生活中的一次函數

吳娟

一次函數是刻畫實際生活中變量關系的一個有效模型，許多生活中的實際問題都可以通過構造一次函數模型來解決.下面舉例說明，以期幫助同學們學會用數學的眼光觀察生活，用數學的思維思考生活，用數學的語言描述生活.

一、合腳購鞋問題

例1（2021·安徽）某品牌鞋子的長度y cm與鞋子的“碼”數x之間滿足一次函數關系. 若22碼鞋子的長度為16 cm，44碼鞋子的長度為27 cm，則38碼鞋子的長度為（ ）cm.

A. 23 cm B. 24 cm C. 25 cm D. 26 cm

分析：設[y=kx+b]，分別將（22，16）和（44，27）代入，求出一次函數解析式，將[x=38]代入即可求解.

解：∵鞋子的長度y cm與鞋子的“碼”數x之間滿足一次函數關系，

∴設一次函數解析式為y = kx + b（k ≠ 0），

由題意知，當x = 22時，y = 16，當x = 44時，y = 27，∴[16=22k+b，27=44k+b，]解得[k=12 ，b=5，]

∴一次函數解析式為y[ =12]x + 5.當x = 38時，y[ =12 ×] 38 + 5 = 24（cm）.故應選B.

反思：本題告訴我們，鞋子的“碼”數與鞋子的長度滿足一次函數關系，這樣我們在買鞋時就可以心中有數，購適合自己腳的鞋.

二、適時加油問題

例2（2021·浙江·麗水）李師傅將容量為60升的貨車油箱加滿后，從工廠出發(fā)運送一批物資到某地. 行駛過程中，貨車離目的地的路程s（千米）與行駛時間t（小時）的關系如圖1所示（中途休息、加油的時間不計）. 當油箱中剩余油量為10升時，貨車會自動顯示加油提醒. 設貨車平均耗油量為0.1升/千米，請根據圖象解答下列問題：（1）直接寫出工廠離目的地的路程;（2）求s關于t的函數表達式;（3）當貨車顯示加油提醒后，行駛時間t在怎樣的范圍內貨車應進站加油？

分析：（1）根據圖象可以直接得出結論;（2）根據圖象上點的坐標，利用待定系數法即可求出一次函數解析式;（3）分別求出余油量為10升和0升時行駛路程，根據函數解析式求出對應的t值，即可求得t的取值范圍.

解：（1）由圖象可知，當t = 0時，s = 880，則工廠離目的地的路程為880千米.

（2）設s=kt + b（k ≠ 0），

將（0，880）和（4，560）代入s = kt + b，得[880=b，560=4k+b，]解得[k=-80，b=880，]

則s關于t的函數表達式為s = -80t + 880（0 ≤ t ≤ 11）.

（3）當油箱中剩余油量為10升時，s = 880 - （60 - 10） ÷ 0.1 = 380（千米），

∴380 = -80t + 880，解得t [=254];

當油箱中剩余油量為0升時，s = 880 - 60 ÷ 0.1 = 280（千米），

∴280 = -80t + 880，解得t [=152];

∵k=-80<0，∴s隨t的增大而減小，∴t的取值范圍是[254 <] t [<152].

反思：本題用一次函數的增減性來確定加油的時間范圍.生活中應注意行車需安全，加油要適時.

三、最佳帶長問題

例3（2021·湖南·衡陽）圖2是一種單肩包，其背帶由雙層部分、單層部分和調節(jié)扣構成. 小文購買時，售貨員演示通過調節(jié)扣加長或縮短單層部分的長度，可以使背帶的長度（單層部分與雙層部分長度的和，其中調節(jié)扣所占長度忽略不計）加長或縮短，設雙層部分的長度為x cm，單層部分的長度為y cm. 經測量，得到右表中數據. （1）根據表中數據規(guī)律，求出y與x的函數關系式;（2）按小文的身高和習慣，背帶的長度調為130 cm時為最佳背帶長.請計算此時雙層部分的長度;（3）設背帶長度為L cm，求L的取值范圍.

分析：（1）設y與x的函數關系式為y = kx + b，代入表中數據求出待定系數k，b即可;（2）根據函數關系式和背帶長度為130 cm，列二元一次方程組求解;（3）根據x和y都為非負數求出L的最大值和最小值，即可確定L的取值范圍.

解：（1）設y與x的函數關系式為y=kx + b，由題意知[148=2k+b，136=8k+b，]解得[k=-2，b=152.]

∴y與x的函數關系式為y = -2x + 152.

（2）根據題意知[x+y=130，y=-2x+152，]解得[x=22，y=108，]

∴此時雙層部分的長度為22 cm.

（3）由題意知，當x = 0時，y = 152，當y = 0時，x = 76，∴76 ≤ L ≤ 152.

反思：適度的背帶長度可以使我們背包時感到更舒服，要達到最好的效果，可讓一次函數來幫忙.

（作者單位：江蘇省興化市安豐初級中學）