角平分線的運用技巧

楊文金

三角形的角平分線是三角形的主要線段之一，它在幾何計算或證明中起著“橋梁”的作用. 若幾何圖形中出現(xiàn)角平分線，可聯(lián)想角平分線的特性，利用如下三種求解策略解決問題.

一、圖中有角平分線，向兩邊作垂線

例1 如圖1，Rt△ABC中，∠C = 90°，用尺規(guī)在BC，BA上分別截取BE，BD，使BE = BD;分別以D，E為圓心，以大于[12]DE的長為半徑作弧，兩弧在∠CBA內交于F;作射線BF交AC于點G. CG = 1，P為AB上一動點，則GP的最小值為（ ）.

A. 無法確定 B. 0.5 C. 1 D.2

解析：如圖1，過點G作GH⊥AB于H. 根據(jù)角平分線的性質定理證明GH = GC = 1，利用垂線段最短即可求得GP的最小值為1. 故選C.

例2 如圖2，已知∠BCD = 90°，BD平分∠ABC，AB = 6，BC = 9，CD = 4，則四邊形ABCD的面積是（ ）.

A. 24 B. 30 C. 36 D. 42

解析：過D作DE⊥AB，交BA的延長線于E，根據(jù)角平分線的性質得到DE = CD = 4，則四邊形ABCD的面積 = [12]BC?CD + [12]AB?DE = 18 + 12 = 30. 故選B.

二、角平分線 + 垂線，“三線合一”試試看

例3 如圖3，AD平分∠BAC，CE⊥AD于E. 求證：∠ACE = ∠B + ∠ECD.

解析：注意到AD平分∠BAC，CE⊥AD，聯(lián)想等腰三角形“三線合一”，延長CE交AB于點F，構造△FEA ≌ △CEA，則∠ACE = ∠AFE，于是∠ACE = ∠AFE = ∠B + ∠ECD.

三、角平分線 + 平行線，等腰三角形即呈現(xiàn)

例4 如圖4，AB = AC，D是BC的中點，連接AD，BE平分∠ABC交AC于點E，過點E作EF[?]BC，交AB于點F.（1）若∠C = 36°，求∠BAD;（2）求證：FB = FE.

解析：（1）利用等腰三角形“三線合一”，證明∠ADB = 90°，由等腰三角形性質可求得∠BAD = 54°.

（2）由EF[?]BC可得∠FEB = ∠CBE，由BE平分∠ABC可得∠ABE = ∠CBE，則∠FBE = ∠FEB，于是FB = FE.

（作者單位：山東省棗莊市第二中學）