,則x1的收斂域為

|x11|≤max{?1,σ}=δ

(63)

結合式(25)可得x12的收斂域:

|x12|≤ρ1|x11|+ρ2|x11|b+|φ1|≤k1δ+k2δb+φ

(64)

②|x11|≤δ,式(25)可寫為

(65)

綜上所述,x11和x12可有限時間收斂至原點的一個較小鄰域:

(66)

證畢。

2.2 偏航和滾轉通道控制器設計

偏航通道一體化制導控制律設計為

(67)

設計滾轉通道一體化制導控制律:

(68)

3 仿真分析

本節對所提制導控制一體化設計方法(PIGC)的有效性進行仿真驗證。在慣性坐標系下,導彈和目標的初始位置分別設定為(0,5 000,0)和(8 000,1 000,500),導彈速度vm=800 m/s,導彈的初始彈道傾角、彈道偏角、攻角、側滑角、滾轉角、俯仰角速率、偏航角速率和滾轉角速率分別為:θm0=-10°,ψv,m0=-5°,α0=10°,β0=5°,ωx,10=0.349 rad/s,ωy,10=-0.349 rad/s,ωz,10=0.524 rad/s。參考文獻[24],導彈動力學參數如表1所示。

表1 導彈動力學參數

控制器參數選取為:ρ1=0.6,ρ2=1,b=3/5,c=0.5,δ=0.01,l11=l12=3,l21=l22=8,l31=l32=20,l41=l42=15,m11=m12=33,m21=m22=12,m31=m32=10,m41=m42=10,μ1=μ2=μ3=5,n21=n22=12,n31=n32=10,n41=n42=10,γχ1=γχ2=γχ3=0.001,τ1=τ2=τ3=0.1。

仿真中引入基于傳統動態面控制的制導控制一體化設計方法(DIGC)和文獻[24]提出的制導控制一體化魯棒設計方法(RIGC)。設定Δα=Δβ=Δγ=0.2sint,Δωx1=Δωy1=Δωz1=sint,舵偏角的變化范圍為[-10°,10°],期望視線傾角和偏角分別為-60°和0°。假設導彈的轉動慣量存在0.1sin(0.2πt)的不確定性,氣動力矩和力矩系數存在0.2sin(0.2πt)的不確定性。

仿真結果如表2和圖2～圖8所示。

圖8 舵偏角曲線

表2 不同一體化制導控制律的仿真結果

圖2 彈道軌跡

由圖2可以看出,在3種一體化制導控制律的作用下,導彈都能平穩向目標飛行,彈道均較為光滑。由圖3和圖4可以看出,3種一體化制導控制律都能使彈目視線角ε和η逐漸收斂至期望值εd和ηd附近。其中,PIGC的收斂速度最快,體現了其有限時間快速收斂特性。DIGC和RIGC的彈目視線角在制導末段有一定的發散趨勢,尤其是DIGC發散較為明顯。這主要是由于PIGC采用擴張狀態觀測器對系統擾動和不確定進行了補償,增強了系統的魯棒性。而在制導末段DIGC和RIGC自身的魯棒性不能有效對抗干擾,因此產生發散現象。由圖5可以看出,3種一體化制導控制律的脫靶量,PIGC最小,RIGC次之,說明PIGC具有較高的制導精度。

圖3 彈目視線傾角曲線

圖4 彈目視線偏角曲線

圖5 彈目相對距離曲線

由圖6和圖7可以看出,在PIGC和RIGC的作用下,導彈攻角、側滑角、滾轉角以及姿態角速度能夠有限時間收斂至0附近,且PIGC收斂速度更快,收斂精度更高,而DIGC有一定的發散現象。由圖8可以看出,PIGC的3個通道的舵偏角均沒有超過最大限幅,且在后期均逐漸收斂至0附近。這是由于PIGC對輸入飽和問題進行了考慮和處理。DIGC和RIGC的俯仰和偏航通道舵偏角在制導初段都達到了幅值上限。

圖6 攻角、側滑角和滾轉角曲線

圖7 角速度曲線

表2給出了采用3種不同的一體化制導控制律下,攻擊時間、視線角偏差和脫靶量的仿真結果,可以看出,與DIGC和RIGC相比,PIGC的攻擊時間、視線角偏差和脫靶量均最小,具有較高的制導精度和角度約束精度。

綜合2種仿真情形的仿真結果分析,可以得出結論:在不同攻擊角度約束條件下,PIGC都能以期望的攻擊角度精確命中目標,脫靶量在1 m以內。并且能使彈目視線角和攻角等狀態變量有限時間快速收斂,保證舵偏角在設定的幅值范圍內變化。相比DIGC和RIGC,PIGC能以更短的時間、更小的脫靶量和更高的角度約束精度命中目標,且其狀態變量的收斂速度更快。仿真結果表明了PIGC的有效性和優越性。

4 結論

本文針對攻擊角度約束、輸入飽和和模型不確定性等問題,提出了一種有限時間收斂的制導控制一體化三通道獨立設計方法。通過理論分析和仿真驗證,有如下結論:

①所提制導控制一體化算法能夠實現系統狀態的有限時間收斂。在不同的攻擊角度約束條件下,都能保證導彈以期望的攻擊角度精確命中目標。相比現有制導控制一體化算法具有更高的制導精度和更好的收斂性能。

②采用有限時間干擾觀測器對模型不確定性進行估計和補償,有效提高了制導控制系統性能。

③所提制導控制一體化算法對輸入飽和問題進行了有效處理,能夠保證舵偏角的變化不超過設定的范圍。