最短路徑怎么找

朱華平

[真題呈現]

例1（2020·江蘇·南京）如圖1①，要在一條筆直的路邊[l]上建一個燃氣站，向[l]同側的[A]，[B]兩個城鎮分別鋪設管道輸送燃氣. 試確定燃氣站的位置，使鋪設管道的路線最短.

（1）如圖1②，作出點[A]關于[l]的對稱點[A]'，線段[A'B]與直線[l]的交點[C]的位置即為所求，即在點[C]處建燃氣站，所得路線[A—C—B]是最短的. 為了證明點[C]的位置即為所求，不妨在直線[l]上另外任取一點[C']，連接[AC']，[BC']，證明[AC+CB<AC′+C'B]. 請完成此證明.

（2）如果在[A]，[B]兩個城鎮之間規劃一個生態保護區，燃氣管道不能穿過該區域. 請給出生態保護區是正方形區域且位置如圖1③所示情形下鋪設管道的方案（不需說明理由）.

[破解策略]

解決最短路徑問題，關鍵是通過作A，B中的一個點關于直線l的對稱點，將直線同側的兩點轉化為直線異側的兩點，再運用“兩點之間，線段最短”來確定最短路徑. 因此，解決最短路徑問題，常用到如圖1①、圖1②所示的兩個基本圖形.

（1）如圖1②，易知AC + BC = A'C + BC = A'B，要證明AC + BC

（2）如圖2，顯然最短路徑必須經過正方形右下角的頂點D，根據“兩點之間，線段最短”，可知B，D間的最短路徑是線段BD，而A，D位于直線l的同側，運用（1）中的方法，作點A關于直線l的對稱點[A']，連接A'D交直線l于點C，則A到直線l再到D的最短路徑是A—C—D，進而找到了最短路徑為A—C—D—B，即在點[C]處建燃氣站，鋪設管道的最短路線是折線[ACDB]（其中點[D]是正方形的頂點）.

[原題延伸]

變式1 在三角形中研究最短路徑.

例2 如圖3，等腰三角形ABC底邊BC的長為4 cm，面積是12 cm2，腰AB的垂直平分線EF交AC于點F，若D為BC邊上的中點，M為線段EF上一動點，則△BDM的周長最短為_____________cm.

解析：如圖4，連接AD，∵點D是等腰三角形ABC的邊BC的中點，∴AD⊥BC.

由S△ABC = 12 cm2，可得AD = 6 cm.

∵EF是線段AB的垂直平分線，∴點B關于直線EF的對稱點為點A，

∴AD的長為BM + MD的最小值，∴△BDM的最短周長 = （BM + MD） + BD = 8（cm）. 故應填8.

變式2 在正方形中研究最短路徑.

例3 如圖5，在正方形ABCD中，E，F分別為AD，BC的中點，P為對角線BD上的一個動點，則下列線段的長等于AP + EP最小值的是（ ）.

A. AB B. DE C. BD D. AF

解析：如圖6，作E關于BD的對稱點E′，連接AE′交BD于點P，

∴AP + EP的最小值為AE′.

∵E為AD的中點，∴E′為CD的中點.

∵四邊形ABCD是正方形，∴AB = BC = CD = DA，∠ABF = ∠AD E′ = 90°，

∴DE′ = BF，∴△ABF ≌ △AD E′，∴AE′ = AF，

∴AF等于AP + EP的最小值. 故選D.

變式3 在直角坐標系中研究最短路徑.

例4 如圖7，點M，N的坐標分別為（1，4）和（3，0），點Q是y軸上的一個動點，且M，N，Q三點不在同一直線上，當△MNQ的周長最小時，求點Q的坐標.

解析：如圖8，作點N關于y軸的對稱點N′，連接MN′交y 軸于點Q，

則此時△MNQ的周長最小.

∵點N的坐標是（3，0），∴點N′的坐標是（-3，0）.

過點M作MD⊥x軸，垂足為點D. ∵點M的坐標是（1，4），∴N′D = MD = 4，

∴∠MN′D = 45°，∴N′O = OQ = 3，即點Q的坐標是（0，3）.

變式4 在實際問題中研究最短路徑.

例5 如圖9，草地邊緣OM與小河河岸ON在點O處形成30°的夾角，牧馬人從A地出發，先讓馬到草地吃草，然后再去河邊飲水，最后回到A地. 已知OA = 2 km，請在圖中設計一條路線，使所走的路徑最短，并求所行的整個路程.

解析：如圖9，分別畫出點A關于OM，ON的對稱點B，C，

連接BC，分別交OM，ON于點D，E，連接AD，AE，

則線段AD，DE，EA即為所走的最短路徑.

由題意得OB = OA = OC = 2，∠BOC = 60°，∴△OBC為等邊三角形，∴BC = 2.

故所行的整個路程為2 km.

（作者單位：江蘇省興化市戴澤初級中學）