千姿百態的等邊三角形

李蘇娟

真題呈現

例1（2020·貴州·黔東南·第25題①）如圖1，△ABC和△DCE都是等邊三角形，△BCD與△ACE是否全等？若全等，加以證明;若不全等，請說明理由.

追根溯源

八年級上冊第83頁第12題：如圖2，△ABD，△AEC都是等邊三角形. 求證：BE = DC.

本題考查等邊三角形的性質、全等三角形的判定與性質. 教科書中多次出現這個基本圖形.

破解策略

解例1的關鍵是尋找或構造基本圖形，再運用基本圖形的有關知識不難找到解題路徑. 求解例1需熟知的兩個基本圖形是等邊三角形模型（圖3）和手拉手全等三角形模型（圖4）.

解析：如圖1，△BCD與△ACE全等. 理由：

[∵△ABC]和[△DCE]都是等邊三角形，[∴AC=BC]，[DC=EC]，[∠ACB=∠DCE=60°]，

[∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD]，即[∠BCD=∠ACE].

在[△BCD]和[△ACE]中，∵CD = CE，[∠BCD=∠ACE]，BC = AC，[∴△BCD≌△ACE]（SAS）.

原題延伸

變式1 轉動圖1中△CDE的位置，使點B，C，E在一條直線上，設出BD，AE與兩個等邊三角形的邊AC，DC的交點.

例2 如圖5，C為線段BE上一動點（不與點B，E重合），在BE同側分別作正三角形ABC和正三角形CDE，BD與AE交于點O，BD與AC交于點M，AE與CD交于點N，連接MN. 以下五個結論：① BD = AE; ② MN[?]BE;③ BM = AN;④ DE = DM;⑤ ∠BPA = 60°. 恒成立的有_________（把你認為正確的序號都填上）.

解析：∵△ABC與△DCE為等邊三角形，

∴CD = CE，AC = BC，∠BCD = ∠ACE = 120°，

∴△BCD ≌ △ACE，∴BD = AE. 故①正確.

∵△ABC為等邊三角形，∴AC = BC，∠ACB = ∠DCE = 60°.

∴∠ACD = 180° - ∠BCA - ∠DCE = 180° - 60° - 60° = 60°.

∵△BCD ≌ △ACE，∴∠DBE = ∠CAE，∴△BCM ≌ △ACN，

∴MC = CN，∴△MCN為等邊三角形，∴∠MNC = ∠NCE = 60°，∴MN[?]BE. 故②正確.

∵△MNC是等邊三角形，∴CN = CM.

∵∠BCM = ∠ACN，BC = AC，∴△BMC ≌ △ANC，∴BM = AN. 故③正確.

∵DC = DE，∠MCN = ∠CMN = 60°，∴∠DMC>60°，∴DM ≠ DC，即DM ≠ DE. 故④錯誤.

∵∠CBM = ∠PAM，∠ABC = 60°，∴∠ABM + ∠PAM = 60°.

∵∠ABC = 60°，∴∠BPA = 180° - （∠ABM + ∠PAM） - ∠BAC = 60°. 故⑤正確. 因此填①②③⑤.

變式2 在圖5中，取BD，AE的中點、三等分點、四等分點、……判斷分點與點C組成的三角形的形狀.

例3 如圖6，△ABC，△ECD都是等邊三角形，且B，C，E在一條直線上，連接BD，AE，點M，N分別是線段BD，AE上的兩點，且BM = [13]BD，AN = [13]AE，則△CMN的形狀是（ ）.

A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等邊三角形 D. 不等邊三角形

解析：同變式1，先證明△BCD ≌ △ACE，得到BD = AE，

再由BM = [13]BD，AN = [13]AE，得到BM = AN，

再證明△BMC ≌ △ANC，得到[∠BCM=∠ACN]，[MC=NC]，

∴[∠BCM+∠ACM=∠ACN+∠ACM=60°]，

∴[△CMN]是等邊三角形. 故選C.

變式3 將圖1中一個等邊三角形的兩邊去掉，變為最值問題.

例4 如圖7，D是等邊三角形ABC外一點. 若BD = 8，CD = 6，連接AD，則AD的最大值與最小值的差為_________.

解析：以CD為邊向外作等邊三角形CDE，連接BE.

∵CE = CD，CB = CA，∠ECD = ∠BCA = 60°，∴∠ECB = ∠DCA，

∴△ECB ≌ △DCA（SAS），∴BE = AD.

∵DE = CD = 6，BD = 8，∴8 - 6 ≤ BE ≤ 8 + 6，∴2 ≤ BE ≤ 14，

∴2 ≤ AD ≤ 14. ∴AD的最大值與最小值的差為12.

變式4 將等邊三角形改為頂角相等的等腰三角形，例1的結論成立. （請同學們嘗試證明）

同步演練

（1）如圖9，點O是線段AD的中點，分別以AO和DO為邊在線段AD的同側作等邊三角形OAB和等邊三角形OCD，連接AC和BD，相交于點E，連接BC. 求∠AEB;（2）△OAB固定不動，保持△OCD的形狀和大小不變，將△OCD繞著點O旋轉（△OAB和△OCD不能重疊），如圖10，求∠AEB.

答案：（1）60°? （2）60°

（作者單位：江蘇省興化市戴澤初級中學）