動(dòng)態(tài)規(guī)劃在水庫優(yōu)化調(diào)度中的應(yīng)用

公 麗

（華北水利水電大學(xué)，河南 鄭州 450045）

1 優(yōu)化的概述

在水庫調(diào)度過程中，如何能兼顧防洪、灌溉、發(fā)電等綜合效益，是當(dāng)前面臨全球水資源短缺且在一定量的水資源下的重要問題[1]。為了充分發(fā)揮水利水電工程的經(jīng)濟(jì)效益，需要進(jìn)行水庫優(yōu)化調(diào)度。

1.1 水庫優(yōu)化調(diào)度的概念

水庫優(yōu)化調(diào)度是一個(gè)多階段決策過程的最優(yōu)化問題。水庫優(yōu)化調(diào)度是運(yùn)用系統(tǒng)分析的觀點(diǎn)和方法來研究水利水電工程的調(diào)度，即將一個(gè)水庫或者水庫群視為一個(gè)系統(tǒng)，水庫來水量作為輸入，防洪、發(fā)電等綜合效益視為輸出，庫容的大小、水位變幅、機(jī)組裝機(jī)容量等限制就是環(huán)境約束，通過建立以水庫調(diào)度效益為中心的目標(biāo)函數(shù)，擬定相應(yīng)的約束條件，然后用優(yōu)化的方法求解目標(biāo)函數(shù)和約束條件組成的系統(tǒng)方程組，使得目標(biāo)函數(shù)取的極值，即獲得水利水電工程的最佳效益。

1.2 優(yōu)化方法的概述

動(dòng)態(tài)規(guī)劃是最優(yōu)化技術(shù)中一種適用范圍很廣的基本數(shù)學(xué)方法，是解決多階段決策過程中最優(yōu)化問題的一種數(shù)學(xué)方法[2]。應(yīng)用水庫是，將徑流過程視為是確定的，把水庫蓄水量進(jìn)行離散作為狀態(tài)變量，把放水量作為決策變量，把發(fā)電、防洪和灌溉綜合效益作為目標(biāo)，每一時(shí)段的放水量使整個(gè)周期內(nèi)的目標(biāo)函數(shù)值達(dá)到最大的決策組成的策略就是最優(yōu)的調(diào)度方案。

2 數(shù)學(xué)模型及動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型

數(shù)學(xué)模型是指為了某種目的，用字母、數(shù)字及其他數(shù)學(xué)符號(hào)建立起來的等式或者不等式以及圖表、圖像、框圖等描述客觀事物的特征以及內(nèi)在聯(lián)系的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)表達(dá)式。為進(jìn)行水利水電工程優(yōu)化調(diào)度而建立的數(shù)學(xué)模型，通常是由最優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)和約束條件兩部分組成。

由貝爾曼提出的動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法是按時(shí)間或空間將過程分解為若干階段，是解決多階段決策過程的一種優(yōu)化技術(shù)。一般將蓄水量作為狀態(tài)變量，放水量作為決策變量，用水量平衡方程作為狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程，并按時(shí)間順序劃分為階段，根據(jù)所求目標(biāo)及貝爾曼最優(yōu)原理寫出遞推方程。這樣將具有最大量的變量的復(fù)雜問題分解為一系列簡單的小問題用地推方法求解。下面介紹在數(shù)學(xué)模型和動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法中的部分概念。

2.1 最優(yōu)準(zhǔn)則與目標(biāo)函數(shù)

最優(yōu)準(zhǔn)則是衡量水庫運(yùn)行方式是否達(dá)到最優(yōu)的標(biāo)準(zhǔn)。對(duì)于單目標(biāo)或以某一目標(biāo)為主的水庫，最優(yōu)準(zhǔn)則較為簡單，如：（1）以發(fā)電為主的水庫，可以在滿足其他部門用水要求的前提下，電力系統(tǒng)的電力支出是最小、系統(tǒng)耗水量最小或者系統(tǒng)發(fā)電量最多等。（2）對(duì)于以防洪為主的水庫，可以是在滿足其他綜合利用的要求下，削減洪峰后的下泄成災(zāi)流量最小或超過安全泄量的加權(quán)歷時(shí)最短的等。（3）對(duì)于多目標(biāo)水庫或者復(fù)雜的水利系統(tǒng)，則應(yīng)以綜合性指標(biāo)最優(yōu)為好，以國民經(jīng)濟(jì)效益最大或者國民經(jīng)濟(jì)費(fèi)用最小等。

優(yōu)化調(diào)度的目標(biāo)函數(shù)的具體形式依據(jù)所擬定的最優(yōu)準(zhǔn)則而定，就拿以防洪為單一目標(biāo)的水庫來說，為了避免下游地區(qū)在洪水來臨的時(shí)候造成太大的損失，一般都需要進(jìn)行控制下泄流量，此時(shí)目標(biāo)函數(shù)可以由三種形式：最大削峰準(zhǔn)則、最短洪水淹沒歷時(shí)準(zhǔn)則、最小洪災(zāi)損失或最小防洪費(fèi)用準(zhǔn)則。在本次論文的應(yīng)用實(shí)例中，采用了最大削峰為目標(biāo)函數(shù)，在入庫洪水、區(qū)間洪水、防洪庫容、下游允許泄量和溢洪道泄洪能力等均已知的情況下，最大削峰準(zhǔn)則就是要在蓄滿防洪庫容的條件下盡量使下泄流量均勻。數(shù)學(xué)上已經(jīng)給出了結(jié)論，當(dāng)使下泄流量均勻的時(shí)，即使下泄流量的平方和最小。

2.2 約束條件

水庫優(yōu)化調(diào)度中的約束條件，一般包括水庫運(yùn)行中的蓄水位的限制、水庫泄水能力的限制、水電站裝機(jī)容量的限制、水庫及下游防洪要求的限制和水量與電量平衡的限制以及調(diào)度時(shí)必須考慮的邊界條件等，通常以數(shù)學(xué)方程的形式表達(dá)，包括等式約束與不等式約束，組合成約束條件組。

水庫發(fā)電的約束條件一般有以下幾個(gè)方面：

1.水庫蓄水位的限制：各個(gè)時(shí)段的庫容大于相應(yīng)時(shí)段允許的最小庫容和最大庫容。

2.水電站機(jī)組容量的限制：各個(gè)時(shí)段水電站的出力大于水電站的最小出力和最大出力。

3.下泄流量約束：各個(gè)時(shí)段的下泄流量大于水電站的最小和最大下泄流量。

4.水量平衡方程：在某個(gè)時(shí)間段內(nèi)，入庫流量與出庫流量之差等于庫容的變化。

5.非負(fù)條件約束：qi>=0（i=1,2,3,4,.....T）。

2.3 階段變量、狀態(tài)變量及決策變量

把調(diào)解期劃分為T 個(gè)時(shí)段，以i（i=1,2,3,......T）表示，其中i-1～i 時(shí)段為當(dāng)前面臨的時(shí)段，將年內(nèi)的離散時(shí)段取為階段變量。以水庫的蓄水位為狀態(tài)變量，分別以Zi-1、Zi表示第i 時(shí)段的初、末蓄水位，本階段末的水庫蓄水位即是下階段初水庫蓄水位。決策變量就是模型的目標(biāo)變量，當(dāng)以調(diào)解期內(nèi)發(fā)電量最大為目標(biāo)函數(shù)時(shí)，決策變量就是水電站發(fā)電出力，但本次論文是要求各時(shí)段的下泄流量，所以把水庫各時(shí)段的放水量作為決策變量。

2.4 動(dòng)態(tài)規(guī)劃的遞推方程

用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法解決水庫的最優(yōu)調(diào)度問題時(shí)，主要是逐階段使用遞推方程擇優(yōu)。遞推方程的具體形式與遞推順序和階段變量的編號(hào)有關(guān)，若逆序遞推且階段變量的序號(hào)與階段初的序號(hào)一致時(shí)，水電站水庫優(yōu)化調(diào)度問題的遞推方程式為：

式中：Ni(V(i-1),qi)為面臨第i 個(gè)時(shí)段在時(shí)段初狀態(tài)為V(i-1)和該時(shí)段決策變量為qi 時(shí)所得的出力；f(i+1)(Vi)為余留期最優(yōu)出力之和；fi(V(i-1))為從第i 個(gè)時(shí)段初庫容V(i-1)出發(fā)，到第T 個(gè)時(shí)段的最優(yōu)出力之和。

本題就是用逆序遞推法找最優(yōu)的下泄流量。

3 應(yīng)用實(shí)例

題目：某水庫設(shè)有泄流底孔和河岸式溢洪道。防洪限制水位110m，設(shè)計(jì)洪水位115.9m，防洪高水位114.25m，水庫庫容曲線與泄流曲線見上表1。水庫下游標(biāo)準(zhǔn)P=1%，當(dāng)起調(diào)水位為防洪限制水位，遇P=1%洪水時(shí)，求以最大削峰準(zhǔn)則的最優(yōu)防洪調(diào)度過程（見上表2）。

表1

表2

解：將以上洪水過程劃分為n=4 個(gè)時(shí)段，將庫水位110～114.25m 防洪庫容按6（m3/s）h 分格。然后逐時(shí)段運(yùn)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃的逆推方法求解。最大削峰流量的目標(biāo)函數(shù)為下泄流量的平方和最小，可表示為：

式中：qi 為第i 時(shí)段的下泄流量；Qi 為對(duì)應(yīng)i 時(shí)段的入庫流量；Vi 為第i 時(shí)段的水庫庫容。

約束條件：

1.防洪庫容約束：∑(Qi-qi)Δt<=V 防

2.水庫泄洪能力約束：qi<=q(Zi,Bi)

3.下游防洪安全約束：qi+Qi<=min(q 安,q 汛限)

4.水量平衡約束：Vi=V(i-1)+(Qi-qi)Δt

5.非負(fù)條件約束：qi>=0

以上式子中：Qi 為第i 個(gè)時(shí)段的區(qū)間來水量；qi 為第i個(gè)時(shí)段的下泄流量；V 防為水庫的防洪庫容；Zi 為第i 時(shí)段初始時(shí)刻的蓄水位，Bi 為第i 個(gè)時(shí)段溢洪道的寬度；q(Zi,Bi)為第i 個(gè)時(shí)段的最大下泄能力；q 安為下游安全泄量；q 汛限為汛期限制流量；Vi 為第i 個(gè)時(shí)段的水庫庫容。

建立逆時(shí)序的遞推方程：

運(yùn)用狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程Vi=V(i-1)+(Qi-qi)Δt,可求得各對(duì)應(yīng)時(shí)段末庫容的泄量，其中Qi 為時(shí)段平均入庫流量。保留滿足諸約束條件的q 值，并平方，再與余留期的最小泄量平方值相加，求得相應(yīng)于某一時(shí)段初庫水位的下泄流量平方和最小值，即最優(yōu)子策略。一直到n=1的第一時(shí)段，即可得最優(yōu)防洪調(diào)度線。計(jì)算期末和計(jì)算期初庫容是已知的定值（見表3～表6）。

表3

表4

表5

表6

由表6 可知，最小累積量平方值min ∑qi^2=16610557，對(duì)應(yīng)的第一階段初庫容為60500（m3/s）h,時(shí)段末庫容為71632（m3/s）h,第一階段最優(yōu)泄量為1744，對(duì)應(yīng)的余留時(shí)期最小泄流平方值為13569021（m3/s）h，由該值對(duì)應(yīng)到第2 階段可得，相應(yīng)的時(shí)段末庫容為90018，第二階段最優(yōu)泄量為1996，對(duì)應(yīng)的余留時(shí)期最小泄量平方值為9585005，由該值對(duì)應(yīng)到第三階段可得，相應(yīng)的時(shí)段末庫容為103050，第三階段最優(yōu)泄量為2281，對(duì)應(yīng)的余留時(shí)期最小泄量的平方值為4382044，由該值對(duì)應(yīng)到第四階段可得，相應(yīng)的時(shí)段末庫容為109370，第四階段的最優(yōu)泄量為2093，由此逆推得整個(gè)防洪優(yōu)化調(diào)度過程。

故min ∑qi^2=16610557（m3/s）^2，所得最優(yōu)調(diào)度庫容是由防洪限制水位對(duì)應(yīng)的60500（m3/s）、71632（m3/s）、90018（m3/s）、103050（m3/s）至防洪高水位對(duì)應(yīng)的109370（m3/s）。

綜上，本例求得的最優(yōu)調(diào)度線是由防洪限制水位110m經(jīng)111.06m、112.73m、113.77m 再到114.25m,各時(shí)段最優(yōu)泄量分別為1744（m3/s）、1996（m3/s）、2281（m3/s）、2093（m3/s）。

4 結(jié)語

動(dòng)態(tài)規(guī)劃基本原理簡單明了，容易理解，方法比較靈活，結(jié)果精度較高，被廣泛的應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域。