一種時變交互多模型融合目標跟蹤方法

欒鑄徵，俞成龍，顧 兵，趙先濤

(中國船舶重工集團公司第723 研究所，江蘇 揚州 225101)

0 引言

因為目標受航路、動力及環境等因素影響，目標總是在做機動運動，例如反艦導彈末端變軌，高空制導炸彈拋物線運動時受到空氣阻力和重力的作用，旋翼無人機受人為控制飛飛停停等。這種機動性往往是不可預測的，使用單一固定的濾波模型很難準確跟蹤機動目標狀態，濾波器結果會發散，導致跟蹤失敗。因此由Blom 和Bar-Shalom 提出交互多模型(IMM)算法，采用基于位置、勻速、勻加速、Singer 等多種濾波并存方式，目標狀態估計是多個濾波器交互作用的結果，采用馬爾可夫(Markov)鏈控制模型間的交互，把各個模型上一時刻的濾波值進行交互作用作為各模型的下一時刻的輸入，然后分別進行濾波，得到的結果進行模型概率加權輸出作為最終的結果，效果比單模型的好，從而IMM 算法廣泛應用到各個領域[1-4]。但在常規IMM中馬爾可夫轉移概率矩陣是固定值，并且模型概率是通過卡爾曼濾波(Kalman)更新過程中產生的殘差來更新模型概率，模型概率更新及模型概率轉移沒有結合當前的目標狀態分布。所以本文提出了以模型間似然函數(Likelihood Function)及多模型貝葉斯后驗估計(Bayesian Estimation)融合思想，采用當前模型跟蹤結果更新模型交互概率和以貝葉斯估計融合多模型輸出作為目標狀態更新值，與目標實際機動情況更加符合，本文對強機動目標和擾動靜態目標進行了基于Kalman 濾波器的時變IMM 模型融合算法(TV-IMM)和常規IMM 方法(C-IMM)仿真，結果表明時變IMM 模型融合算法比常規IMM 方法更有效。

1 時變交互多模型融合理論分析

本方法仍然采用IMM 處理架構，時變交互多模型融合濾波算法原理是同時使用多種濾波器對應多個運動模型，基于貝葉斯后驗估計的方法得到目標當前狀態的最小均方差估計。首先根據模型概率和模型交互馬爾可夫轉移概率完成各個模型之間的輸入交互作用，結果輸入給各個濾波器預測和更新狀態，用各個濾波器目標狀態分布求解模型間馬爾可夫轉移概率，同時輸入給多模型融合器，根據貝葉斯后驗概率估計原理得到目標狀態分布更新，再根據似然函數原理更新模型概率，從而完成多模型濾波的閉環跟蹤。

與常規IMM 不同點在于馬爾可夫轉移概率矩陣計算方法、目標狀態分布更新算法、模型概率更新算法上有不同。該濾波器實現流程如圖1 所示，假設有r 個卡爾曼濾波器模型同時用于目標跟蹤，模型間滿足相互獨立的多維高斯分布特性。TV-IMM 算法可總結為如下5步：模型輸入相互作用、模型濾波輸出、模型輸出融合、模型概率更新、模型間轉移概率更新。

圖1 時變交互多模型融合濾波器結構

1.1 模型輸入交互作用[1-5]

該過程和IMM 交互多模型一致，就是把各濾波器初始條件混合。利用上一步k-1 時刻得到的模型概率μj(k-1)和馬爾可夫(Markov)交互概率矩陣交互作用，產生新的模型交互概率，代表了模型間相互影響的程度。交互概率作用在每一個模型的濾波結果(k-1|k-1)，Pj(k-1|k-1)，其中j=1，…，r，得到輸入交互，馬爾可夫轉移矩陣πij表示：

Markov 矩陣第i 行表示第i 個模型轉換為其他模型的概率。第j 列表示由其他模型轉換到第j 個模型的概率。由于各個模型對目標跟蹤影響程度不同，用模型概率ui表示模型i的影響程度，則第i 個模型轉化為第j 個模型的概率修正為：

可見模型概率ui影響模型交互概率uij(0)，模型間轉化概率滿足概率空間完備性，即第j 列概率總和為1：

概率空間由修正概率組成，所以模型交互概率由歸一化為：

第j 個模型協方差為：

模型輸入交互結果為r 個濾波器提供輸入。

1.2 模型濾波輸出[4-6]

濾波器是基于卡爾曼濾波原理，利用觀測空間得到的結果更新狀態空間的目標信息，是最小均方誤差估計，方程如下：

其中：j 表示第j 個模型；xj(k)是k 時刻系統狀態變量，是dj×1 維列向量，dj為目標狀態維數；Zj(k)是k 時刻的系統量測變量，是nj×1 維列向量，nj為觀測向量維數；φj(k)是狀態轉移矩陣，是dj×dj矩陣；Hj(k)是測量矩陣，是nj×dj矩陣；Wj(k)是高斯型模型白噪聲，0 均值，協方差為Qj(k)，是dj×dj矩陣；Vj(k)是高斯型量測白噪聲，0 均值，協方差為Rj(k)，是nj×nj矩陣。濾波器輸入是基于混合初始狀態估計(k-1|k-1)和協方差(k-1|k-1)，應用卡爾曼濾波計算k 時刻模型j的狀態估計(k|k)和協方差Pj(k|k)。

狀態預測：

狀態更新：

其中kj(k)是增益矩陣，vj(k)是殘差，Sj(k)是殘差協方差矩陣。從而，模型j的狀態概率分布可以表示為(dj為模型維數)：

本步驟完成了各濾波器對目標狀態分布估計。

1.3 模型結果融合輸出[6-8]

傳統IMM 算法是用各個模型濾波結果與模型概率加權乘積求和后得到目標狀態分布更新，所以IMM 是一種趨勢控制正確的近似估計，而不是統計意義下的最優估計。本文采用貝葉斯后驗估計融合方法得到最優后驗概率分布估計，在第2 步中得到各個模型的卡爾曼濾波狀態矢量，每一個結果代表了模型后驗概率目標分布估計，根據式(9)得到第j 個模型的目標狀態后驗概率分布為，Pj(k|k))，那么根據貝葉斯估計原理，由r個濾波模型同時產生的目標狀態后驗分布可表示為：P(x(k|k)|x1(k|k)，…，xr(k|k))，由于各個模型間是相互獨立多維高斯分布，因此有：

根據貝葉斯估計原理，最佳估計就是后驗概率分布的期望，即：

而對于模型j，由式(10)得到概率表達式為：

從而結合式(10)，得到融合后狀態分布顯式表達，得到融合期望均值和協方差如下：

本步驟完成了目標狀態融合，獲得了貝葉斯后驗概率分布的最優估計。

1.4 模型概率更新

傳統的IMM 算法中，模型概率更新是通過殘差及協方差，計算殘差的似然度，再結合模型輸入交互概率來計算模型概率，沒有考慮多模型交互更新后的目標分布。本文用多模型融合后的目標狀態分布計算各個模型似然函數，可以消除部分狀態預測誤差和觀測值誤差影響，提高模型準確度。在第3 步，多模型融合結果輸出代表了最優貝葉斯后驗估計的目標狀態分布，以各個模型濾波結果在融合輸出分布的似然函數，作為模型概率更新的似然度，來更新模型概率，根據似然函數公式，模型j的似然函數計算為：

以uj表示模型概率，根據概率空間完備性總和為1，即：

概率空間由似然函數構成，所以概率空間根據模型似然度歸一化為：

本步驟完成了模型概率更新計算，為1.1 節k+1 時刻計算模型轉移概率提供了輸入。

1.5 模型間轉移概率計算

傳統的IMM 算法中，馬爾可夫概率轉移矩陣是固定取值。本文提出了以各個模型濾波值為中心，各個模型濾波輸出結果代表了該處理方法對目標狀態分布的估計，模型交互定義為各個模型處理的結果在其他模型輸出分布的似然函數，作為模型轉化概率更新值。即模型i的濾波值在模型j的目標狀態分布似然函數，作為模型i 在模型j的概率分布；模型j 自身的似然度由自身模型計算，從而模型i 到模型j的似然函數為：

πij表示模型i 到模型j的轉移概率，j 取值1 到r，根據概率空間完備性概率總和為1。

概率空間由模型似然函數構成，所以模型轉化概率由似然度歸一化，從而有：

本步驟得到模型間轉移概率，為1.1 節提供了k+1時刻時變Markov 轉移概率矩陣。

2 時變IMM與常規IMM 方法仿真比較

2.1 仿真場景設計

時變IMM 融合方法與常規IMM 方法進行了蒙特卡羅仿真對比，模擬兩類不易跟蹤的目標場景，強機動目標場景和強擾動靜態目標場景，進行了50 次隨機航路的仿真。首先根據Kalman 濾波原理，對目標狀態空間和目標觀測空間建模。

(1)目標狀態空間建模

機動目標的運動模型可以通過具有加性加速度高斯噪聲的統計來描述，所以本文采用勻速目標狀態疊加加速度噪聲模型來建模，通過控制參數和狀態初始化，模擬產生強機動目標和靜態擾動目標。

目標狀態方程為：

w(k)的機動目標協方差矩陣為：

其中a 為加速度標準差，取值為0.2。

擾動靜態目標協方差矩陣為：

其中a 為速度標準差,取值為0.2。△t 取值為0.5。

(2)目標觀測空間建模

采用兩種模型建立觀測空間，模型1 是位置模型，模型2 是常速度模型對目標跟蹤。觀測目標狀態為：

其中：模型1 觀測矩陣H1=，模型1 觀測噪聲V1(k)的協方差矩陣為R1=b2，其中b 為模型1 觀測誤差，取值為0.5。

模型2 觀測矩陣H2=，模型2 觀測噪聲V2(k)的協方差矩陣為R2=b2，其中b 為模型2觀測誤差，取值為0.5。

(3)常規IMM 算法馬爾可夫轉移概率矩陣：

2.2 仿真結果

2.2.1 強機動目標仿真結果

根據2.1 節的建模進行仿真，由于加速度較大，因此目標始終處于強機動狀態，單次航路仿真跟蹤曲線見圖2，仿真了目標真實位置、模型1 跟蹤、模型2 跟蹤、時變IMM 融合跟蹤、常規IMM 跟蹤，共計5 條曲線，從圖可見，4種方法都可以跟蹤目標。圖3 是航路誤差統計。

圖2 強機動目標航路跟蹤仿真結果圖

圖3 強機動目標誤差跟蹤仿真結果圖

強機動目標50 次隨機航路蒙特卡羅仿真結果如圖4 所示，可見時變IMM 融合方法效果最好，航跡誤差曲線在最下方，而常規IMM 方法誤差曲線介于兩個模型之間。航跡誤差統計分布結果見表1。

表1 強機動目標蒙特卡羅仿真結果分析表

圖4 強機動目標50 次蒙特卡羅誤差仿真結果

2.2.2 強擾動靜態目標仿真結果

強擾動靜態目標一次航路仿真跟蹤曲線見圖5，從圖5 可見，模型2 跟蹤發散，模型1、時變IMM 融合和常規IMM 方法可以跟蹤目標。圖6 是航路誤差統計，可見時變IMM 融合精度最好，常規IMM 精度在兩個單模型之間。

圖5 強擾動靜態目標航路跟蹤仿真圖

圖6 強擾動靜態目標誤差仿真圖

強擾動靜態目標50 次蒙特卡羅仿真精度結果如圖7所示，時變IMM 融合方法航跡誤差曲線精度最好，分布在下方。統計的航跡誤差分布結果見表2，時變IMM 融合效果顯著。

表2 強擾動靜態目標蒙特卡羅仿真結果分析表

圖7 強擾動靜態目標50 次蒙特卡羅誤差仿真結果

3 結論

本文應用似然函數理論實現了時變馬爾可夫概率轉移矩陣和目標模型概率更新方法，應用貝葉斯估計理論實現了多模型融合，得到目標最優貝葉斯后驗準確估計。蒙特卡羅仿真結果驗證表明，傳統IMM 方法可以解決目標跟蹤的連續性問題，但是并沒有提高跟蹤精度，相反時變IMM 融合方法不但解決了目標跟蹤的連續性問題，還提高了跟蹤精度。時變IMM 融合方法在航跡跟蹤連續性、航跡誤差和精度方面，統計結果都優于傳統IMM 方法，原因是時變IMM 融合方法與目標實際狀態更加吻合。所以理論和仿真結果都表明時變IMM 融合算法能更加準確及時地跟蹤目標，對跟蹤復雜機動目標有現實意義。