立足課本 一題多變

陳建國(guó)

[原題再現(xiàn)]

例1（八年級(jí)上冊(cè)第98頁(yè)）畫出函數(shù)[y=3-2x]的圖象，根據(jù)圖象回答下列問題：（1）[y]值隨[x]值的增大而 ;（2）圖象與[x]軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是 ;與[y]軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是 ;（3）當(dāng)[x] 時(shí)，[y>0].（解題過程略）

此題通過函數(shù)圖象揭示了函數(shù)表達(dá)式中自變量[x]與對(duì)應(yīng)的函數(shù)值[y]之間的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律.在學(xué)習(xí)過程中，我們還可以對(duì)此題進(jìn)行變式，從不同角度、不同方位進(jìn)行探究.

[變式拓展]

變式1 求解析式

例2 已知一次函數(shù)圖象經(jīng)過A（1，1），B（-1，5）兩點(diǎn)，求這個(gè)一次函數(shù)的解析式.

解析：用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，首先要設(shè)解析式為[y=kx+b（k≠0）]，再根據(jù)圖象經(jīng)過A（1，1），B（-1，5）兩點(diǎn)，列方程組為[k+b=1，-k+b=5，]解得[k=-2，b=3，]則該一次函數(shù)的解析式為[y=-2x+3].

變式2 聚焦性質(zhì)

例3 已知一次函數(shù)[y=3-2x]的圖象經(jīng)過兩個(gè)點(diǎn)（a，b），（c，d），若[a<c]，則（[a-c]）（[b-d]）? 0.（填“>”“<”或“=”）

解析：由一次函數(shù)[y=3-2x]知[k=-2<0]，所以[y]值隨[x]值的增大而減小. 當(dāng)[a<c]時(shí)，[b>d]，則（[a-c]）（[b-d]） < 0. 故應(yīng)填<.

變式3 求最值

例4 已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過A（1，1），B（-1，5）兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)[P]在[x]軸上，求[PA+PB]的最小值.

解析：要求[x]軸上動(dòng)點(diǎn)[P]到兩定點(diǎn)距離之和的最小值，只要根據(jù)點(diǎn)的對(duì)稱性，將x軸同側(cè)的兩點(diǎn)轉(zhuǎn)換為[x]軸異側(cè)的兩點(diǎn)，再根據(jù)三角形的兩邊之和大于第三邊求解即可.

首先作點(diǎn)[A]關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)[A1]（1，-1），

則[PA+PB=PA1+PB≥A1B]，

過點(diǎn)[B]作[x]軸的垂線，過[A1]作[y]軸的垂線，兩線交于點(diǎn)[Q]，

如圖1，則[BQ=6]，[A1Q=2]，

由勾股定理得A1B = [BQ2+A1Q2=210].

故[PA+PB]的最小值為[210].

變式4 與面積綜合

例5 已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過[A]（1，1），B（-1，5）兩點(diǎn)，[x]軸上是否存在點(diǎn)[P]，使[△PAB]的面積為4？若存在，求出點(diǎn)[P]的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由.

解析：由例2可知，一次函數(shù)的解析式為[y=-2x+3]，

令[y=0]，得[x=1.5]，∴[C]（1.5，0）.

分別過點(diǎn)[A]，[B]作[AM⊥x]軸，[BN⊥x]軸，垂足分別為[M]，[N]，

則[AM=1]，[BN=5].

[∵][S△PAB=S△PBC-S△PAC=4]，

[∴12PC?BN-12PC?AM=4]，解得[PC=2]，

[∴]如圖2，在x軸上使△PAB的面積為4的點(diǎn)有兩個(gè)，[P]（3.5，0），P1（-0.5，0）.

變式5 與全等綜合

例6 如圖3，若直線y = 3 - 2x與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A，B，將直線AB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°交x軸于點(diǎn)C，求直線BC的函數(shù)解析式.

解析：由直線y = 3 - 2x與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A，B，

則A（1.5，0），B（0，3），

過點(diǎn)A作AD⊥AB，交BC于D，過D作DE⊥AC，交AC于點(diǎn)E，

∵∠ABC = 45°，∴∠ABC = ∠ADB，∴AB = AD.

∵∠AOB = ∠DEA，∠BAO = ∠ADE，∴△AOB ≌ △DEA，

∴DE = OA = 1.5，AE = OB = 3，則D（4.5，1.5）.

設(shè)直線BC的函數(shù)解析式為y = kx + b，

將點(diǎn)B（0，3），D（4.5，1.5）代入y = kx + b，解得[y=-13x+3].

例1還可以從其他不同角度進(jìn)行變式，希望同學(xué)們能在變化中分析、總結(jié)，從而做到活學(xué)活用.

能力提升

（2021·四川·遂寧·改編）已知一次函數(shù)y = kx + b經(jīng)過點(diǎn)A（2，-1），B（3，-3），

（1）求一次函數(shù)解析式;

（2）若一次函數(shù)圖象與y軸交于點(diǎn)M，y軸上有另一點(diǎn)N，△AMN的面積為3，求點(diǎn)N的 坐標(biāo);

（3）若y軸上有一點(diǎn)C，x軸上有另一點(diǎn)D，且四邊形ABCD的周長(zhǎng)最小，求點(diǎn)C，D的坐標(biāo).

答案：（1）y = -2x + 3;（2）N（0，0）或（0，6）;（3）C [0，-35]、D [34，0]