基于誤差權(quán)重估計的串補線路阻抗快速計算方法

胡澤鵬，李 斌，姚 斌，董政鑫，王興國，杜鎮(zhèn)安

（1.天津大學(xué)智能電網(wǎng)教育部重點實驗室，天津 300072；2.中國電力科學(xué)研究院有限公司，北京 100192；3.國網(wǎng)湖北省電力有限公司電力科學(xué)研究院，武漢 430070）

串聯(lián)補償電容可以有效縮短輸電線路的等效電氣距離，提高電網(wǎng)的輸送能力，增加電力設(shè)備的利用率，增強電力系統(tǒng)的安全性和穩(wěn)定性。因此，串補技術(shù)被大量引入超高壓及特高壓遠距離輸電中[1]。與此同時，串補設(shè)備的引入破壞了輸電線路阻抗分布的連續(xù)性。串補設(shè)備中廣泛采用以防止電容器過電壓的非線性金屬氧化物變阻器MOV（metal oxide varistor），也進一步增加了故障回路的不確定性，給輸電系統(tǒng)帶來一系列暫態(tài)特性，對繼電保護特別是距離保護的阻抗計算與整定帶來不利影響。傳統(tǒng)距離保護通過傅里葉變換提取工頻量以計算保護安裝處至故障點的感性電抗來判斷故障距離，而串補電容使得故障信息中引入了大量的低頻分量與非周期分量[2]，影響傅里葉變換提取工頻的準(zhǔn)確性，同時串補設(shè)備對輸電線路結(jié)構(gòu)的改變，影響了傳統(tǒng)距離保護在串補設(shè)備后故障阻抗計算的準(zhǔn)確性，給保護整定帶來不利影響。

針對含串聯(lián)補償設(shè)備的輸電線路故障定位與測距，國內(nèi)外進行了大量的研究，文獻[3-5]將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、支持向量等人工智能的方法應(yīng)用到含串補線路的故障定位中；文獻[6]基于R-L串聯(lián)線路模型，將串補設(shè)備作為輸電線路的異構(gòu)邊界，即當(dāng)故障點位于串補電容后時，故障回路不再符合R-L串聯(lián)模型，此時通過R-L模型進行測距時擬合誤差增大，通過大量仿真給出擬合誤差的門檻值以判定故障點相對于串補設(shè)備的位置；文獻[7]分別通過R-L串聯(lián)模型與R-L-C串聯(lián)模型對故障回路進行擬合計算，通過比較MOV導(dǎo)通前幾毫秒兩個方程所計算線路感抗的離散程度來判斷線路所符合的線路模型，以判定故障點相對于串補設(shè)備的位置；文獻[8]通過引入MOV的等效模型對R-L-C串聯(lián)模型進行改進，理論上故障測距不受MOV 的導(dǎo)通與否的影響，但故障類型需要滿足MOV 等效模型成立的前提；文獻[9]提出了基于Hilbert 變換的串聯(lián)補償線路故障點位置的識別判據(jù)，結(jié)合傳統(tǒng)的距離保護形成了適用于串聯(lián)補償線路的距離保護新方案；文獻[10]定義保護與串補電容之間的線路末端的計算電壓為補償電壓，通過分析論證在串補電容前故障時，補償電壓和保護安裝處的電壓反向，在串補電容后故障時，補償電壓和保護安裝處的電壓相位接近，據(jù)此識別故障點相對于串補設(shè)備的位置；文獻[11]基于最小二乘矩陣束獲取故障暫態(tài)過程中各頻點電壓電流相量，通過分布參數(shù)的輸電線路端口電壓方程構(gòu)建串補線路全頻帶模型誤差函數(shù)，通過全頻帶模型誤差與工頻故障定位相配合，進行故障點位置識別；文獻[12]將兩端故障電流解耦進行小波分解后，提取故障電流暫態(tài)信號，進一步應(yīng)用電磁時間翻轉(zhuǎn)理論進行故障點的精確定位。

本文基于線路R-L串聯(lián)模型，對線路微分方程引入2 個誤差權(quán)重矩陣，消除數(shù)據(jù)中奇異點的影響，采用最小二乘進行計算擬合，對擬合計算結(jié)果引入權(quán)重矩陣，保證計算結(jié)果的準(zhǔn)確性與穩(wěn)定性。相較于距離保護傳統(tǒng)工頻阻抗計算方法，收斂速度更快，受故障后非周期分量及低頻分量的影響較小，受故障后串補設(shè)備運行狀態(tài)改變影響較小，且阻抗計算結(jié)果更加穩(wěn)定。

1 串聯(lián)補償裝置

典型的固定串聯(lián)補償裝置如圖1 所示[13]，圖中XC為電容器，MOV為金屬氧化物可變電阻器組，SG為保護間隙，D為限流阻尼電路，B為旁路設(shè)備。圖1中，除電容器外的設(shè)備共同組成過電壓保護器，由于過電壓保護器設(shè)計不同，串補裝置分為3類。

圖1 典型固定串聯(lián)補償裝置Fig.1 Typical fixed series compensation equipment

當(dāng)含串補裝置的線路正常運行時，固定串補裝置可等效為固定電容器接入線路；線路發(fā)生故障后，串聯(lián)補償裝置的運行狀態(tài)主要取決于如下2種故障情況及不同串聯(lián)補償裝置的動作情況。

（1）當(dāng)發(fā)生內(nèi)部小電流故障或者外部故障時，流過串補裝置的故障電流較小，電容器兩端電壓小于額定保護電壓，串補裝置的過電壓保護器不動作，此時串補裝置僅有電容器位于故障回路中。

（2）當(dāng)故障發(fā)生在線路內(nèi)部，故障電流較大時，過電壓保護器動作。對于圖1（a）中單保護間隙型，當(dāng)串補兩端電壓達到間隙擊穿的電壓，間隙擊穿，此時串補裝置被旁路；對于圖1（b）M1 型，串補兩端電壓達到MOV轉(zhuǎn)折電壓時，MOV啟動，此時串補裝置相當(dāng)于電容器與MOV并聯(lián)共同接入故障回路；對于圖1（c）M2 型，當(dāng)串補兩端電壓達到MOV啟動電壓，但故障條件未達到使MOV 自保護啟動時，串補裝置相當(dāng)于電容器與MOV 并聯(lián)共同接入故障回路，當(dāng)故障較為嚴重，故障電流較大時，受控間隙在故障2～3 ms內(nèi)擊穿，此時串補裝置被旁路。

綜上，正常運行時串補裝置等效于電容器接入線路中，而發(fā)生故障時根據(jù)故障情況及串補類型不同，串補裝置接入線路最多有3種狀態(tài)。串聯(lián)補償裝置的接入破壞了輸電線路阻抗的連續(xù)性，為線路故障時帶來衰減時間較長的非周期分量與諧波分量[14]，影響以傅里葉算法提取工頻的傳統(tǒng)距離保護計算的準(zhǔn)確度。

2 誤差權(quán)重估計新算法

2.1 線路差分方程

輸電線路可用R-L串聯(lián)模型進行等效，如圖2所示。圖中，線路保護安裝于母線M處，uM和iM分別為故障時M處的電壓和電流瞬時值，R和L分別為保護安裝處至故障點的線路等效電阻和電感，ZM為系統(tǒng)阻抗。

圖2 輸電線路R-L 串聯(lián)簡化模型Fig.2 R-L series simplified model of transmission lines

以F 處發(fā)生A 相單相接地故障為例，在M 側(cè)保護安裝處的電壓電流關(guān)系滿足

式中：i0為零序電流；kr為電阻零序補償系數(shù)，kr=(r0-r1)/3r1；kl為電感零序補償系數(shù)，kl=(l0-l1)/3l1；r1、l1和r0、l0分別為線路單位長度的正序電阻、電感和零序電阻、電感。對于離散采樣數(shù)據(jù)，采用中值差分代替微分，式（1）可寫為

式中，k為用于計算的數(shù)據(jù)窗采樣點數(shù)量。

2.2 誤差權(quán)重矩陣

電壓、電流信號采集過程中可能會造成測量誤差，同時采用式（2）中差分代替微分進行求導(dǎo)也會造成算法誤差。

構(gòu)建幅值為單位1、頻率為50 Hz的正弦函數(shù)信號，如圖3（a）所示，對其分別以采樣率為5 kHz、10 kHz及20 kHz 進行采樣，并利用差分代替微分求導(dǎo)，差分相對誤差百分比結(jié)果如圖3（b）所示，其局部放大見圖3（c）和圖3（d）。由圖可見，對于原信號峰值處用差分代替微分求導(dǎo)可產(chǎn)生成倍的誤差，其余位置的誤差較小。同時，通過圖中不同采樣率下相對誤差的比較可知，提高采樣率對于減小原函數(shù)峰值處的求導(dǎo)誤差并無明顯作用，可將誤差較大的點定義為奇異點。

圖3 微分求導(dǎo)誤差比較Fig.3 Comparison among differential errors

為減小奇異點對于阻抗計算準(zhǔn)確性的影響，將式（3）重寫為

式中，WI為引入的誤差權(quán)重對角矩陣，由電流信息矩陣I所決定，表達式為

式中，ζ為區(qū)分奇異點與正常點的門檻值，由故障電流幅值及當(dāng)前采樣率所決定。理想正弦電流峰值處微分求導(dǎo)應(yīng)為0，但由于差分誤差的影響，電流信息矩陣I中奇異點的幅值并不為0，而是在電流峰值附近存在多個差分導(dǎo)數(shù)接近于0的點，將差分導(dǎo)數(shù)處于(-ζ,ζ)區(qū)間內(nèi)的點劃定為奇異點。式（9）通過權(quán)重矩陣WI將以上奇異點在微分方程組中的權(quán)重降為1/k。

基于一定冗余數(shù)據(jù)窗（數(shù)據(jù)窗內(nèi)采樣點數(shù)大于求解矩陣式（9）所必需采樣點數(shù)）的采樣序列，采用最小二乘思想[15]對式（9）進行估計求解，即擬合系數(shù)矩陣β使得數(shù)據(jù)窗內(nèi)電壓矩陣的計算值(βI)與實際值（U）在歐式空間中距離（L2范數(shù)）最小，即擬合誤差最小，將上述二者的歐式距離定義為E，即

式中：‖ ‖?2表示L2范數(shù)；ji為單位數(shù)據(jù)窗內(nèi)電壓采樣點U（i）與其所對應(yīng)電流采樣點I（i）計算出的電壓值的歐式距離，即擬合殘差。

對式（11）中系數(shù)矩陣β求偏導(dǎo)，并令偏導(dǎo)數(shù)等于0，即可得到使得歐氏距離最小的系數(shù)矩陣β，即得到阻抗矩陣的表達式為

去除已知的差分誤差造成的奇異點后，為進一步減小電壓、電流信號采集過程中可能出現(xiàn)的其他誤差與奇異點，參考M穩(wěn)健回歸的思想引入誤差矩陣WC進一步對阻抗矩陣β的求解過程進行改進：通過式（12）求解出初始阻抗矩陣β后，將擬合所得β代入式（11），可得數(shù)據(jù)窗內(nèi)一系列擬合殘差值ji，參考公式welsch[16]定義對角矩陣WC為

Welsch 公式(y=e-x2)為一單調(diào)遞減函數(shù)，可使得單位數(shù)據(jù)窗內(nèi)擬合殘差ji絕對值越大即在歐式空間中距離擬合結(jié)果越遠的點，在誤差矩陣WC中越小，進一步降低奇異點對于最小二乘擬合計算準(zhǔn)確度的影響。

引入誤差矩陣WC后，式（3）重寫為

通過最小二乘法進行擬合估計得到新的阻抗矩陣，即

推導(dǎo)過程類似式（12）。引入上述2個誤差權(quán)重矩陣，可有效降低電流峰值附近由于差分帶來的算法誤差，減少電壓電流信號采樣過程中出現(xiàn)的奇異點，其中誤差權(quán)重矩陣WC的計算過程可進行迭代。

2.3 結(jié)果權(quán)重矩陣

由第1 節(jié)可知，含串聯(lián)補償設(shè)備的線路故障時，暫態(tài)過程較長，且故障后串補設(shè)備運行情況可能會發(fā)生改變，因此采用最小二乘法進行擬合測距時，數(shù)據(jù)窗選取較長或者選用累積采樣點的方式，會導(dǎo)致數(shù)據(jù)窗中包含較多暫態(tài)過程或串補設(shè)備不同工況下的采樣數(shù)據(jù)而造成較大的阻抗計算誤差；數(shù)據(jù)窗選取較短時會造成阻抗計算結(jié)果的震蕩，不利于保護裝置進行判定。

為了同時保證阻抗計算的穩(wěn)定性與準(zhǔn)確性，本文在選取短數(shù)據(jù)窗的同時，引入結(jié)果權(quán)重矩陣對歷史擬合計算數(shù)據(jù)進行權(quán)重累加并且實時更新。對于每次數(shù)據(jù)窗，可通過式（18）計算出一組β，通過式（11）可得到該組β所對應(yīng)的擬合誤差E；隨著數(shù)據(jù)窗的移動與擬合計算次數(shù)的增加，可得到一系列的阻抗矩陣β與對應(yīng)的擬合誤差E，定義故障回路線路感抗計算矩陣為XL=[XL1,XL2,…,XLm]，定義結(jié)果權(quán)重矩陣為E=[1/2m-1E1,1/2m-2E2,…,1/20Em]T，其中m為故障發(fā)生后最小二乘擬合計算次數(shù)。

結(jié)果權(quán)重矩陣中每項為擬合誤差的倒數(shù)1/E與1/2的指數(shù)相乘，隨著擬合計算次數(shù)的增加，前者使擬合誤差較小的計算結(jié)果所占權(quán)重較大；離當(dāng)前時刻越遠時，后者的指數(shù)越大，即指數(shù)冪越小，使得遠離當(dāng)前時刻的擬合計算結(jié)果權(quán)重減小，靠近當(dāng)前時刻的擬合計算結(jié)果權(quán)重增加。經(jīng)過數(shù)據(jù)歸一化處理，最終可得到故障后隨時間更新的阻抗計算結(jié)果，即

通過結(jié)果權(quán)重矩陣可以使計算結(jié)果中擬合誤差較小且靠近當(dāng)前故障時刻的阻抗計算結(jié)果在總的阻抗計算結(jié)果中權(quán)重較大。

3 算例分析

在EMTP軟件中搭建串聯(lián)補償設(shè)備位于輸電線路中間的雙端電源系統(tǒng)模型，如圖4所示，其中SC表示串補設(shè)備，包括電容器組、過電壓保護器等。電壓等級為500 kV，線路全長300 km，串補設(shè)備位于線路中間150 km處，補償度為45%，MOV額定電壓設(shè)置為90 kV，MOV 伏安特性曲線參考某實驗實測數(shù)據(jù)[17]見表1。M側(cè)正（負）序阻抗為60 Ω∠85.5°，零序阻抗為60 Ω∠80°；N側(cè)正（負）序阻抗為10 Ω∠85.5°，零序阻抗為10 Ω∠80°。線路參數(shù)設(shè)置如下：r1=0.22 Ω/km，r0=0.18 Ω/km，xl1=0.28 Ω/km，xl0=0.86 Ω/km，xc1=0.246 MΩ/km，xc0=0.578 5 MΩ/km。采樣率選取為10 kHz，本文算法數(shù)據(jù)窗選取1 ms。

表1 MOV 伏安特性曲線選點[17]Tab.1 Selection of points on MOV volt-ampere characteristic curve[17]

圖4 系統(tǒng)仿真模型Fig.4 Simulation model of system

為了驗證本文所提方法的有效性，故障仿真阻抗計算與當(dāng)前輸電線路距離保護中廣泛選用的工頻量阻抗計算法進行對比。對于單相接地故障，工頻阻抗測距法計算公式為

式中：Z為所測線路阻抗；K為零序補償系數(shù)，K=(Z0-Z1) (2Z1)。

分別設(shè)置故障點對應(yīng)于故障發(fā)生于串聯(lián)補償設(shè)備前，故障位于串補設(shè)備后且間隙導(dǎo)通、僅MOV導(dǎo)通以及均不導(dǎo)通的情況，故障起始時刻設(shè)為2 s，對電壓、電流采樣信號采用Butterworth 濾波器進行三階200 Hz低通濾波處理。

在線路30 km 處設(shè)置A 相金屬性接地故障，此時故障點背后的MOV 導(dǎo)通，保護安裝處故障相電壓、電流波形如圖5 所示，采用本文方法與工頻量阻抗計算方法分別計算阻抗見圖6。由圖可見，本文算法在故障后10 ms已接近真實值，在15 ms達到相對穩(wěn)定且逼近真實值，而工頻阻抗算法則波動劇烈，在故障后35 ms才逐漸穩(wěn)定在真實值附近。

圖5 30 km 處單相接地故障相電壓、電流Fig.5 Voltage and current of fault-phase under single-phase grounding at 30 km

圖6 30 km 處單相接地感抗計算Fig.6 Reactance calculation under single-phase grounding at 30 km

在線路150 km 串補設(shè)備出口處設(shè)置A 相金屬性接地故障，保護安裝處故障相電壓、電流波形如圖7所示，故障后3 ms MOV導(dǎo)通，由于此時MOV與電容器組交替流過故障電流，線路感抗真實值無法確定；10 ms受控間隙擊穿以保護MOV，此后串補設(shè)備被旁路。采用本文方法與工頻量阻抗計算方法分別計算阻抗見圖8，可見故障初期由于MOV的導(dǎo)通本文算法計算阻抗值較小，間隙導(dǎo)通后本文算法計算結(jié)果更新較快，迅速接近線路阻抗真實值；而工頻阻抗算法由于受到串補設(shè)備工況變化的影響，前期計算結(jié)果偏差較大且波動較大。

圖7 150 km 串補出口處單相接地故障相電壓、電流Fig.7 Voltage and current of fault-phase under singlephase grounding at 150 km（outlet of series compensation equipment）

圖8 150 km 串補出口處單相接地感抗計算Fig.8 Reactance calculation under single-phase grounding at 150 km（outlet of series compensation equipment）

在線路200 km處設(shè)置A相金屬性接地故障，故障后3 ms MOV 導(dǎo)通，MOV 與電容器組交替流過故障電流，故障相MOV電壓、電流波形見圖9，保護安裝處故障相電壓、電流波形如圖10所示，阻抗計算結(jié)果見圖11。此時線路感抗真實值無法確定，但本文算法計算結(jié)果相比工頻阻抗法更加穩(wěn)定。

圖9 200 km 處單相接地故障相MOV 電壓、電流Fig.9 Voltage and current of fault-phase MOV under single-phase grounding at 200 km

圖10 200 km 處單相接地故障相電壓、電流Fig.10 Voltage and current of fault-phase under singlephase grounding at 200 km

圖11 200 km 處單相接地感抗計算Fig.11 Reactance calculation under single-phase grounding at 200 km

為模擬故障點位于串補設(shè)備后，且故障時MOV僅在暫態(tài)沖擊電壓下短暫導(dǎo)通的情況，改變系統(tǒng)運行方式，此時系統(tǒng)M 側(cè)參數(shù)為：Z1=（1.95+195.92）Ω，Z0=（1.20+120.33）Ω，N 側(cè)參數(shù)為：Z1=（1.69+169.5）Ω，Z0=（1.40+140.33）Ω，線路參數(shù)不變，在280 km 處設(shè)置A 相金屬性接地故障，故障相MOV電壓、電流波形見圖12，護安裝處故障相電壓、電流波形如圖13，阻抗計算結(jié)果見圖14，可見本文算法計算結(jié)果受MOV 短暫導(dǎo)通影響較小，更快接近真實值且更加穩(wěn)定。

圖12 280 km 處單相接地故障相MOV 電壓、電流Fig.12 Voltage and current of fault-phase MOV under single-phase grounding at 280 km

圖13 280 km 處故障相保護安裝處電壓、電流Fig.13 Voltage and current of fault phase withprotection installation at 280 km

圖14 280 km 處單相接地感抗計算Fig.14 Reactance calculation under single-phase grounding at 280 km

定義4 個評價指標(biāo)：Er1、Er2及S1、S2，其中Er1表示故障后20～30 ms內(nèi)阻抗計算平均值的相對誤差，Er2表示故障后30～40 ms 內(nèi)阻抗計算平均值的相對誤差，S1表示故障后20～30 ms 內(nèi)阻抗計算的標(biāo)準(zhǔn)差，S2表示故障后30～40 ms 內(nèi)阻抗計算的標(biāo)準(zhǔn)差。本文算法與傳統(tǒng)工頻阻抗法在本節(jié)所述各種算例下的計算結(jié)果的相關(guān)指標(biāo)見表2，由表2可見在含串補線路各種故障情況下，本文算法相對于工頻阻抗法相對誤差更小且計算結(jié)果波動更小。

表2 不同故障點本文算法與工頻阻抗算法的誤差比較Tab.2 Comparison of errors between the proposed algorithm and power-frequency impedance algorithm at different fault points

4 結(jié) 語

串補設(shè)備的接入導(dǎo)致輸電線路故障時非周期分量與低頻分量增加，且故障后串補設(shè)備自身工況復(fù)雜，給以傅里葉算法提取工頻的傳統(tǒng)距離保護計算帶來不利影響。本文基于線路R-L串聯(lián)模型，對故障后電壓與電流的差分方程矩陣進行改進，通過引入誤差權(quán)重矩陣的方式減小奇異點對最小二乘擬合計算的影響，引入結(jié)果權(quán)重矩陣在保證計算結(jié)果實時更新的前提下增加計算結(jié)果的穩(wěn)定性。仿真計算結(jié)果顯示，在含串補設(shè)備線路中，相對于工頻阻抗算法，本文算法具有誤差較小，收斂速度快，并且計算結(jié)果穩(wěn)定等特點。但與此同時，由于本文算法引入了矩陣計算，計算量較大，后續(xù)可進行算法優(yōu)化的研究。