基于一類血液檢測問題的數學模型建立和運用

2021-10-07 16:20:02徐義

廣東教學報·教育綜合 2021年107期

徐義

【摘要】血液檢測作為一種發現病毒非常有效的方式，在各種檢測和實驗中普遍應用。然而，使用不同的抽檢方案檢測效率完全不同，本文通過建立一種數學模型，簡化了求化驗次數的概率，并找到了一種比較有效的檢測方式。

【關鍵詞】血液檢測;數學模型;檢測方式

一、問題提出

科學家為研究對某病毒有效的疫苗，通過小鼠進行毒性和藥效實驗，已知5只小鼠中有1只患有這種病毒引起的疾病，需要通過檢測血液來確定患病的小鼠血液化驗結果呈陽性的即為患病小鼠，呈陰性即沒患病。下面是兩種化驗方案：

方案甲：逐個化驗，直到能確定患病小鼠為止。

方案乙：先任取3只，將它們的血液混在一起化驗。若結果呈陽性則表明患病動物為這3只中的1只，然后再逐個化驗，直到能確定患病小鼠為止;若結果呈陰性則在另外2只中任取1只化驗。

試通過檢驗次數的期望值判斷哪一個方案的效率更高，并說明理由。

問題解決：設檢測次數為隨機變量X，則X的可能取值為1，2，3，4.

故方案甲化驗次數X的分布列為：

設方案乙化驗次數為Y，則Y可能取值為2，3。

Y=2時的情況為先驗三只結果為陽性，再從中逐一檢驗時，恰好一次檢驗出，或先驗三只結果為陰性，再從其他兩只中取出一只檢驗;

Y=3時的情況為先驗三只結果為陽性，再從中逐一檢驗時，第一次檢驗為陰性。則

故方案乙化驗次數Y的分布列為：

則，所以乙方案的效率更高。

在解決這個問題過程中，求化驗次數概率過程比較麻煩，容易出錯，下面筆者設計一個數學模型來求解化驗次數概率。

二、模型建立

在5只小鼠中，其中有1只陽性，4只陰性，實際上就是把1個貼有陰性的小球，4個貼有陽性的小球放在五個位置上，每一種擺放方式就是一個基本事件，則共有=5個基本事件，求檢測次數的概率就是古典概型問題，檢驗m（m=1，2…5）次的概率就是m次包含基本事件的個數除以5，通過表格建立數學模型，所以基本事件列舉如下：

通過以上表格建立模型檢驗次數和分布列就非常清楚了。

三、模型運用

如果上述問題種的5只小鼠中1只患有疾病發展為2只患有疾病，哪種方案效率更高呢？

模型運用：在5只小鼠中，其中有2只陽性，3只陰性，實際上就是把2個貼有陽性的小球3個貼有陰性的小球放在5個位置上，每一種擺放方式就是一個基本事件，則共有=10個基本事件，所以基本事件列舉如下：

四、模型推廣提升

如果n只小鼠中有只患有這種病毒引起的疾病，判斷哪一個方案的效率更高？

模型推廣：在n只小鼠中，其中有2只陽性，n-2只陰性，實際上就是把2個貼有陽性的小球和3個貼有陰性的小球放在n個位置上，每一種擺放方式就是一個基本事件，則共有個基本事件，所以基本事件列舉如下：

所以對于方案甲X的分布列為：

所以對于方案乙Y的分布列為：

當n≤6時，EXEY 。

即有不超過6個樣本時，選擇逐一檢測比較快，效率高。

即有超過6個樣本時，選擇先分3個一組檢驗，然后再逐一檢測，效率高。