基于質點彈道方程的破片外彈道特性分析

劉 官,孫 浩,印立魁,馬 林,陳智剛

(1.中北大學 機電工程學院,山西 太原 030051;2.中國兵器工業試驗測試研究院,陜西 渭南 714200;3.中北大學 地下目標毀傷技術國防重點學科實驗室,山西 太原 030051)

殺傷彈丸作用時破片在爆轟產物作用下在2～3倍的裝藥半徑內加速到最大,以一定的射角向外飛行,破片速度受氣動阻力作用逐漸衰減。傳統破片速度衰減公式僅考慮了氣動阻力的影響,只適用于破片飛行距離較短的情況。而研究破片的長距離飛行,則需考慮重力作用的影響。鑒與此,本文忽略破片外形不對稱的影響,考慮了重力和氣動阻力2種因素,基于質點彈道方程對典型破片的飛行彈道進行了分析。

1 破片的外彈道方程

破片在空氣中飛行時分別受到重力和空氣阻力作用,其中重力使破片的飛行彈道發生彎曲;空氣阻力使破片速度衰減,故破片的質心運動矢量方程為

(1)

式中:v為破片速度矢量;g為重力加速度矢量;ax為阻力產生的加速度矢量,按外彈道學,有:

(2)

破片運動軌跡的切向τ和法向n組成自然坐標系,如圖1所示。

圖1 破片外彈道示意圖

由于破片速度矢量v沿破片軌跡切線方向,取切線上單位矢量τ,將v表示為v=vτ,加速度為

(3)

式中:dv/dt為切向加速度;dτ/dt表示單位矢量的矢端速度,參照炮彈外彈道理論[1],假設破片飛行攻角始終為0,只有方向在隨破片運動軌跡切線轉動,矢端速度方向與法向坐標單位矢量n相反,由于切線傾角θ不斷減小,故可將dτ/dt表示為

(4)

不考慮破片外形不對稱對氣動阻力的影響,認為破片的彈道為理想的二維彈道。按圖1中破片受力狀態,將破片質心運動矢量方程向自然坐標系兩軸分解,得到速度坐標系上破片運動方程:

(5)

對式(5)忽略重力加速度的影響,即得射線形式的破片運動方程:

(6)

對大部分破片的幾何形狀而言,破片阻力系數CD隨破片速度變化的規律相似。在常規破片的速度范圍內,破片的阻力系數隨速度的增大,先增大后減小并趨于穩定,在Ma=1.4附近破片的阻力系數達到最大,如圖2所示。

圖2 破片的阻力系數CD與速度之間的關系[2]

為限制破片阻力系數區間的劃分對計算結果產生的影響,將破片范圍分為12個區間,如表1所示。

表1 速度區間劃分及常見破片阻力系數CD值

式(1)中的形狀系數Φ為

(7)

式中:S為破片的表面積,將式(7)簡化得到如表2所示各破片形狀系數。

由于破片在爆炸驅動過程中外形改變,上述計算值偏低,一般乘1.1左右的修正系數[4],鋼破片的Φ值Φs一般范圍在3.5×10-3～5.5×10-3m2/kg2/3[5],由表2可推出相同外形下鎢破片的Φ值Φw=Φs(ρs/ρw)2/3,其值范圍在2.0×10-3～3.3×10-3m2/kg2/3。

表2 理想形狀破片形狀系數計算式

注:文獻[2-4]所給的破片阻力系數值差異較大,此處選用值偏小,算得的射程偏大。

2 典型破片外彈道計算結果

根據破片質量殺傷標準,選出2種質量的破片,分別用于殺傷人員和擊穿輕型裝甲,表3給出了破片的參數。

海拔高度H取為1 000 m,對式(5)所示的微分方程組,采用Matlab軟件調用基于龍科-庫塔方法的自適應步長的ode45函數編制程序求解。輸入破片參數如表3所示,各物理量單位制按表3設置,得出破片的彈道參數數據。

表3 設定的破片參數

圖3給出1.5 g鋼破片典型射角下的彈道,由圖可見,隨著射角的增加,破片的射程先增加后減小,存在一個20°左右的最大射程角。

圖3 1.5 g鋼球不同射角下飛散的典型彈道曲線(炸高5 m)

圖4給出2種射角下1.5 g鎢球、鋼球彈道及是否考慮重力作用的彈道(式(5)和式(6))的對比;可見近場彈道近似是直線,若認為破片的實際運動可近似分解為射線運動和自由落體運動,并認為式(5)表征的彈道與射線彈道高度方向的差值小于Δh,即可認為是彈道的直線段,結合式(6)導出式推出彈道直線段的水平長度:

圖4 1.5 g球形破片典型彈道的對比

(8)

表4給出了不同初始射角下1.5 g鋼球彈道直線段的水平長度。

表4 不同初始射角下1.5 g鋼球彈道直線段的水平長度

圖5給出1.5 g球形破片剩余動能-射程的變化曲線;1.5 g球形破片動能在其彈道上升段式(6)計算值略大,對式(5)計算值的偏差小于10%。由圖4和圖5可知,球形破片對目標的最大殺傷半徑內破片彈道按直線飛行,射線彈道(式(6))在評估本文條件下破片近場的終點效應時是適用的。

圖5 1.5 g球形破片剩余動能的對比

圖6總結了所考慮破片的初始射角對應的最大射程和落地動能。

圖6 破片最大射程和落地動能隨初始射角的變化關系

從圖中可發現:

①鋼球和鋼塊在21°射角時飛散距離最遠,分別為468 m,280 m;鋼菱形破片則在21°射角時飛散距離最遠,為170 m;鎢球和鎢塊在21°射角時飛散距離最遠,分別為1 292 m,799 m;而鎢柱破片則在21°射角時飛散距離最遠,為756 m。即破片的最大射程角約為21°,這是由于對比常規炮彈和槍彈,破片的彈道系數更大,速度更高,空氣阻力對破片運動的影響更大,其最大射程角比常規炮彈的45°和槍彈的28°～35°更小。

②隨著破片初始射角逐漸增大,破片的落地動能變化表現為先急劇減小,在約10°射角后又稍有增加。1°射角時1.5 g鋼球、鋼塊和鋼菱形破片的落地動能分別為3.8 J,1.6 J和1.7 J;9 g鎢球、鎢塊和鎢柱的落地動能分別為80 J,39 J和35 J,靶場試驗中應注意對大質量鎢破片的安全防護。

③相同質量的破片在初始射角確定的情況下,對于破片落地動能和最大射程,鋼球、鋼塊、鋼菱形破片遞減,差異明顯,鎢塊與鎢柱基本相當,而鎢球則比鎢塊和鎢柱大得多。

3 結論

本文基于質點彈道方程、經典破片阻力公式和氣動阻力系數的取值,獲得計算破片彈道的方法并且研究了各類破片在不同射角下的彈道諸元。

①構建了破片彈道的兩類方程,給出了球形、圓柱形、長方形、菱形破片的形狀系數計算式;

②得到破片彈道直線段水平距離估算式,發現破片的射線彈道方程(式(6))用于本文條件下破片近場的毀傷效應評估誤差不大;

③破片的密度、質量越小,形狀系數越大,初速越高,破片的彈道越彎曲;

④本文限定條件下,鋼破片和鎢破片最大射程對應的初始射角約為21°;

⑤隨著破片初始射角的增大,破片落地動能先急劇減小,在約10°射角后又緩慢增加。